第2讲共顶点模型解析版

1、中考数学几何模型2:共顶点模型拨开云雾开门见山名师点睛共顶点模型,亦称手拉手模型,是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合,两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似.寻找共顶点旋转模型的步骤如下:(1)寻找公共的顶点(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边(3)将两组相等的边分别分散到两个三角形中去,证实全等或相似即可.两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形*常见结论：连接BD、AE交于点F,连接CF,那么有以下结论：(1) ABCDAACE(2) AEBDAFBDFE(4) FC平分BFE典题探究启迪思维探究重点例题1.以点A为顶点作等腰RtAABC,等腰RtAADE,

2、其中ZBAC=ZDAE=90°,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接BD、CE.(1)试判断BD、CE的数量关系,并说明理由；(2)延长BD交CE于点F试求/BFC的度数；(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)、(2)中的结论是否仍成立请说明理由.【解答】解：(1)CE=BD,理由如下：等腰RtAABC,等腰RtAADE,.AE=AD,AC=AB,在AEAC与ADAB中,rAE=AD.EAgaDAB(SAS),CE=BD;(2)/AEACADAB, ./ECA=/DBA, ./ECA+/CBF=/DBA+ZCBF=45°, ./ECA+/CBF+/DCB=45+4

3、5°=90°, ./BFC=180°-90=90°(3)成立, 等腰RtAABC,等腰RtAADE, .AE=AD,AC=AB,在AEAC与ADAB中,JOAB.EAgaDAB(SAS),CE=BD;EACADAB, ./ECA=/DBA, ./ECA+/CBF=/DBA+ZCBF=45°,./ECA+/CBF+/DCB=45+45°=90°,./BFC=180°90=90°.变式练习>>>1.：如图,AABC和4DCE都是等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90°.(1)求证

4、：BD=AE.(2)假设/ABD=/DAE,AB=8,AD=6,求四边形ABED的面积.ZACB=/DCE=90°,【解答】解：(1).ABC和ADCE者B是等腰直角三角形,AC=BC,CD=CE. ./ACB=/DCE=90°, /ACB+/ACD=/DCE+/ACD,即/BCD=/ACE.CBC=AC在ABCD和9CE中,BCD=/ACE,lcD=CE .BCDAACE(SAS),BD=AE;(2)由(1)得：BCD0ACE, ./CBD=/CAE, ./CBP+/BPC=90°,/BPC=/APD, ./EAC+ZAPD=90°, ./AHB=90

5、°, ./BAH+ZABD=90°, ./DAE=/ABD, .ZBAH+ZDAE=90°,即/BAD=90°, .AB=8,AD=6,BD=AE=10, 二S四边形ABED=10X102=50.祥DB内,求证：CD与EF互相平分.例题2.如图,等边那BC,等边那DE,等边ADBF分别有公共顶点A,D,且那DE,ADBF都在a-3加图建指£,小,田丛人同八八£,理门户广BD=E由片口8三?八卜加得hE小门*芦.所以四边里UECF为平行四边形,即与E产互相平分.变式练习>>>2.已如图,等边三角形ABC,在AB上取点D

6、,在AC上取点E,使得AD=AE,作等边三角形PCD,QAE和RAB,求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点.【解答】解：连接BP,ABC和APCD都为等边三角形,AC=BC,DC=PC,ZACB=ZDCP=60°,/ACB-/DCB=/DCP-/DCB,即/ACD=/BCP,ACDABCP(SAS),AD=BP,又/RAB+/BAC+ZQAE=180°,R,A,Q三点共线,又/CBP=/CAD=60°,/RBA+ZABC+ZCBP=180°,.R,B,P三点共线,又AQ=AE=AD=BP,RQ=RA+AQ=RB+BP=RP,又/R=60°,.

7、PQR是等边三角形,那么P、Q、R是等边三角形的三个顶点.例题3.在等边那BC与等边4DCE中,B,C,E三点共线,连接BD,AE交于点F连接CF.如图1,求证：BF=AF+FC,EF=DF+FC;2如图2,假设那BC,4DCE为等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90°,那么1的结论是否成立假设不成立,写出正确结论并证实不瞋；rhf=卜*、与m=i*+谑FUj1cnunm空ao于点为等辿/IbT*玳心所以HSWF.峡由JF-AF-rCFiHUflWtF=fJFt2)邮面3门巾('ftCKL片出门广点WJACFK为等直弟WAACF,«丹木一科/"上-Hh&

8、#39;+KFtF<袅MnJi!-1,芦4-J亍Fl：例题4.【问题探究】1如图锐角评BC,分别以AB、AC为腰,在AABC的外部作等腰RtAABD和RtAACE,连接CD、BE,试猜测CD、BE的大小关系CD=BE;不必证实【深入探究】2如图评BC、祥DE都是等腰直角三角形,点D在边BC上不与B、C重合,EC,那么线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为BC=CE+CD;不必证实线段AD2,BD2,CD2之间满足的等量关系,并证实你的结论；连接求AD【解答】解：1.ABD和祥CE是等腰直角三角形,AB=AD,AE=AC,且/DAB=/EAC=90°,/DAB+ZBAC=ZE

9、AC+ZBAC,即/BAE=在ADAC和ABAE中,rAD=AB-ZDAC=ZBAE,tAC=AE.DACABAE(SAS),CD=BE,故答案为：CD=BE.(2)ABC、那DE都是等腰直角三角形,.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,/BAD+/DAC=/CAE+/DAC,即/BAD=/CAE,在ABAD和ZCAE中,"AB三AC/BAD=/C疵,tAD=AE1 .BADACAE(SAS),2 .CE=BD,/ACE=/B=45°,又,.BC=BD+CD,ZACE=45°,BC=CE+CD,ZDCE=90°,3 .CD2+C

