第6章 IIR数字滤波器设计

1、第第6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.5 6.5 数字高通、数字高通、 带通和带阻滤波器的设计带通和带阻滤波器的设计 正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、数字滤波器处理精度

2、高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。无法实现的特殊滤波功能。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。程序。若若 中的有用成分中的有用成分 和希望去除的成分和希望去除的成分 各自占有不同的频带各自占有不同的频带, , 通

3、过一个线性系通过一个线性系统可将统可将 有效去除。有效去除。 从功能上又可分为从功能上又可分为: : 低通低通(LP), (LP), 高通高通(HP),(HP),带带通通(BP), (BP), 带阻带阻(BS) (BS) ( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪声加法性噪声( )u n( )s n( )u n1 1、数字滤波器的分类、数字滤波器的分类图图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号用经典滤波器从噪声中提取信号图图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性每一种又有模拟每一种又有模拟(AF)(AF)、数字、数字(DF)

4、(DF)两种滤波器两种滤波器. .对数字滤波器对数字滤波器, , 从实现方法上从实现方法上, , 有有IIRIIR滤波器和滤波器和FIRFIR滤波器之分滤波器之分, , 系统函数分别为系统函数分别为: :k 01( )1MkkNkkkb zH za z10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪声乘法性噪声( )( )* ( )x ns nu n卷积性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经

5、典的滤波方法难以去除噪声，需采用现代滤波器。现代滤波器方法难以去除噪声，需采用现代滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限地恢复信号，从而最大限度地抑制干扰，同时最大限地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。达到最佳滤波的目的。滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中提取信号、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器提取信号、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器的设计与实现是必不可少的。的设计与实现是必不可少的。根据滤波器对信号的处理作用又将其分为根据滤波

6、器对信号的处理作用又将其分为选频滤波选频滤波器和其他滤波器器和其他滤波器。u上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，滤波器，u其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。正等滤波器。常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数字滤波器的频率响应函数HH(e(ej j ) )用下式表示：用下式表示： HH(e(ej j )=|)=|HH(e(ej j )|e)|ej j ( ( ) )式中，式中，| |HH(e(ej j )|)|称

7、为称为幅频特性函数幅频特性函数; ; ( ( ) )称为称为相频特相频特性函数性函数。 幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。后在时间上的延时情况。2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。因为理想滤波器物理上是不可实现的（由于从一个频带因为理想滤波器物理上是不可实现的（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）。要物理上可实现：应从一到另一个频带之

8、间的突变）。要物理上可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和阻带内个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和阻带内也不应该严格为也不应该严格为1 1或零。应给以较小容限。或零。应给以较小容限。 以低通滤波器为例，幅频响应有以低通滤波器为例，幅频响应有通带、过渡带及阻通带、过渡带及阻带带三个范围，而不是理想的陡截止的三个范围，而不是理想的陡截止的通带、阻带通带、阻带两个范两个范围。围。 本章主要研究选频滤波器的设计。一般选频滤波本章主要研究选频滤波器的设计。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出。器的技术要求由幅频特性给出。低通滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标通带的容限通带的

9、容限阻带容限阻带容限 通带边界频率通带边界频率 阻带截止频率阻带截止频率21ps2111ps)e (Hj通带通带阻带阻带过渡带过渡带 平滑过渡平滑过渡1,11jpHe2,jsH eps 通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用示，通带内允许的最大衰减用 p p表示，阻带内允许的表示，阻带内允许的最小衰减用最小衰减用 s s表示。对低通滤波器，表示。对低通滤波器， p p和和 s s分别定义分别定义为：为：pjj0ppjjmax|(e )|(e )|20lgdB=20lgdB , 0min|(e )|(e)|HHHHsjj

10、0sjjmax |(e )|(e )|20lgdB=20lgdBmin |(e )|(e)|HHHHp p p 越小越小, , 通带波纹越小，通带逼近误差就越小；通带波纹越小，通带逼近误差就越小； p s s越大越大, , 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；p p p与与 s s间距越小间距越小, , 过渡带就越窄。过渡带就越窄。 所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率 p p、通带最大衰减、通带最大衰减 p p 阻带边界频率阻带边界频率 s s和阻带最小衰和阻带最小衰减减 s s确定。确定。如果将如果将| |HH

