理学机械波学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)机械波机械波第一页，共102页。5-1 机械波的产生(chnshng)和传播一、机械波产生(chnshng)的条件如果(rgu)波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力（弹性回复力），则称为弹性波。机械波不一定都是弹性波；例如，声波是弹性波，但水面波就不是弹性波，水面波中的回复力是水质元所受到的重力和水的表面张力，它们都不是弹性力。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质（宏观上，固体、液体和气体均可视作连续体）第1页/共102页第二页，共102页。弹性力分两种：正弹性力-物体被压或被拉时，物体的体积发生改变而产生的弹性力(压弹性力和张弹性力)固体、液体和气体都能

2、承受(chngshu)容变，因此都能产生正弹性力。切弹性力-物体各层之间发生相对位错时所产生的弹性力固体能承受(chngshu)切变，所以固体能产生切弹性力；液体和气体不能承受(chngshu)切变，因此液体和气体不能产生切弹性力。第2页/共102页第三页，共102页。二、纵波和横波（传播方向(fngxing)与振动方向(fngxing)）横波振动方向与传播(chunb)方向垂直，如电磁波纵波振动方向与传播(chunb)方向相同，如声波0 t4/Tt 2/Tt 第3页/共102页第四页，共102页。43 /Tt Tt 45 /Tt 第4页/共102页第五页，共102页。横波： 在介质中传播时，

3、介质中层与层之间将发生相对位错，即产生切变。横波只能在固体中传播。（只有(zhyu)固体能承受切变）纵波： 在介质中传播时，介质的体积会发生改变，即产生容变。纵波能在固体、液体(yt)、气体中传播。（固体、液体(yt)和气体都能承受切变）注意：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。(波源以及(yj)各质点本身只是在其各自的平衡位置附近作振动,并不随着波动而向外“漂走”）第5页/共102页第六页，共102页。三、波线和波面（为形象(xngxing)地描述波在空间的传播）波场-波所传播到的整个(zhngg)空间波面-波场中同一时刻振动位相相同(xin tn)的点的轨迹波前（波阵面）

4、-某时刻波源最初的振动状态传到的波面，即沿着波前进方向最前方的波面。波线（波射线）-代表波的传播方向的射线各向同性（各个方向的物理性质相同）的均匀介质中，波线恒与波面垂直。沿波线方向各质点的振动相位依次落后第6页/共102页第七页，共102页。波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面第7页/共102页第八页，共102页。四、简谐波波源以及(yj)介质中各质点的振动都是简谐振动任何复杂的波都可以(ky)看成若干个简谐波叠加而成*五、物体(wt)的弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。有：长变、切变和容变只能发生在各

5、向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。即：理想化的介质中。第8页/共102页第九页，共102页。(1)长变S为棒的横截面积（固体(gt)）FFSll 在弹性限度(xind)范围内,应力与应变成正比.llESF 称称为为杨杨氏氏弹弹性性模模量量ESF称为应力或胁强ll称为应变或胁变第9页/共102页第十页，共102页。(2) 切变(qi bin)（固体）FFSbd S 在上、下两个面上各施加一个与平面平行的外力则相对(xingdu)面就会发生相对(xingdu)滑移，S是受力面的面积切变的应变或胁变bdarctan 切变的应力或胁强切变的应力或胁强 SF在弹性限度范围内,应力与应变成正比

6、 GSF 称称为为切切变变弹弹性性模模量量G第10页/共102页第十一页，共102页。(3) 容变(固液气体(qt)VVVVBp pp ppp ppp ppp p在弹性限度范围内,压强的改变与容变应变(yngbin)的大小成正比称称为为容容变变弹弹性性模模量量B容变的应变(yngbin)第11页/共102页第十二页，共102页。六、描述(mio sh)波动的几个物理量1.波速 u ：取决于介质的性质振动状态(即:位相)在单位时间内传播的距离称为波速,也称之相速.注意:波速不是质点(zhdin)的振动速度GuG是媒质的切变弹性模量为介质的密度在固体媒质中横波波速为在固体媒质中纵波波速为Eu/E是

7、媒质的杨氏弹性模量为介质的密度在同一种固体媒质(mizh)中,横波波速比纵波波速小些第12页/共102页第十三页，共102页。 Tu T 为弦中张力(zhngl), 为弦的线密度在弦中传播的横波(hngb)波速为:在液体(yt)和气体只能传播纵波，其波速为： Bu/ B 为介质的容变弹性模量 为密度理想气体纵波声速molMRTpu 是气体的摩尔热容比, Mmol 是气体的摩尔质量T 是热力学温度,R 是气体的普适常数, 为气体的密度. 声速即声波的传播速度;声波是纵波.第13页/共102页第十四页，共102页。3、波长(bchng) 2.波的周期(zhuq)和频率 12 T波的周期:一个完整波

