_多元函数的极限与连续

1、DxyzOM xyP),(yxfz 第第8 8章章 多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续2第第8 8章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用上册已经讨论了一元函数微积分上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及往往涉及到多个因素之间关系的问题到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为这在数学上就表现为一个变量依赖于多个变量的情形一个变量依赖于多个变量的情形, 因而导出了多元因而导出了多元函数的概念及其研究与应用函数的概念及其研究与应用

2、.本章在一元函数微分学的基础上本章在一元函数微分学的基础上,数的微分方法及其应用数的微分方法及其应用.讨论多元函讨论多元函以二元函数为主以二元函数为主, 但所得到但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数上的多元函数.同时同时, 还须特别注意一些与一元函数还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点微分学显著不同的性质和特点. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续38.1 多元函数多元函数的极限与连续的极限与连续平面点集平面点集多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的

3、连续性 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续4一、平面点集一、平面点集实数实数组组(x, y)的全体的全体,即即R,),( RRR2 yxyx建立了坐标系的平面称为坐标面建立了坐标系的平面称为坐标面. xOy坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( PyxyxE具有性质具有性质 二元有序二元有序 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续5邻域邻域 设设P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示几何表示Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxx

4、yxPU,0邻域邻域的的点点 P令令, 0 ).(0PU有时简记为有时简记为2R(“开开”意味着意味着将邻域去掉中心将邻域去掉中心,称之为称之为 去心邻域去心邻域.),(0 PU 它是以它是以P0为中心、为中心、 以以为半径的为半径的开开圆圆也称为也称为不包括边界不包括边界),注注几何表示几何表示:),(表示表示 aU.的全体的全体的一切点的一切点距离小于距离小于与点与点xa 一维空间中邻域的概念一维空间中邻域的概念 :xO a a a 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续3P 6E (1) 内点内点,EP 点点,)(EPU 使使 (2) 外点外点 如果如果存在存在点点P的某个邻域

5、的某个邻域),(PU则称则称P为为E的的 外点外点. .(3) 边界点边界点如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点. .任意一点任意一点2R P2R E与任意一点集与任意一点集之间之间必有以下四种关系中的一种必有以下四种关系中的一种:, 0 若若存在存在称称P为为E的的 内点内点. .1P )(1P)(2P2P )(3PE的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界, ,记作记作.E 使使U(P)E = ,下面利用邻域来描述点和点集之间的关系下面利用邻域来描述点和点集之间的关系. 8.1 多元函数的极限与

6、连续多元函数的极限与连续7(4) 聚点聚点 如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点. .(P本身可属于本身可属于E, 也可不属也可不属于于E ),从从直观上讲直观上讲: 聚点附近有无穷多个聚点附近有无穷多个E中的点中的点.例如例如, ,21),( 22 yxyxE,R),(200 yxP点点2020yx 若若2020yx 则则P为为E的的边界点边界点, ,E的边界的边界 E1),( 22 yxyx 1则则P为为E的的内点内点; ;, 2 也是也是E的的聚点聚点; ;若若1 或或2020yx , 2 也

7、是也是E的的聚点聚点; ;.222 yx或或设点集设点集 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8 开集开集 若点集若点集E的任意一点的任意一点都是都是E的的内点内点,例例41),( 221 yxyxE称称E为为E1为为开集开集.下面再定义一些重要下面再定义一些重要 闭集闭集 若点集若点集E的边界的边界称称E为为闭集闭集. .,EE 例例41),( 222 yxyxEE2为为闭集闭集.例例41),( 223 yxyxEE3既非开集既非开集, 也非闭集也非闭集.根据点集所属点的特征根据点集所属点的特征,的平面点集的概念的平面点集的概念. 开集开集. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数