11、(e(ej0j0)|)|归一化为归一化为1 1，则，则dB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH当幅度下降到当幅度下降到 时，标记时，标记 = = c c，此时，此时 dBdB，称，称 c c为为3 dB3 dB通带截止频率。通带截止频率。 p p、 c c和和 s s统称统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，上面两式中的要的参数。对其他类型的滤波器，上面两式中的HH(e(ej0j0) )应改成应改成 ， 0 0为滤波器通带中心频率。为滤波器通带中心频率。2/23p0()jH e片段常

12、数特性：片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为为“片段常数特性片段常数特性”。所谓片段，是指所谓片段，是指“通带通带”和和“阻带阻带”，常数是指，常数是指“通带波纹幅度通带波纹幅度 1 1”和和“阻带阻带波纹幅度波纹幅度 2 2”，而通带最大衰减，而通带最大衰减 p p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s s是与是与 1 1和和 2 2完全等价的两个常数。片段常数特性概完全等价的两个常数。片段

13、常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIRIIR数字滤波器的双线性变换设计思想。数字滤波器的双线性变换设计思想。1 1、借助模拟、借助模拟filterfilter的设计方法的设计方法（1 1）将）将DFDF的技术指标转换成的技术指标转换成AFAF的技术指标；的技术指标；（2 2）按转换后技术指标、设计模拟低通）按转换后技术指标、设计模拟低通filterfilter的的 ； （3 3）将）将 （4 4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通）如果不是低通，则必须先将其转换成低通 AFAF的技术指标。的技术指标。3 IIR数字滤波器的设计

14、方法数字滤波器的设计方法) s (Ha)()(zHsHa2 2、计算机辅助设计法（最优化设计法）、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如设计出的频率响应幅先确定一个最佳准则，如设计出的频率响应幅度度 与所要求的理想频率响应幅度与所要求的理想频率响应幅度 的均方误的均方误差最小准则，或者它们的最大误差最小准则等，然后差最小准则，或者它们的最大误差最小准则等，然后在此准则下在此准则下 ， 确定系统函数的系数。这种设计一般确定系统函数的系数。这种设计一般得不到闭合形式的系统函数，而是需要进行大量的迭得不到闭合形式的系统函数，而是需要进行大量的迭代运算，所以离不开计算机。代运算，所以

15、离不开计算机。jH ejdH e6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.2.1 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法6.2.2 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计6.2.6 6.2.6 频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 分别用分别用h ha a( (t t) )、a a( (s s) )、HHa a(j (j ) )表示模拟滤波器的单表示模拟滤波器的单位脉冲响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系位脉冲响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：如下： aaa

16、jaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHshthttHhthtt6.2.1 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 设计指标一般由幅频响应函数设计指标一般由幅频响应函数|H|Ha a(j)|(j)|给出，给出，ALFALF的设计就是根据设计指标，求系统函数的设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)Ha(s)，使其逼近理想使其逼近理想LFLF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filterfilter的类型）的类型）主要有主要有巴特沃思型巴特沃思型切贝雪夫型切贝雪夫型椭圆型椭圆型 逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数

17、确定逼近依据是幅度平方函数，即由幅度平方函数确定系统函数。系统函数。巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器具有单调下降的具有单调下降的幅频特性。幅频特性。 切比雪夫滤波器的幅频切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高等波纹特性，可以提高选择性。选择性。椭圆滤波器的选择性是最椭圆滤波器的选择性是最好的，但通带和阻带内均好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。位特性的非线性也稍严重。 由幅度平方函数确定系统函数的方法由幅度平方函数确定系统函数的方法由于由于 ，所以，所以 其中，其中， 是是AF的系统函数，的系统函数，

18、是是AF的频响，的频响， 是是AF的幅频特性。的幅频特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa 1、幅度平方函数、幅度平方函数*()()aaHjHj |aaaasjHjHjHs Hs 2*aaaHjHjHj2 2、HHa a（s s）HHa a（-s-s）的零极点分布特点的零极点分布特点（1 1）如果）如果s s1 1是是HHa a（s s）的极点，那麽的极点，那麽- s- s1 1就是就是H Ha a（-s-s）的极点；同样，如果的极点；同样，如果s s0 0是是HHa a（s s）的零点，那麽的零点，那麽- - s s0 0就是就是HHa a（-s-s）的零点。所以的零点。所以HHa a

