三角形经典题50道附答案

1、1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，111749AD是整数，求AD解：延长AD至ijE,使AD=DE,.D是BC中点BD=DC在ACD和BDE中AD=DE/BDE=/ADCBD=DCACDABDE.AC=BE=2在ABE中AB-BEVAEVAB+BE.AB=4即4-2V2AD<4+21<AD<3.AD=212.已知：D是AB中点，/ACB=90,求证：CD=AB2延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP .DP=DC,DA=DB .ACBP为平行四边形又/ACB=90 平行四边形ACBP为矩形.AB=CP=1/2AB证明：连接BF和EFBC=ED,CF=DF,/B

2、CF=/EDF三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）BF=EF,/CBF=/DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/EBF=/BEF。/ABC=/AED。/ABE=/AEB。AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF三角形ABF和三角形AEF全等。/BAF=/EAF（Z1=/2）。EF=AC4.已知：/1=/2,CD=DE,EF/AB,求证:过C作CG/EF交AD的延长线于点GCG/EF,可得,/EFD=CGDDE=DCZFDE=ZGDC（对顶角）.EFDACGDEF=CGZCGD=ZEFD又，EF/AB/

3、EFD=Z1Z1=Z2./CGD=Z2.AGO为等腰三角形,AC=CG又EF=OG.EF=AC5.已知：AD平分/BAO,AO=AB+BD,求证：/B=2/C证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DE.AD平分/BAC/EAD=/CAD .AE=AC,AD=ADAEDAACD(SAS)E=ZC .AC=AB+BD .AE=AB+BD.AE=AB+BE.BD=BE ./BDE=/E ./ABC=ZE+ZBDE ./ABC=2ZE ./ABC=2ZCAE=AD+BE6.已知：AC平分/BAD,CEXAB,/B+/D=180°,求证:证明：在AE上取F,使EF=EB,连接CF,.CEXA

4、B .ZCEB=ZCEF=90°,.EB=EF,CE=CE,CEBACEF ./B=ZCFE,.ZB+ZD=180,ZCFE+ZCFA=180.ZD=ZCFA,.AC平分/BADZDAC=ZFAC,.AC=ACAADCAAFC(SAS).AD=AF .AE=AF+FE=AD+BE7.已知：ABM,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至IE,使AD=DED是BC中点BD=DC在AACD和ABDE中AD=DEZBDE=ZADCBD=DCACDABDE，AC=BE=2在AABE中AB-BEVAEVAB+BE.AB=4即4-2V2ADV4+21vADv3.AD=21-8,已

5、知：D是AB中点，/ACB=90,求证：CD=AB2解：延长AD至ijE,使AD=DE.D是BC中点BD=DC在ACD和BDE中AD=DE/BDE=/ADCBD=DCACDABDE.AC=BE=2在AABE中AB-BE<AE<AB+BE.AB=4即4-2V2ADV4+21vADv3.AD=2证明：连接BF和EF。BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。BF=EF,ZCBF=ZDEFo连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。/EBF=/BEF。又/ABC=/AED。/ABE=/AEB。AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE

6、,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。三角形ABF和三角形AEF全等。/BAF=/EAF（Z1=/2）。10.已知：/1=/2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC过C作CG/EF交AD的延长线于点GCG/EF,可得,/EFD=CGDDE=DCZFDE=ZGDC（对顶角）.EFDACGDEF=CGZCGD=ZEFD又EF/ABEFD=Z1Z1=Z2CGD=Z2.AGO为等腰三角形，AC=CG又EF=CG.EF=AC11.已知：AD平分/BAG,AC=AB+BD,求证：ZB=2ZCA证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DE'.AD平分/BACZ

7、EAD=ZCAD .AE=AC,AD=ADAEDAACD(SAS)E=ZCAC=AB+BD .AE=AB+BD .AE=AB+BE，BD=BE ./BDE=ZE ./ABC=ZE+ZBDE ./ABC=2ZE ZABC=2ZC12.已知：AC平分/BAD,CEXAB,ZB+ZD=180,求证：AE=AD+BE在AE上取F,使EF=EB,连接CF.CEXAB .ZCEB=ZCEF=90 .EB=EF,CE=CE,/.ACEBACEFB=ZCFE .ZB+ZD=180,ZCFE+ZCFA=180D=ZCFA/AC平分/BADZDAC=ZFAC又AC=AC.'.AADCAAFC(SAS).A