8、的极限与连续9区域区域(或或开区域开区域) 连通的开集称为连通的开集称为连通集连通集.如果点集如果点集E内任何两点内任何两点, 都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于E, 称称E是是 区域区域或或开区域开区域. . 连通集连通集结起来结起来,闭区域闭区域 开区域连同其边界一起所构成的点集开区域连同其边界一起所构成的点集,称为称为闭区域闭区域. .都是闭区域都是闭区域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续10是区域是区域吗吗?,0),( yxyxE0 yx0 yxOxy 0, 0),( yxyxE不是区域不

9、是区域. 因为不连通因为不连通.Oxy连结两点的任何连结两点的任何折线都与折线都与相交点不属于相交点不属于E.y轴相交轴相交,连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域. .是区域是区域. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续11有界集与无界集有界集与无界集否则称之为否则称之为称此称此 E 为为有界集有界集. .21),( 22 yxyx集合集合例例0),( yxyx集集合合0),( yxyx集集合合无界集无界集.是是有界闭区域有界闭区域;是是无界开区域无界开区域;是是无界闭区域无界闭区域.对于平面点集对于平面点集E, 0 r如果存在某使得),(rOUE )(是坐标原点其

10、中O 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续12OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续13点集点集D称为该函数的称为该函数的Dyxyxfz ),(),(,),(DPPfz 定义定义8.18.1称映射称映射为定义在为定义在D上的上的二元二元( (点点) )函数函数, ,设设D是是R2的一个非空子集的一个非空子集,记为记为称称x, y为为数集数集称称z为为自变量自变量,因变量因变量. .定义域定义域,的的值域值域, ,称为该函数称为该函数( , ),( , )

11、z zf x yx yD记为记为).(DfR:Df或或二、多元函数的概念二、多元函数的概念 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续14二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为多元函数的定义域多元函数的定义域:定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的自变量的自变量取值的全体取值的全体.类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .实际问题实际问题:取值的全体取值的全体.纯数学问题纯数学问题:定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的自变量的自变量多元函数多元函数的自然定义域的自然定义域. . 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续15例例 求下面

12、函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域xyz )1(和和 00yx 00yx即定义域为即定义域为, 0 xy 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续16 1解解Oxy12)2(2222 yxyxxz1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续172. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面. .),(yxfz DxyzOM xyP),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续1

13、8222yxRz 如如, 函数函数其图形是以原点为中心其图形是以原点为中心, R为半径的上半球面为半径的上半球面.,),( 222RyxyxD xyzO22yxz ,2RD 其图形是以原点为顶点其图形是以原点为顶点, 开口向上的开口向上的旋转抛物面旋转抛物面.222yxz 椭圆抛物面椭圆抛物面 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续19图形是图形是双曲抛物面双曲抛物面22yxz (马鞍面马鞍面).,2RD xyz 马鞍面马鞍面xyzO 图形只需将上图沿逆时针图形只需将上图沿逆时针方向旋转方向旋转45度即可度即可. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续20从一元函数到二元函

14、数从一元函数到二元函数, 在内容和方法在内容和方法上都会出现一些实质性的差别上都会出现一些实质性的差别, 而多元函数而多元函数之间差异不大之间差异不大. 因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以二将以二元函数为主元函数为主. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续21三、多元函数的极限三、多元函数的极限二元函数二元函数 z = f (x, y), 怎样描述呢怎样描述呢? Oxy (1) P (x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的的.),(),(000时的极限时的极限当当yxPyxP路径又是多种多样的路径又是多种多样的.方向有任意方向有任意 ),(00yx),(yx),(y

15、x),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy多个多个, 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续22(2) 动点动点P (x, y) 这样这样, 可以在一元函数的基础上得出二元可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义函数极限的一般定义. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP, 0 0PP总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点P0(x0, y0)之间的距离之间的距离不论不论P(x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的过程多复杂的过程多复杂,记为记为回忆回忆: 一元函数的极限一元函数的极限