19、（s s） H Ha a（-s-s）的的零极点是呈象限对称的零极点是呈象限对称的, ,例如：例如：;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 jHa（s）Ha（-s）的零极点分布（成象限对称）的零极点分布（成象限对称）（2 2）虚轴上的零点一定是二阶的。这是因为）虚轴上的零点一定是二阶的。这是因为ha（t）是实数，是实数，Ha（s）的零极点以共轭对的的零极点以共轭对的形式存在；形式存在；（3 3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；无极点）；由于由于filterfilter是稳定的，所以是稳定的，所以HHa a（s

20、 s）的极点一定的极点一定在左半平面；若没有特殊要求，可取任一半对在左半平面；若没有特殊要求，可取任一半对称零点为称零点为HHa a（s s）的零点（的零点（ 有特殊要求，比如有特殊要求，比如最小相位延时，应取左半平面的零点）。最小相位延时，应取左半平面的零点）。3、由、由 确定确定 的方法的方法)(sHa（2）分解）分解 得到各零极点，将左半面的得到各零极点，将左半面的极点极点 归于归于 ，对称的零点任一半归，对称的零点任一半归 。若要求。若要求最小相位延时，左半面的零点归最小相位延时，左半面的零点归 。( )aH s( )aH s( )aH s( )( )aaH s Hs （3）按照）按照

21、 与与 的低频特性或高频特性的对比的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数。确定出增益常数。 ( )aH s()aH j（4）由求出的）由求出的 的零极点及增益常数，则可完全确的零极点及增益常数，则可完全确定系统函数定系统函数 。 ( )aH s( )aH s2aHj 222aaasHsHsHj （1 1）求）求例例6-3 由由确定系统函数确定系统函数 。)(SHa解：解：所以，极点为所以，极点为 零点为零点为, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j零点是二阶的。我们选极点零点是二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点，一对虚轴零点5 j为为 的零极点，这样的零极点，这样)S(Ha)6S

22、)(7S()25S(K)S(H20a因因 2222216 254936aHj 222222216 254936aaassHs HsHjss 由由 可确定出可确定出 0K76K25)0(H0a所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222as00 ，0254 256 76 7K 4 2506 7aH式中，式中，N N称为滤波器的阶数。当称为滤波器的阶数。当 =0=0时，时，| |H Ha a(j (j )|=1)|=1； = = c c时，时， ， c c是是3 dB3 dB截止频率。在截止频率。在 = = c c附近，随附近，随 加大，幅度迅速下降。

23、加大，幅度迅速下降。 NH2c2a11| )j (|2/1| )(|jHa6.2.2 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计1 幅度平方函数幅度平方函数 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数| |H Ha a(j (j )|)|2 2用下式表示：用下式表示： 2. 2. 幅频特性幅频特性)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(1)20( 0)1,0aHj 当时,即在处无衰减)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(2) (2) 在止带内的逼近是单调变化的，不管在止带内的逼近是单调变化的，不管N N为多少，为多少，所有所有 都经

24、过都经过 点（点（-3dB)-3dB)处。处。)( jHa21)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c(3) (3) 滤波器的特性完全由滤波器的特性完全由其阶数其阶数N N决定。决定。N N越大，越大，则通带内在更大范围内则通带内在更大范围内更接近于更接近于1 1，在止带内，在止带内迅速地接近于零。因而迅速地接近于零。因而当阶数越大时，其振幅当阶数越大时，其振幅特性更接近于理想的矩特性更接近于理想的矩形频率特性。形频率特性。)j (Ha1.02/ 10N=2N=4N=8c3 3、巴特沃思、巴特沃思filterfilter的系统函数的系统函数)(SHa由于由于 所以其零点全部所以其零点全

25、部在在 处；即所谓全极点型。处；即所谓全极点型。,)(1/1)()(2NCaajSSHSH这些极点也是呈象限对称的。而且分布在半径为这些极点也是呈象限对称的。而且分布在半径为 的巴特沃思圆上，共有的巴特沃思圆上，共有2N个点。点。1211222N1,0,1,21kjNkccsjekN s211,0,1,2,21jkekN 2jje它的极点为它的极点为c例如，例如，N=2N=2时，时，12122,0,1,21kjNkcsekN 340jcse541jcse742jcse943jcsej2N 0s1s2s3sN=3时，时，230jcse1jcse432jcse533jcse24jcse735jcs