8、D=AF .AE=AF+FE=AD+BE12.如图，四边形ABCD中，AB/DC,BE、CE分别平分/ABC>ZBCD,且点E在AD上。求证：BC=AB+DCo在BC上截取BF=AB,连接EF'.BE平分/ABCZABE=ZFBE又BE=BE/ABEQFBE(SAS)./A=ZBFE1 .AB/CDA+ZD=180o/BFE+ZCFE=180oD=ZCFE又./DCE=ZFCECE平分/BCDCE=CEDCE心FCE(AAS).CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED,/EAB=/BDE,AF=CD,EF=BC,求证：/F=ZCAB|ED,得：/EAB+ZAE

9、D=/BDE+/ABD=180度, /EAB=/BDE,/AED=/ABD, 四边形ABDE是平行四边形。 .得：AE=BD, .AF=CD,EF=BC,三角形AEF全等于三角形DBC, ./F=ZCo14.已知：AB=CD,/A=/D,求证：/B=/C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。.AE=DE而AB=CD"1BE=CE（等量加等量，或等量减等量）.BEC是等腰三角形./B=ZC.PC-PB<AC-AB15.P是/BAC平分线AD上一点，AC

10、>AB,求证:在AC上取点E,使AE=AB。 .AE=ABAP=AP/EAP=/BAE,.EAPBAP .PE=PB。PCVEC+PE .PCV(ACAE)+PB.PCPBVACAB。16.已知/ABC=3/C,/1=/2,BELAE,求证:AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D,使得角DBC二角C /ABC=3/C/ABD=/ABC-/DBC=3/C-/C=2/C; /ADB=/C+/DBC=2/C;.AB=AD .AC-AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线, AE垂直BD.BE±AE，点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=

11、AD,AE垂直BD 点E也是BD的中点.BD=2BE BD=CD=AC-AB .AC-AB=2BE求DC17.已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7,DA 作AG/BD交DE延长线于G .AGE全等BDE.AG=BD=5 .AGFsCDFAF=AG=5 .DC=CF=218 .如图，在ABC中，BD=DC,/1=/2,求证：ADXBC.A解：延/d至BC于点E,:BD=DcBDC是等腰三角形企壶电/dcbB又/1=/6.DBC+/1=/DCB+/2即/ABC=/ACB .ABC是等腰三角形 .AB=AC在ABD和AACD中AB=AC/1=/2BD=DC .ABD和AACD是全等三角

12、形（边角边）/BAD=/CADAE是4ABC的中垂线AE±BCAD±BC19 .如图，OM平分/POQ,MA±OP,MB±OQ,A、B为垂足，AB交OM于点N.OM平分/POQ./POM=ZQOM.MA±OP,MB±OQ/MAO=/MBO=90 .OM=OM .AOMBOM(AAS).OA=OB .ON=ONAONABON(SAS)/OAB=/OBA,/ONA=/ONB ./ONA+/ONB=180 ./ONA=/ONB=90.-.OM±AB20. (5分)如图，已知AD/BC,/RAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,C

13、E的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB.BE土匀为/PAB和/CBA/EAB+/EBA=90/AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形，三角形在三角形ABF中，AE±BF,FAB为等腰三角形，DEF与三角形BEC/EBC=/DFE,且BE=EF,/三角形DEF与三角形BECAB=AF=AD+DF=AD+BC且AE为/FAB的角平分线AB=AF,BE=EF中，DEF=/CEB,为全等三角形，DF=BC21. 如图，ABC中，AD是/CAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：/C=2ZB使AE=ACAB=AC+CD连接EDCD=CE可得/B=ZECDE为等腰ZACB=2Z