16、 ,00时时当当 xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续23, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfzA 为为则则称称Ayxfyxyx ),(lim),(),(00记作记作)( 定义定义8.28.2有有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 f (P ) = f (x, y)的的P0(x0, y0)是是D的的聚点聚点.定义域为定义域为D, 如果存在常数如果存在常数 A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也记作也记作).()(0PPAPf

17、或或,00时时当当 xx.|)(| Axf, 0 恒有恒有, 0 Axfxx )(lim0 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续24 说明说明(1) 定义中定义中0PP (2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫Ayxfyxyx ),(lim),(),(00的方式是任意的的方式是任意的;二重极限二重极限. . 关于二元函数的极限概念可相应地推广到关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去元函数上去., 0 ,)()(02020时时当当 yyxx, 0 Ayxf),( 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续25 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数

18、的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的在某点的极限存在的定义类似定义类似.差异差异数数必需是点必需是点 P 在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径而而多元函多元函趋于趋于P0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么充要条件是充要条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等; f (P)都有极限都有极限, 且相等且相等. 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续二元函数的极限有与一元函数的极限类似的二元函数的极限有与一元函数的极限类似的 四则运算四则运算，夹逼准则夹逼准则，等价无穷小替换等价无穷小替换，无穷小无穷小乘有界量为无穷小乘有界量为无穷小等结

19、论，等结论，例例 求极限求极限 22200)sin(limyxyxyx ,lim22200yxyxyx 2220yxyx y , 00, 0yx. 0)sin(lim22200 yxyxyx解解但但不能用洛必达法则不能用洛必达法则.,0, 0时时当当yx.sin22yxyx, 02yx原式原式 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续27).sin(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxxyyx 求求解解,)0 , 0(),(时时因为因为yx.)sin(2222yxyx所以所以故故原式原式 =)(1sin1sin1lim2233)0,0(),(yxyxxyyx )(1

20、sin1sinlimlim2233)0 , 0(),()0 , 0(),(yxyxxyyxyx .000 , 022yx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此时即可断言极限不存在。此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式, ,但两者不相等但两者不相等, ,),(lim00yxfyyxx使使存在存在, ,.sinlim:2)0 , 0(),(不存在不存在证明证明例例xyyx200sinlimxyxyx ,xy 取取xx1sinlim0 证：证：,不存在不存在.因因此此所所求求极极限限不不存存在在 8.1 多元函

21、数的极限与连续多元函数的极限与连续例例2200limyxxykxyx 22220limxkxkxx 所以所以极限不存在极限不存在. .取取判断极限判断极限 是否存在是否存在？2200limyxxyyx ,kxy 21kk 解解其值随其值随k的不同而变化的不同而变化，则可断言极限不存在则可断言极限不存在. .),(yxP令令若极限值与若极限值与 k 有关有关,),(000yxP趋向于趋向于沿与沿与k 有关的路径有关的路径说明说明 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续30极限极限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx 取取)0( , kkxy解解242yxyx ),(lim0

22、0yxfkxyx 当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向无限接近点的方向无限接近点(0,0)时时, 当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向无限接近点的方向无限接近点(0,0)时时,)0 ,(lim0 xfx. 0 2243xkxkx ), 0(lim0yfy. 0 220limkxkxx . 0 错错!所以所以. 0 22kxkx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续31 故该极限不存在故该极限不存在.取取,2kxy 极限极限 是否存在是否存在?24200limyxyxyx .12kk 此时可断言此时可断言 f (x, y)在点在点P0(x0, y0)找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,

23、但两者不相等但两者不相等,),(lim00存在存在使使yxfyyxx处极限不存在处极限不存在.242002limyxyxkxyx 42440limxkxkxx 解解 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续32四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 f (P ) = f (x, y)的定义域为的定义域为D, 则称则称f (x, y)在点在点P0(x0, y0)连续连续. .定义定义8.38.3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果如果如果 f (x, y)在在D的每一点处都连续的每一点处都连续,连续函数连续函数. .P0 (x0,