26、ej3N 0s1s2s3s4s5s取取 左半平面的极点为左半平面的极点为 的极点，的极点，这样极点仅有这样极点仅有N个，即个，即)()(SHSHaa)(SHa则则12122,0,1,1kjNkcsekN 10NcaNkkHsss例例导出三阶巴特沃思导出三阶巴特沃思LF的系统函数，设的系统函数，设s /rad1C解：解：其极点为其极点为所以所以261()1aHj 61( )()1aaHs Hss11() ()22322,0,1,5jkjkNkseek1231313,1,2222sjssj 取前三个根，321( )221aHssss1231( )aHsssssss4 4、归一化的系统函数、归一化的

27、系统函数 如果将系统函数的如果将系统函数的s 用滤波器的截止频率去除，这用滤波器的截止频率去除，这样对应的截止频率变为样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统，即所谓归一化，相应的系统函数称作归一化的系统函数，记作函数称作归一化的系统函数，记作Ga(p) 例如，对于巴特沃思例如，对于巴特沃思filter如果将低通如果将低通filter归一化，就称作归一化原型滤波器。归一化，就称作归一化原型滤波器。 10NcaNkkHsss12122,01,-1kjNkcsekN ，12 +122,kjNkcsppe10a)(1)(NkkpppG5 5、归一化原型、归一化原型filterfilter的设

28、计数据的设计数据 不论哪种形式（巴特沃思，切贝雪夫）的不论哪种形式（巴特沃思，切贝雪夫）的filterfilter，都有自己的归一化原型都有自己的归一化原型filterfilter，而且它们都有现成的数，而且它们都有现成的数据表可查和设计公式。据表可查和设计公式。 例如，归一化巴特沃思原型例如，归一化巴特沃思原型filterfilter的系统函数为的系统函数为a1212101( )NNNNNGppbpbpb pbN=19N=19阶的各个系数，如表阶的各个系数，如表6.2.1(P157)6.2.1(P157)所示。所示。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 根据性能指标求出根据性能指标求出

29、N N 和和3 dB截止频率截止频率c ，然后查，然后查表得到归一化系统函数表得到归一化系统函数 ，再去归一化就可得到，再去归一化就可得到 。去归一化的方法是将。去归一化的方法是将 中的中的p p代入代入 即可。即可。()aGpcs ( )aHs()aGp阶数阶数N N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带幅度的下降速度，它由技术指标过渡带、阻带幅度的下降速度，它由技术指标 p p、 p p、 s s和和 s s确定。确定。下面先介绍阶数下面先介绍阶数N的确定方法的确定方法将将 代入幅度平方函数，再将幅度平代入幅度平方函数，再将幅度平方函数代入

30、上面的两个式子得到方函数代入上面的两个式子得到10/2cpp101NdB| )e (|lg20pjpHdB| )e (|lg20sjsH10/2css101Npssp/10s/10p101101N令令 ssppsp/10sp/10101101k则则N N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN 求出的求出的N可能有小数可能有小数部分，应取大于或等部分，应取大于或等于于N的最小整数。的最小整数。关于关于3 dB3 dB截止频率截止频率 c c，如果技术指标中没有给，如果技术指标中没有给出，可以按照下式求出出，可以按照下式求出p10.12cp101N s10.12cs101N 10/2cpp

31、101N10/2css101N通带指标刚通带指标刚好满足要求，好满足要求，阻带指标有阻带指标有富余富余阻带指标刚好阻带指标刚好满足要求，通满足要求，通带指标有富余带指标有富余(1) (1) 根据技术指标根据技术指标 p p、 p p、 s s和和 s s，由，由按照按照 求出归一化极点求出归一化极点p pk k，将，将p pk k代入代入(2)(2) 得到归一化低通原型系统函数得到归一化低通原型系统函数GGa a( (p p) )。也可根。也可根据阶数据阶数N N直接查表直接查表6.2.16.2.1得到得到GGa a( (p p) )。 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：总结以上，低

32、通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：spsplglgkN 12122p,0,1,1kjNkekN求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N N。10a)(1)(NkkpppG(3) (3) 将将GGa a( (p p) )去归一化。将去归一化。将p p= =s s/ / c c代入代入G Ga a( (p p) )，得，得到实际的滤波器系统函数到实际的滤波器系统函数这里这里 c c为为3 dB3 dB截止频率，如果技术指标没有给出截止频率，如果技术指标没有给出 c c，可以按照，可以按照c| )()(asppGsHN211 . 0pc) 110(pN211 . 0sc) 110(s或或求出。求出。取取N=

