第九节 定积分物理应用举例

1、第九节第九节 定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离距离 s 时，力时，力 F 对物体所作的功为对物体所作的功为 W=Fs如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就如果物体在运动的过程中所受的力是变化

2、的，就不能直接使用此公式，而要采用不能直接使用此公式，而要采用“微元法微元法”的思的思想解决想解决.例例1 把一个带把一个带 +q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 x 轴上坐标原轴上坐标原点点 O 处，它产生一个电场这个电场对周围的电处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点放在这个电场中距离原点 O 为为 r 的地方，那么电的地方，那么电场对它的作用力的大小为场对它的作用力的大小为 ( k 是常数是常数)，当这个单位正电荷在电场中从当这个单位正电荷在电场中从 r=a 处沿处沿 x 轴移动到轴

3、移动到r=b (ab) 处时，计算电场力处时，计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功21rqkF解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,dd2rrkqW 所求功为所求功为rrkqWbad2 barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处rrkqWad2 .akq 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,例例2 一圆柱形蓄水池高一圆

4、柱形蓄水池高为为5米，底半径为米，底半径为3米，米，池内盛满了水池内盛满了水.问要把池问要把池内的水全部吸出，需作内的水全部吸出，需作多少功？多少功？xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为)( 38 . 92kNdx功元素为功元素为,d2 .88dxxW dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)例例2 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸问要把池内的水全部吸出，需作多少功？出，需作多少功？如果把例中的蓄水池改为如果把例中的蓄水池改为球形或锥形球形或锥形的情况的情况 , 如

5、何分析？如何分析？解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101d)(xxfW,2k .d)(0 hhxxfW例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1 1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n

6、 hhxkxW0d,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nWWh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n二、水压力二、水压力由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为 h 处的压强为处的压强为 p= gh , ,这里这里 是水的是水的密度密度如果有一面积为如果有一面积为 A 的平板水的平板水平地放置在水深为平地放置在水深为 h 处，那么平板一侧所受的水处，那么平板一侧所受的水静压力为静压力为 F = pA= gh A 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处如果平板垂直放置在水中，由于

7、水深不同的点处压强压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而要采用接使用此公式，而要采用“微元法微元法”的思想解的思想解决决例例1 某水库闸门为长某水库闸门为长 a 米、宽米、宽 b 米的矩形，垂直放米的矩形，垂直放在水中，水面超过门顶在水中，水面超过门顶 c 米，求闸门一侧所受的水米，求闸门一侧所受的水压力。压力。一般地可以解决：一般地可以解决：例例2 设平板由曲线设平板由曲线 y=f(x) 与与 x=a , x=b 及及 x 轴围成，轴围成，且垂直放置在水中，设且垂直放置在水中，设 y 轴为水平面，求平板一侧轴为水平面，求平板一侧所受

8、的压力。所受的压力。解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,d)(2xxa xxaaxgFd)(2)2(d xxaaxgFad)(2(20 .373ag 例例3 将直角边分别为将直角边分别为 2a 及及a 的直角三角形薄的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，较长的直角边板垂直地浸人水中，斜边朝下，较长的直角边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力的边长，求薄板所受的侧压力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间d,xxx

9、xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.d222xxR , xgp 例例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为 R ，水的比重为，水的比重为 ，计算桶的，计算桶的一端面上所受的压力一端面上所受的压力小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为xxRgxFd2d22 端端面面上上所所受受的的压压力力xxRgxFRd2220 )(22022xRdxRgR RxRg032232 .323Rg 三、引力三、引力如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，如果要计算一根细棒对一

10、个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算用此公式计算, ,而要采用而要采用“微元法微元法”的思想解的思想解决决 2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为为积积分分变变量量取任一小区间取任一小区间d,yyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 例例1 有一长度为有一长度为 l 、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其在其 中垂线上距棒中垂线上距棒

11、a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的的质点质点 M ，计算该棒对质点，计算该棒对质点 M 的引力的引力 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,d22yaymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素 cosdFFx 2322)(d22yayamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF,)(dd2322yayamkFx 例例 长为长为 l 线密度为线密度为 的均匀细棒，在离端点的均匀细棒，在离端点为为 a 处有一质量为处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的的质点，求细棒对质点的引力。引

12、力。例例 长为长为 l 质量为质量为M 的均匀细棒，在离端点为的均匀细棒，在离端点为 a 处有一质量为处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的引力。的质点，求细棒对质点的引力。利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结1. 从实际情况出发建立恰当的坐标从实际情况出发建立恰当的坐标系对于物理量的计算是至关重要的系对于物理量的计算是至关重要的.注1. 一个物理问题的提出通常并不附一个物理问题的提出通常并不附带坐标系带坐标系,而建立物理量的积分表达式而建立物理量的积分表达式则离不开坐

13、标系则离不开坐标系,且在建立坐标系时且在建立坐标系时,必需明确指明必需明确指明原点原点位置和坐标轴的正向位置和坐标轴的正向.2. 计算时对同类量要采用统一的单计算时对同类量要采用统一的单位位.思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即

14、球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二二、 一一物物体体按按规规律律3tcx 作作直直线线运运动动，媒媒质质的的阻阻力力与与速速度度的的平平方方成成正正比比，计计算算物物体体由由0 x移移至至ax 时时，克克服服媒媒质质阻阻力力所所

15、作作的的功功 . .三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门，它它的的两两条条底底边边各各长长610 米米和和米米，高高为为20米米，较较长长的的底底边边与与水水面面相相齐齐. .计计算算闸闸门门的的一一侧侧所所受受的的水水压压力力 . .练练 习习 题题四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一块一块a高为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，

16、底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . .六、六、 设有一半设有一半R径为径为，中心，中心 角角为为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . .七七、 油油类类通通过过直直油油管管时时，中中间间流流速速大大，越越靠靠近近管管壁壁流流速速越越小小，实实验验测测定定，某某处处的的流流与与速速 v流流处处到到管管子子中中心心的的距距之之间间离离 r有有关关系系式式)(22rakv , ,其其中中为比例为比例k常常数数，为为油油管管a半半径径. .求求通

17、通过过油油管管的的流流量量 （注注： 当当流流速速为为常常量量时时， 流流量量 = = 流流速速 截截面面积积） . . 一、一、2ln800 ( (焦耳焦耳).). 二、二、3732725akc( (其其为为中中k比例常数比例常数) .) . 三、三、14373(14373(千牛千牛) . ) . 四、四、gr434 . . 五、五、 ba261. . 六、引力的大小为六、引力的大小为2sin2 Rkm, ,方向方向指指为为 M向圆弧向圆弧 的中心的中心 . . 七、七、42ak . .练习题答案练习题答案物理问题还要注意单位：物理问题还要注意单位：例例2 一弹簧，一弹簧，5 牛顿的力可以把它拉伸牛顿的力可以把它拉伸 1cm ，求把弹簧拉求把弹簧拉 0.1m ，外力所做的功，外力所做的功.例例1 某水库闸门为长某水库闸门为长 a 米、宽米、宽 b 米的矩形，垂直放米的矩形，垂直放在水中，水面超过门顶在水中，水面超过门