14、B22. (6分)如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DELAC于E,BFLAC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.(1)求证：MB=MD,ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由.(1)连接BE,DF.DE±AC于E,BFAC于F,./DEC=/BFA=90°,DE/BF,在RtDEC和RtBFA中，AF=CE,AB=CD,RtADECRtABFA(HL),DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.MB=MD,ME=MF;(2)连接BE,DF.DELAC于E,BFAC于F,./D

15、EC=/BFA=90°,DE/BF,在RtDEC和RtBFA中，AF=CE,AB=CD,RtADECRtABFA(HL),DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.MB=MD,ME=MF.E为AB的中点,23.已知：如图，DC/AB,且DC=AE,(1)求证：AEDAEBC.AED的面(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与(直接写出结果，不要求证明)C证明：.DC/ABCDE=/AED,.DE=DE,DC=AEAEDAEDC .E为AB中点.AE=BE.BE=DC.DC/ABDCE=ZBEC .CE=CE .EBCAEDCAEDAEBC24.（7分）如图，AB

16、C中，/BAC=90度，AB=AC,BD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：/CEB4CAB=90ABCE四点共元 /ABE=ZCBE.AE=CE .ZECA4EAC取线段BD的中点G连接AG贝U:AG=BG=DG /GABhABG而：/ECAhGBA（同弧上的圆周角相等） /ECA4EAC4GBAWGAB而：AC=AB.AE登AGBEC=BG=DGBE=2CE25、如图：DF=CEAD=BC/D=ZCo求证：AENBFG证明：DF=CE,DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在AED和BFC中， AD=BC,/D=/C

17、,DE=CFAEDABFC(SAS)26、（10分）如图：AE、BC交于点MF点在AMLh,BE/CF,BE=CF求证：AM是ABC的中线。证明：.BE|CF ./E=ZCFM/EBMWFCM .BE=CF .BE阵CFM.BM=CM .AM是ABC的中线.27、（10分）如图：在ABC中，BA=BCD是AC的中点。求证：BD±AG ABDABCD的三条边都相等 .ABDKBCDADB4CD /ADB4CDB=90BD±AC28、（10分）AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF在ABDAACD中AB=ACBD=DCAD=AD .ABNACDADB4A

18、DCBDF之FDC在8口5与4FDC中BD=DC/BDF=ZFDCDF=DF .FBgFCD.BF=FC29、（12分）如图：AB=CDAE=DFCE=FB求证：AF=DE,.AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB .ABE=ACDF /DCB=/ABFAB=DCBF=CEABF=ACDE.AF=DE30.公园里有一条“Z"字形道路ABCD,如图所示，其中AB/CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.AEB证明：连接EF1. AB/CD./B=ZCM是BC中点.BM=CM在BEM

19、和4CFM中BE=CFZB=ZCBM=CMBEMACFM(SAS).CF=BE31.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE/DF,BE=DF.求证：AABECDF.c第2题）.AF=CE,FE=EF. .AE=CF. DF/BE,，/AEB=/CFD(两直线平行，内错角相等) .BE=DF:AABEACDF(SAS)AE=AF。32.已知：如图所示，AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点，求证:连接BD;.AB=ADBC=D/ADB=/ABD/CDB=/ABD;两角相加，/ADC=/ABC;BC=DCEF是中点.DE=BF;.AB=ADDE=BFZADC=ZABC

20、.AE=AF。33.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，/1=72,/3=74,求证：证明:在AD(CMBC中 AC=AC/BAChDAC/BCA=ZDCA .AD隼ABC（两角加一边） AB=ADBC=CD在DEC!BEC中/BCAhDCACE=CEBC=CD .DE隼BEC（两边夹一角）/DEC=BEC34.已知AB/DE,BC/EF,D,C在AF上，且AD=CF,求证：AABCADEF.AD=DF.AC=DF1 .AB/DE/A=/EDF又BC/EF/F=/BCA2 .ABCADEF（ASA）35.已知：如图，AB=AC,BD_LAC,CE_LAB,垂足分别为D、E,BD、CE相