33、5 已知通带截止频率已知通带截止频率f fp p=5 kHz=5 kHz，通带最大，通带最大衰减衰减 p p=2 dB=2 dB，阻带截止频率，阻带截止频率f fs s=12 kHz=12 kHz，阻带最小，阻带最小衰减衰减 s s=30 dB=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。通滤波器。【例【例6.2.1】解解: (1) : (1) 确定阶数确定阶数N Nsp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为上式分母可以展开成五阶多项式，也可

34、由上式分母可以展开成五阶多项式，也可由N N=5=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG(2) (2) 其极点为其极点为归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为式中式中, b, b0 0=1.0000=1.0000，b b1 1=3.2361=3.2361，b b2 2=5.2361=5.2361，b b3 3=5.2361=5.2361，b b4 4=3.2361=3.2361012233445a1)(bpbpbpbpbppG(3) (3) 为将为将GGa a( (p p) )去归一化，先求去归一化，

35、先求3 dB3 dB截止频率截止频率 c c。10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN s10.12sc(101)2 10.525 krad/sN此时算出的此时算出的比题目中给的比题目中给的 s s小，因此，过渡小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在带小于指标要求。或者说，在 s s=2=212 krad/s12 krad/s时时衰减大于衰减大于30 dB30 dB，所以说阻带指标有富余量。，所以说阻带指标有富余量。s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH将将p p= =s s/ / c c代入代入GGa a( (p p) )中中, , 得到

36、：得到： 设计一个模拟低通巴特沃思滤波器。要设计一个模拟低通巴特沃思滤波器。要求通带截止频率求通带截止频率 ，通带，通带最大衰减最大衰减 ，阻带下限截止频率，阻带下限截止频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 24000/prad s 3pdB20sdB28000/srad s 解解：（：（1）计算所需的阶数计算所需的阶数例例sp0.1sp0.1spp1019.971012lg9.973.31lg2skN取取N=4（2 2）查表得到归一化系统函数）查表得到归一化系统函数查查P157P157，表，表6.2.16.2.1，可得，可得N=4N=4时的归一化原型模拟巴特时的归一化原型模拟巴特沃思沃思LFL

37、F的系统函数为的系统函数为（3）将）将p用用 代入代入( )aHs 4321G2.61313.41422.61311apppsppcs 4432 2342.61313.41422.6131caccccH sssss phph表示高通滤波器的通带边界频率表示高通滤波器的通带边界频率; ; plpl和和 pupu分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率上边界频率; ; slsl和和 susu分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。上边界频率。 6.2.6 频率变换与模拟高通

38、、带通、带阻滤波器的设计频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计图图6.2.12 6.2.12 各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图通带最大衰减和阻带最小衰减仍用通带最大衰减和阻带最小衰减仍用 p p和和 s s表示表示从原理上讲，通过频率变换公式，可以将模拟从原理上讲，通过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数低通滤波器系统函数QQ( (p p) )变换成希望设计的低通、变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数高通、带通和带阻滤波器系统函数HHd d( (s s) )。所以，设。所以，设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是计高通、带通

39、和带阻滤波器的一般过程是: :u 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；转换为相应的低通滤波器指标； u设计相应的低通系统函数设计相应的低通系统函数Q(p)Q(p)； u 对对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数统函数Hd(s)。为了叙述方便，定义为了叙述方便，定义p p= = +j+j 为为QQ( (p p) )的归一化复的归一化复变量，其通带边界频率记为变量，其通带边界频率记为 p p， 称为归一化频率。称为归一化频率。用用HHd d( (s s) )表示希望设计的模

40、拟滤波器的系统函数，表示希望设计的模拟滤波器的系统函数，s s= = +j+j 表示表示HHd d( (s s) )的复变量。的复变量。1( )1G pp例如，一阶巴特沃斯低通原型系统函数为例如，一阶巴特沃斯低通原型系统函数为显然显然, 其其3 dB截止频率截止频率p=1, 是关于是关于3 dB截止频率归截止频率归一化的。一化的。 从低通到高通滤波器的映射关系为从低通到高通滤波器的映射关系为下面简单介绍各种频率变换公式。从下面简单介绍各种频率变换公式。从p p域到域到s s域映域映射的可逆变换记为射的可逆变换记为p p= =F F( (s s) )。低通系统函数。低通系统函数Q Q( (p p

