声学基础第一章-弹性波理论基础1-3(2012年新版)

1、1 13 3 弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是集总集总( (中）参数振动系统中）参数振动系统。分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既具有弹性又有惯性（或阻尼）。具有弹性又有惯性（或阻尼）。本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是本节研究的均匀细棒的纵振动中的均

2、匀细棒就是分分布参数振动系统布参数振动系统1 1o o均匀细棒纵振动的近似理论均匀细棒纵振动的近似理论均匀：棒的材料参数、棒的截面均匀。（一样）均匀：棒的材料参数、棒的截面均匀。（一样）细棒：棒的截面最大线度远小于棒中弹性波的波长。细棒：棒的截面最大线度远小于棒中弹性波的波长。纵振动：沿棒的长度方向振动。（如图）纵振动：沿棒的长度方向振动。（如图）均匀细棒纵振动的近似理论中均匀细棒纵振动的近似理论中近似近似的含义：的含义：在在细棒条件细棒条件下，在分析棒纵振动时可以近似认为：下，在分析棒纵振动时可以近似认为：（1 1）只考虑）只考虑 z z 方向振动；其它方向的振动可略。方向振动；其它方向的振

3、动可略。（2 2）在垂直于）在垂直于 z z 轴的同一个截面上振动相同。轴的同一个截面上振动相同。 （3 3）只考虑）只考虑 z z 方向的应力分量；其它方向应力方向的应力分量；其它方向应力分分 量量可略。可略。1 1）均匀细棒小振幅纵振动的波动方程）均匀细棒小振幅纵振动的波动方程细棒中取细棒中取dzdz段，建立运动方程：段，建立运动方程：zzTdtddzzzTSdtdSdzdzzzTSzTzSdzzTdzzSfzdzzzzzzzzzzz)(;)()()()()()(2222方向受力：在体元的波动方程均匀细棒小振幅纵振动其中：小振幅条件下，又；又) !(!; 01)()(20222022222

4、22222EctcztdtdzEzzTdtdzEETTEETzzzzxxyyzzzz思考题：为什么由均匀细棒纵振动的近似理论得到思考题：为什么由均匀细棒纵振动的近似理论得到的均匀细棒纵振动的波动方程与流体波动方程形式的均匀细棒纵振动的波动方程与流体波动方程形式一样。？一样。？由初条件确定。、由边条件确定；、其中：求解，可得：用分离变数法DCBAkcktDtCzkBzkAtzttzcztzzkzkkkzzzzzz;)sin()cos()sin()cos(),(0),(1),(02220222 2）均匀细棒纵振动的波动方程的形式解：）均匀细棒纵振动的波动方程的形式解：)(),();(),(: 1

5、00zgttzzftztt初始位移分布：初始位移分布：初（始）条件22均匀细棒纵振动的边条件类型：均匀细棒纵振动的边条件类型：0端点（定不动，位移为零）固定边条件：（端点固z)t , z)A0端点由，应力为零）自由边条件：（端点自zz)t , z()B端点端点联结刚性质量块）质量负载边条件（端点zzt)t , z(Mz)t , z(SE)C22)t (fz)t , z(SE)Dz端点点有激励力作用）激励力作用边条件（端2 2o o 例一：两端自由均匀细棒的自由纵振动例一：两端自由均匀细棒的自由纵振动0),(; 0),(0),(1),(0222022Lzzztzztzttzcztz方程和边界条件

6、;)sin()cos()sin()cos(),(0cktDtCzkBzkAtzzzzzkzkkkzz其中：求解，可得形式解：用分离变数法., ,nnLk)Lksin()tsin(D) tcos(C)zksin(Akz) t , z(B)tsin(D) tcos(C)zkcos(Bk)zksin(Akz) t , z(zzkkkLzzzLzkkkzzzzzzzzzzzz321000000000由：由：代入边界条件0003210cLnckck., ,nkLnknnkkznzzz又项无意义，舍去）由初条件确定。和其中：综上，可得：01000n(a)tcos()zLncos(a)tcLnsin(D)t

7、cLncos(C)zLncos(A)t , z(nnnnnnn中的分布示意图：阶简正振动的振幅在棒前阶简正振动位移函数。第自由均匀细棒纵振动的）；为两端定义，分析：2cos()cos(),(ntzLnatznnnn定于初条件。决初相位，简正振动函数的幅值和结论：自由振动时各阶值。和的级数展开可得形式解中立叶的正交完备性，进行傅利用简正振动函数在分布函数，的位移分布函数和振速正因如此，给定初条件完备函数族。简正振动函数构成正交彼此正交；并且所有阶不同阶简正振动函数在nnaLzLz, 0, 0的固有频率。阶简正振动振动第为两端自由均匀细棒纵例：率称作泛音频率。称作基频；其它固有频低的固有频率多个固

8、有频率；其中最分布参数系统有统的固有频率。率为系时，各阶简正振动的频分布参数系统自由振动定义：nLncfnn220倍谐音频率。的阶泛音频率是基频动第两端自由均匀细棒纵振阶泛音频率动第两端自由均匀细棒纵振动基频两端自由均匀细棒纵振nnnfLncfnLcfn10012:2:个简正振动迭加。各自由度上最多有个固有频率但其最多有动方式进行简正振动系统的自由振动也以个自由度的集总参数振阶简正振动。多个固有频率作能够以式进行；由振动是以简正振动方分布参数振动系统的自振动比较：总参数振动系统的自由分布参数振动系统与集nnn,2 1 3 3o o 例二：一端固定另一端谐合力激励下均匀细棒的例二：一端固定另一端

9、谐合力激励下均匀细棒的 稳态纵振动稳态纵振动tFztzSEtzttzcztzLzzcos),(; 0),(0),(1),(00222022方程和边界条件)sin()cos()sin()cos(),(00tDtCzcBzcAtz求解，可得形式解：用分离变数法00),(0Atzz由：代入边界条件)cos()sin()cos(),(0;)cos()cos()cos()sin()cos()cos()cos(),(00000000000000tzcLccSFtzBDLccSFLcSEcFBCtSEFtDtCzccBtSEFztzLzLz由：., ,ncLnf:;cLnnnLc)Lccos()tcos()

10、zcsin()Lccos(cSF)t , z(nn2104212212212000000000位移共振频率。时，系统发生位移共振显然：分析：4 4o o 均匀细棒纵振动的阻抗转移公式（电传输线类比）均匀细棒纵振动的阻抗转移公式（电传输线类比）。为细棒纵振动的比阻抗定义，)z(u)z(T), z(Zzzz22均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面的反射，在棒中存在相向传播的平面波：11细棒纵振动的比阻抗细棒纵振动的比阻抗: (: (这里的这里的比比是是类似类似的意思的意思) );(),()0(;),)()()()(0)()(

11、kztjkztjkztjkztjkztjkztjReeAjttzuzRAReAeckBeAetz则，振速函数为：的反射系数。是位移波在棒端这里，设（位移函数为：)()1 ()1 ()()(;);(),(2002020220)()()()(02)()(EcckZcZcRRjRjkEZZReeAjReejkEAuTZReejkEAzEtzTzkztjkztjkztjkztjzzzkztjkztjzz；则有：如果，已知终端比阻抗应力分量函数为：1)(1)()()(),()()()()(),(),(),(:0220202020202020200)()()()(kztgcZjkztgZcjZceeZcZceeZcZczZZcZcRceReeReReeAjReejkEAtzutzTzZzj