21、交于点F,求证：BE=CD.证明：-.BD±ACZBDC=90.CEXABZBEC=90ZBDC=ZBEC=90°-.AB=ACZDCB=ZEBCBC=BC-RtABDCRtABEC(AAS).BE=CD36、如图，在ABC中，AD为/BAC的平分线，DELAB于E,DFLAC于F。求证：DE=DF.证明：.AD是/BAC的平分线ZEAD=ZFAD.DEXAB,DF±ACZBFD=ZCFD=90AED与/AFD=90°在AED与AFD中ZEAD=ZFADAD=ADZAED=ZAFD.AED白AFD(AAS)AE=AF在AEO与AFO中/EAO=/FAOA

22、O=AOAE=AFAEOAAFO(SAS)/AOE=/AOF=90°.-.AD±EF37.已知：如图，AC_LBC于C,DE_LAC于E,AD_LAB于A,BC=AE.若AB=5，求AD的长？.AD±AB/BAC=/ADE又.ACLBC于C,DELAC于E根据三角形角度之和等于180度/ABC=/DAEBC=AE,ABC9DAE(ASA).AD=AB=538.如图：AB=AC,MEXAB,MFXAC,垂足分别为E、F,ME=MF。求证：MB=MC.AB=ACB=ZC.ME±AB,MF±AC./BEM=/CFM=90°在BME和CMF中

23、/B=/C/BEM=/CFM=90°ME=MFBMEACMF(AAS).MB=MC.39 .如图，给出五个等量关系：AD=BCAC=BDCE=DE/D=/C/DAB=/CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况)，并加以证明.已知：AD=BC,/DAB=ZCBA求证：DABCBA证明：AD=BC,/DAB=/CBA又AB=AB.DABCBA40 .在ABC中，NACB=90',AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,MDC色ACEB；BE_LMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证:DE=ADBE;(2)

24、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,请给出证明;(1)/ADChACB=ZBEC=90,CAD吆ACD=90,/BCE吆CBE=90,/ACD吆BCE=90. /CADhBCE .AC=BC .ADCCEB.AD室CEB.CE=ADCD=BE.DE=CE+CD=AD+BE(2) /ADChCEBhACB=90,/ACDhCBE又AC=BC.AC阴CBE.CE=ADCD=BEDE=CE-CD=ADBE41.如图所示，已知AE±AB,AF±AC,AE=ABAF=AC求证：(1)EC=BF(2)EC±BFF(1)AE!AB,AF±

25、;AC, /BAE土CAF=90°, /BAE+ZBAC4CAF吆BAC即/EAC4BAF,在ABF和AEC中， .AE=AB/EAC4BAF,AF=AC .ABHAEC(SAS,.EC=BF(2)如图，根据(1),ABfAE(C /AEC4ABF, .AE±AB,/BAE=90, ./AEC吆ADE=90, /ADEMBDM(对顶角相等)， /ABF+ZBDM=90,在BDM43,/BMD=180-ZABF-ZBDM=180-90°=90EC±BF.42.如图：BE±AC,CFXAB,BM=AC,CN=AB。求证：(1)AM=AN;(2)AM

26、LAN。证明：(1).BELAC,CFXAB /ABM+/BAC=90°,/ACN+/BAC=90/ABM=/ACN BM=AC,CN=ABABMNAC.AM=AN.ABMNAC/BAM=/N,/N+/BAN=90° /BAM+/BAN=90即/MAN=90°.-.AM±AN43.如图，已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证：BC/EF在ABF和4CDE中,AB=DEZA=ZDAF=CDABFACDE（边角边）.FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形.BC|EF44.如图，已知AC/BD,EA、EB分

27、别平分/CAB和/DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN=AC /CAE=/EAN AE为公共，CAEAEAN/ANE=/ACE又AC平行BD ./ACE+ZBDE=180而/ANE+/ENB=180 ./ENB=ZBDE/NBE=/EBNBE为公共边 .EBNAEBD.BD=BN，AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE,求证：BE/CF.证明：.AD是4ABC的中线BD=CD.DF=DE（已知）/BDE=FDC.BD且AFDC贝U/EBD=FCDBE/CF（内错角相等，两直线平行）。46、（10分）已知：如图，AB=CD,DEXAC,BFXAC,E,F是垂足，DE=BF