41、) )与与H Hd d( (s s) )之间的转换关系为之间的转换关系为d( )( )( )p F sHsQ p1d( )( )( )s FpQ pHspphps 1 模拟高通滤波器的设计模拟高通滤波器的设计在虚轴在虚轴(频率轴频率轴)上该映射关系简化为如下变换公式上该映射关系简化为如下变换公式: ph为希望设计的高通滤波器为希望设计的高通滤波器HHP(s)的通带边界频率。的通带边界频率。该频率变换公式意味着该频率变换公式意味着u低通滤波器的通带低通滤波器的通带0, 0, p p映射为高通滤波器的通映射为高通滤波器的通带带, , phph; ;u 低通滤波器的通带低通滤波器的通带 p p, 0

42、, 0映射为高通滤波器映射为高通滤波器的通带的通带 phph, , 。pph u将低通滤波器的阻带将低通滤波器的阻带 s s, , 映射为高通滤波映射为高通滤波器的阻带器的阻带 shsh, 0, 0，u而将低通滤波器的阻带而将低通滤波器的阻带, , s s映射为高映射为高通滤波器的阻带通滤波器的阻带0, 0, shsh。映射关系式确保低通滤波器映射关系式确保低通滤波器Q(p)Q(p)通带通带 p p, , p p上的幅度值出现在高通滤波器上的幅度值出现在高通滤波器HHHPHP(s)(s)的通带的通带 phph|上。上。低通滤波器低通滤波器Q(p)Q(p)阻带阻带 s s|上的幅度值出现在上的幅

43、度值出现在高通滤波器高通滤波器HHHPHP(s)(s)的阻带的阻带 s s, , s s上。上。同样，同样，归一化的系统函数得到后，只要将映射关系代入通归一化的系统函数得到后，只要将映射关系代入通带边界频率为带边界频率为 p p的低通滤波器的系统函数的低通滤波器的系统函数Q(p)Q(p)就可转就可转换成通带边界频率为换成通带边界频率为 phph的高通滤波器系统函数的高通滤波器系统函数: : pphHP( )( )psHsG p 设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带边界频率边界频率fp=20 kHz，阻带边界频率，阻带边界频率fs=10 kHz，fp处的最处的

44、最大衰减为大衰减为3 dB，阻带最小衰减为，阻带最小衰减为15 dB。【例】【例】解解(1(1） 确定高通滤波器的性能指标。确定高通滤波器的性能指标。20,310,15ppssfkHzdBfkHzdB (2 (2） 将希望设计的高通滤波器的指标转换成相将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的归一化低通滤波器应的归一化低通滤波器QQ( (p p) )的指标。的指标。p=1，pss200022100003pdB15sdB（3） 设计相应的归一化低通系统函数设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。sp0.1sp0.1spp1010.181012lg0.182.47lg2skN 取取N=3查表得到可得查

45、表得到可得N=4N=4时的归一化原型模拟巴特时的归一化原型模拟巴特沃思沃思LFLF的系统函数为的系统函数为 321G221apppp（4 4）频率变化。将）频率变化。将G(p)G(p)变换成实际高通滤波器变换成实际高通滤波器的系统函数的系统函数HHhphp(s)(s) 33223H=G22phpapscccsspssp 342220 10410/ppfrad s 低通到带通的频率变换公式如下低通到带通的频率变换公式如下: : 在在p p平面与平面与s s平面虚轴上的频率关系为平面虚轴上的频率关系为220pwspB s220pwB 2 低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换uBw=pupl,

46、表示带通滤波器的通带宽度表示带通滤波器的通带宽度,pl和和pu分别为带通滤波器的分别为带通滤波器的通带下截止频率通带下截止频率和和通带上截止通带上截止频率频率; u0称为带通滤波器的称为带通滤波器的中心频率中心频率。根据映射关系根据映射关系频率频率=0=0映射为频率映射为频率 = = 0 0，频率频率 = = p p映射为频率映射为频率 pupu和和 plpl，频率频率 = = p p映射为频率映射为频率 pupu和和 plpl。也就是说，将低通滤波器也就是说，将低通滤波器G(p)G(p)的通带的通带 p p, , p p映射为带通滤波器的通带映射为带通滤波器的通带 pupu, , plpl和