10、E2=DE2,4 BD=CE,DE=6AD,CD2+BD2=2AD2.故答案为：BC=CE+CD.(3)作.eLW,使一把二4C,连接CE.DE?'/CW=小,即乙=ZC.4E,产虱ZBAD=ZCAE.(AD-AE:SDCZr.=45°,Z£Z)J-45°,/皿二90,/-J>£=ce-3_cD2=6V2>,工DAEFO'.U)-A£-D£=6.2【拓展应用】3如图,在四边形ABCD中,/ABC=/ACB=/ADC=45°.假设BD=9,CD=3,的长.例题5.如图1,在GABC中,BC=4,以线

11、段AB为边作"BD,使得AD=BD,连接DC,再以DC为边作CDE,使得DC=DE,/CDE=/ADB=a.请直接写出线段AF的长(用含“的式子表示).AD=BD,DC=DE,如图L过E作EH,必于M,;由©知：A=EFBC.Z.AEM=A后FM、2：rAF=2FAf=£FXsin=8sini,22领悟提升强化落实(1)如图2,当/ABC=45°且“=90°时,用等式表示线段AD,DE之间的数量关系;(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,连接BF,AF.假设“=90.,依题意补全图3,求线段AF的长；【解答】解：(1)AD+DE

12、=4,理由是：如图1, ./ADB=/EDC=/a=90°, .AD+DE=BC=4;(2)补全图形,如图2,设DE与BC相交于点H,连接交BC于点G, ./ADB=ZCDE=90°, ./ADE=/BDC,在GADE与ABDC中,rAD=BD,ZADE=ZBDC,加DCADEABDC, .AE=BC,/AED=/BCD.DE与BC相交于点H, ./GHE=ZDHC, ./EGH=/EDC=90°,线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF, EF=CB=4,EF/CB, AE=EF, CB/EF, /AEF=/EGH=90°,AE=EF,ZAEF=9

13、0°, /AFE=45°, AF=!y=4/2;cos45达标检测1.如图,在等边AABC与等边ADCE中,B,C,E三点共线,BD交AC于点G,AE交DC于点H,连接GH.求证：GH/BE.2.如图,在正方形t层示了易证A-MH出BC'GfAS",可西CG-CH.所以为等边三第落.那么UH/BE.ABCD内取一点E,连接AE,BE,在那BE外分别以AE,BE为边作正方形AEMN和：；F】忱网速接NdCF.由CBF9内B£9AE=FG而W/NIX'=/FfM,M而MRCEXBA,所以NL=且F.所式g边形VCFA是平行四边子.EBFG,连

14、接NC,AF,求证：NC/AF.AB2+DE2=AD2+BE24.如图,在那BC中,AB=AC=10,连接AD,求AD的长.3.如图,在等腰RtAABC与等腰RtADCE中,/ABC=ZDCE=90°,连接AD,BE,求证:E提小】如图,桂摩AE"口殳于点F.用HElHO由勾收定理可用八小*Dr-AF+f口产-£广八.+HP-<+DF+<HF+E产"所以4取十口£=Air4er./BAC=45°,以BC为腰在那BC外部作等腰RtABCD,/BCD=90°,工1.丹.堤'1ii点年CE_Lac搜捋£

15、;AC,电接用E.AEm二.1口心上也H所以HE一凡D.8糖/E乂H帕'JG以qti=HE=EA5.【发现问题】如图1,"BC,以点A为直角顶点、AB为腰向"BC外作等腰直角那BE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向9BC外作等腰直角AACD不写作法,保存作图痕迹.连接BD、CE.那BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,那BC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,/ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD

16、的最大值.13困1【解答】【发现问题】解：延长CA至ijM,作/MAC的平分线AN,在AN上截取AD=AC,连接CD,即可得到等腰直角连接BD、CE,如图1所示：ABE与"CD都是等腰直角三角形,.AB=AE,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,./BAD=/EAC,ACD;31在ABAD和AEAC中,AD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE,故答案为：BD=CE;【拓展探究】解：BD=CE;理由如下： 四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形, .AB=AE,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,./BAD=/EAC,却在ABAD和AEAC中,Z

17、BAO=ZEACAD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE;【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE,连接CE,如图3所示:那么/BAE=60°,BE=AB=AE=8, AD=CD,ZADC=60°, .ACD是等边三角形, ./CAD=60°,AC=AD, ./CAD+ZBAC=/BAE+ZBAC,即/BAD=/EAC,rAB=A£在ABAD和ABAC中,/BAD二NEAC,lAD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE;当C、B、E三点共线时,CE最大=BC+BE=15+8=23, BD的最大值为23.6.线段AB,直线l于点B

18、,点D在直线l上,分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE,直线CE交直线l于点F.(1)当点F在线段BD上时,如图,求证：DF=CE-CF;(2)当点F在线段BD的延长线上时,如图；当点F在线段DB的延长线上时,如图,请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系,在图、图中选一个进行证实；(3)在(1)、(2)的条件下,假设BD=2BF,EF=6,那么CF=2或6.【解答】(1)证实：如图中,设AD交EF于O.ABC,AADE都是等边三角形, .AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,./BAD=/CAE,ABDAACE(SAS), .CE=BD,.AEO=/FDO, ./AOE=/FOD, ./OFD=ZOAE=60°,AB±BC, ./ABD=90°,./ABC=60°, ./CBF=30°, ./OFD=ZCBF+ZBCF,./FBC=/FCB=30°,CF=BF,DF=CE-CF 2)如图图中,结论：DF=CF-