24、y0)是是D的聚点的聚点, ,0DP 且且则称则称f (x, y)在在D上连续上连续, 或称或称 f (x, y)是是D上的上的 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续33例例 证证 令令.sin,cos ryrx 0, 00),ln(),(222222yxyxyxxyyxf设设 证明证明: f ( x, y)在点在点(0,0)连续连续.,)0 , 0(),(时时当当yx显然有显然有22yxr ,0 于是于是),(lim00yxfyx sincoslnlim220 rrr220lnlimrrr 0 ),0 , 0(f 所以所以f ( x, y)在点在点(0,0)连续连续.有界，有界，

25、 sincos, 0 2ln2limttt ),(lim0 rfr tr1 令令 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续34设函数设函数 f (x, y)的定义域为的定义域为D, 则称点则称点P0(x0, y0)为函数为函数f (x, y)的的间断点间断点. .定义定义8.48.4是是D的聚点的聚点, P0 (x0, y0)如果如果函数函数 f (x, y)在点在点P0 (x0, y0)不连续不连续, 122 yx的的间断线间断线.11),(22 yxyxf(0,0)是函数是函数 的的(0,0)点是该函数的点是该函数的间断点间断点. 函数函数 0, 0, 0,),(222222yxy

26、xyxxyyxf函数的极限不存在函数的极限不存在,前面已证前面已证)221),(yxyxf 例如例如,的的间断点间断点;是函数是函数例如例如, ,)0 , 0(),(时当yx 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续35在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,平面区域平面区域E上的二元连上的二元连续函数续函数 z = f (x, y)的图形是在的图形是在E上的一张上的一张“无孔无缝无孔无缝”的连续曲面的连续曲面.及及复合复合仍是仍是连续连续的的.多元连续函数的多元连续函数的和、差、积、商和、差、积、商由常数及具有不同由常数及具有不同并由一个式子表达的函数称为并由一个式子表达的函数称为基本

27、初等函数经基本初等函数经有限次四则运算有限次四则运算和和有限次复合有限次复合,指包含在定义域内的指包含在定义域内的区域或闭区域区域或闭区域.一切多元初等函数在其定义区域内是一切多元初等函数在其定义区域内是结论结论连续的连续的. .多元初等函数多元初等函数. .自变量的一元自变量的一元(分母不为零分母不为零) 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续36例例 求极限求极限 .)eln(lim2201yxxyyx 解解22)eln(),(yxxyxfy 由于由于是是初等函数初等函数,而而(1,0)在其定义区域内在其定义区域内, 故故 f (x, y)在在(1,0)点处连续点处连续,所以所以

28、 2201)eln(limyxxyyx 01)e1ln(0. 2ln )(lim0PfPP由多元初等函数的连续性由多元初等函数的连续性,代入法代入法0P ).(f如果要求它在点如果要求它在点P0 处的极限处的极限, 而该点又在此函数的而该点又在此函数的定义区域定义区域内内, 则极限则极限值就是函数在该点的函数值值就是函数在该点的函数值, 即即 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续37求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, 得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx. 4 8.1 多元函数的

29、极限与连续多元函数的极限与连续38想一想想一想 如何证明如何证明 f (x, y)在在 , 0, 0, 0,)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设设 证证,022时时当当 yx,022时时故当故当 yxxOy面上处处连续面上处处连续 ?22)(sin),(yxyxxyyxf 是是初等函数初等函数,f (x, y)处处连续处处连续.下面证明下面证明时时当当022 yx也连续也连续.)()(lim00PfPfPP 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续39又又02|lim)0,0(),( yxyx于是于是0)(sinlim22)0,0(),( yxyxxyyx即证明了即证明了f (x, y)在在 由于由于22)(sinyxyxxy 22)(yxyxxy 2yx )0 , 0(f xOy面上处处连续面上处处连续.证明证明 f ( x, y)在在 , 0, 0, 0,)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf设设xOy面上处处连续面上处处连续?从而