47、和 plpl, , pupu。同样道理同样道理频率频率 = = s s映射为频率映射为频率 susu和和 slsl，频率频率 = = s s映射为频率映射为频率 susu 和和 slsl。220pwBP( )( ) spB sHsQ p0plpu1ssu 可以证明可以证明归一化的系统函数得到后，只要将映射关系代入归一化的系统函数得到后，只要将映射关系代入Q(p)Q(p)就可转换成带通滤波器的系统函数就可转换成带通滤波器的系统函数: : 所以，带通滤波器的通带（阻带）边界频率关于中所以，带通滤波器的通带（阻带）边界频率关于中心频率心频率 0 0几何对称。如果原指标给定的边界频率几何对称。如果原指

48、标给定的边界频率不满足该式，就要改变其中一个边界频率不满足该式，就要改变其中一个边界频率, , 以便满以便满足式，但要保证改变后的指标高于原始指标。足式，但要保证改变后的指标高于原始指标。 减小减小 plpl使使通带宽度大于通带宽度大于原指标要求的原指标要求的通带宽度通带宽度，增大增大 slsl或减小或减小 plpl都使都使左边的过渡带宽度小于左边的过渡带宽度小于原指标原指标要求的要求的过渡带宽度过渡带宽度； 反之，如果反之，如果 plpl pupuslsu，则减小，则减小pl（或增（或增大大sl）使上式得到满足。具体计算公式为）使上式得到满足。具体计算公式为图图6.2.14 6.2.14 低

49、通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系低通原型到带通的边界频率及幅频响应特性的映射关系低通到带阻的频率变换公式为低通到带阻的频率变换公式为 在在p p平面与平面与s s平面虚轴上的频率变换关系为平面虚轴上的频率变换关系为wp220B spswp220B 3 低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换 B Bw w= = susu slsl，表示带阻滤波器的，表示带阻滤波器的阻带宽度阻带宽度， slsl和和 susu分别为带阻滤波器的分别为带阻滤波器的阻带下截止频率阻带下截止频率和和阻带阻带上截止频率上截止频率; ; 0 0称为带阻滤波器的称为带阻滤波器的阻带中心频率阻带中心频率。 是是Q

50、Q的二次函数的二次函数, ,从低通滤波器频从低通滤波器频率率 到带阻滤波到带阻滤波器频率器频率 为双值为双值映射映射当当 从从 s s p p 0_0_时，时， 从从 su su pu pu -,-,形成如图形成如图6.2.12(c)6.2.12(c)所示的带阻滤波器所示的带阻滤波器H HBSBS(j)(j)在在(-(-， 0 0 上的频响；上的频响； 从从 s1s1 + +p1p1 0 0+ +, ,形成形成HHBSBS(j)(j)在在00+ +， 0 0 上的频响。上的频响。当当 从从0 0+ + p p s s + +时，时， 从从0 0- - pl pl sl sl - -, ,形成如

51、图形成如图6.2.12(c)6.2.12(c)所所示的带阻滤波器示的带阻滤波器H HBSBS(j)(j)在在 0 0 ,0 ,0上的频响；上的频响； 从从+ pupu + +susu , ,形成形成HHBSBS(j)(j)在在+0 0, , ) )上的频响。上的频响。所以将代入低通原型滤波器所以将代入低通原型滤波器QQ( (p p) )转换为所希转换为所希望的带阻滤波器的系统函数望的带阻滤波器的系统函数: :wp220BP( )( ) B spsHsG p可以证明可以证明2plphslsh00plphslsh= 即6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波

52、器利用模拟滤波器来设计数字滤波器：利用模拟滤波器来设计数字滤波器：Ha(s) H(z)映射映射为了保证映射后的为了保证映射后的HH( (z z) )稳定且满足技术指标要求，稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求：对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。因果稳定的。(2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响特性数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响特性因果稳定模拟滤波器的因果稳定模拟滤波器的Ha(s)的极的极点全部位于点全部位于s平面的左半平面；因平面的左半平面；因果稳定数字滤波器的果稳定数

53、字滤波器的H(z)的极点的极点全部在单位圆内。因此，转换关全部在单位圆内。因此，转换关系应使系应使s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平平面的单位圆内部。面的单位圆内部。s s平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为z z平面的平面的单位圆，相应的频率之间呈单位圆，相应的频率之间呈线性关系。线性关系。将系统函数将系统函数HHa a( (s s) )从从s s平面转换到平面转换到z z平面的方法平面的方法有多种：有多种：（1 1）脉冲响应不变法脉冲响应不变法；（2 2）双线性变换法；）双线性变换法；（3 3）阶跃响应不变法。）阶跃响应不变法。这一节我们讨论脉冲响应不变法。这一节我们讨论脉冲响应不

54、变法。（1 1）什么是冲激不变法）什么是冲激不变法 脉冲响应不变法脉冲响应不变法是从时域出发，要求数字滤波是从时域出发，要求数字滤波器的单位抽样响应器的单位抽样响应h(n)h(n)对应于模拟滤波器冲激响对应于模拟滤波器冲激响应应h ha a(t)(t)的等间隔抽样。的等间隔抽样。 其中其中T T是抽样周期。因此时域逼近良好。是抽样周期。因此时域逼近良好。1、变换原理、变换原理如果如果 则有则有( )aHs 脉冲响应不变法的映射规则为脉冲响应不变法的映射规则为:z=e:z=esTsT(T(T为抽样周为抽样周期期) )。这种映射是。这种映射是多对一的映射关系，多对一的映射关系，并不是简单的并不是简

55、单的代数映射，故不能将其直接代入代数映射，故不能将其直接代入HHa a(s)(s)来得到来得到H(z).H(z). ( ),aaHsL htH zZ h n12( )()sTaz ekH zHsjkTT上式表明，先对上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过沿虚轴作周期延拓，再经过的映射关系映射到的映射关系映射到z z平面。平面。得到：得到： TreT sz与()jjTTjTzreeee sj (2)Z平面和平面和s平面的映射关系平面的映射关系z的模rS的实部z的相角S的虚部. r与 的关系，Trej0Re zIm z0对应于对应于r=1r=10对应于对应于r1 r1r10z平面s平面. . 与

56、与 的关系，的关系，T 对应于对应于0 对应于对应于0 js 平面0T3TT3Tz平面平面Re zIm z000T 2、Ha(s)映射成映射成H(z)的方法的方法（1 1）一般方法）一般方法 aaHshth nH z 1LaahtHs aahthnT抽样，h n 1HzZh n（2 2）方法的简化）方法的简化 设设 只有单阶极点，而且分母的阶次只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统），有这样才相当于一个稳定的模拟系统）， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)S(Ha)S(Ha1( )

57、NkakkAHsss11( )( )( )( )( )kNs taaaakkHsh th tLHsA e u t由求：( )u t其中是连续时间单位阶跃函数。11( )( )()( )()( )kkaNNs nTs Tnakkkkh th nh nTA eu nA eu n由冲激不变法，数字滤波器的单位抽样响应等于的抽样。110011011( )( ).( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks Tkh nzH zH zh n zA ezAezAez 对求 变换得到平面）（平面）zzeAzHsssAsHNkTskNkkkak1111)()(（3 3）几点结论）几点结

58、论（1 1）s s平面的单极点平面的单极点 变为变为z z平面单极点平面单极点 就可求得就可求得HH（z z）。）。（2 2） 与与HH（z z）的系数相同，均为）的系数相同，均为 。（3 3）AFAF是稳定的，是稳定的，DFDF也是稳定的。也是稳定的。（4 4）s s平面的极点与平面的极点与z z平面的极点一一对应，但两平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。例如，零点就没有这种对应关系。kAks sks Tz e aHs模拟滤波器与数字滤波器的变换关系模拟滤波器与数字滤波器的变换关系111;1is Tissez111( )( )1kNNkk

59、as TkkkAAHssH zzssez平面）（ 平面）11111( 1)1()()(1)!1immsTmmiidssmdsez11kkks TkAAssez122122(sin)()12(cos)aTaTaTbebT zsabebT zez1221221(cos)()12(cos)aTaTaTsaebT zsabebT zez*11kkks TkAAssez（4 4）修正的）修正的HH（Z Z） 由于由于DFDF的频率响应与的频率响应与T T成反比，当成反比，当T T很小时，很小时，DFDF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：)nT(Th)n(ha

60、11( )1kNks TkTAH zez2()()jakkHeHjT 12)()jakkH eHjTT（3 3、用冲激不变法设计、用冲激不变法设计IIRDFIIRDF的一般流程的一般流程1 1、根据设计要求，设定指标。、根据设计要求，设定指标。2 2、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。指标。3 3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数H Ha a(s)(s)。4 4、将、将Ha(s)Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用下式设计出展成部分分式的并联形式，利用下式设计出H(z)H(z)