8、形(b xn)通过介质中某固定点所需的时间,用T表示.波的频率:单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目,用 表示.同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离 uuT 介质决定波源决定(波源相对于介质静止)当波源相对于介质静止时,波动周期等于波源的振动周期,波动频率等于波源的振动频率.第14页/共102页第十五页，共102页。43 /Tt Tt 45 /Tt 第15页/共102页第十六页，共102页。一、平面简谐波的波动(bdng)方程平面简谐波：简谐波的波面是一组相互平行的平面，波线是一组垂直于波面的平行射线。(可选其中一条波线为代表来研究平面波的传播规律(gul)。亦即当作一维简谐波来研究

9、）5-2 平面(pngmin)简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿 ox 轴正方向传播 ox 轴即为某一波线, 波源的振动方向沿 oy 轴设在原点处的质点的振动方程为tAyxcos0第16页/共102页第十七页，共102页。xypuOx则位于 x 轴上的任意一点 p, 其坐标为 x , 它离开(l ki)自己的平衡位置的位移为 y, 因为点 p 处的质点的振动是由波源（点O）处的振动传递过来的，点 O 振动状态传到点 p 处需要的时间为 uxt 亦即:点 p 处质点在 t 时刻(shk)的振动状态, 实际是重复点 O 处在（t - t）时刻(shk)的振动状态.第17页/共102页第十八

10、页，共102页。因此 点 p 的质点(zhdin)在任意时刻 t 的振动方程)(cos)(cosuxtAttAyxypuOx上式就是沿ox轴正方向传播的平面(pngmin)简谐波的波动方程沿着波传播方向 各质点的振动(zhndng)依次落后于波源的振动(zhndng)点 P 处质点的振动落后于原点振动的时间ux 第18页/共102页第十九页，共102页。沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动(bdng)方程)uxt(cosAy 若波源(byun)(原点)振动初位相不为零, 则振动方程为)cos(00tAy对应(duyng)波动方程为)uxt (cosAy0 沿 x 轴正方向传播取“-”号 沿

11、x 轴负方向传播取“+”号第19页/共102页第二十页，共102页。2222uTuT2coscos00 xtAxutAy波动的周期、频率、角频率、波速和波长(bchng)的关系可得到(d do)波动方程的其它形式第20页/共102页第二十一页，共102页。)(2cos0 xTtAy22cos0 xtAy或者)xut(cosAy02 )xut(kcosA0 cos2cos00 kxtAxtAy 2 k波矢（又称为角波数）表示在2 长度内所具有的完整波的数目第21页/共102页第二十二页，共102页。二、波动方程(fngchng)的物理意义)cos()(cos00kxtAuxtAy)2()2(co

12、s)(00,00BBxxBxxxxtAtyBB1.如果x = xB是给定值, 则位移 y 仅是时间(shjin) t 的函数为 xB 处质点的振动方程)(tyyBxx第22页/共102页第二十三页，共102页。yOtTT波线上给定 x = xB 处质点(zhdin)的振动方程在 xB 处质点(zhdin)的振动初相位0002BBBkxxxB处质点落后(lu hu)于原点的位相为BBkxx2第23页/共102页第二十四页，共102页。若 xB = 则 xB 处质点(zhdin)落后于原点的位相为 2显然(xinrn) 是波在空间上的周期性的标志! 一个波长的距离上恰好分布一个完整的波形图.同一波

13、线上任意(rny)两点处质点的振动位相差xkxxx221212222BxxB 处质点的位相与原点处质点的位相是同相关系的, 因此它们的振动状态完全相同.第24页/共102页第二十五页，共102页。2.如果(rgu)给定 t : 即 t = tB 则)(cos)(0uxtAyxyyBttttBB表示给定 tB 时刻波线上各质点在该时刻离开各自平衡位置的位移(wiy)分布,即给定了 tB 时刻的波形图.xyOux1x2 给定时刻的波形图第25页/共102页第二十六页，共102页。可求同一(tngy)质点在相邻两时刻的振动位相差222)(时当1212TtTtTttt说明对某一确定的质点而言, 每经过

14、一个波动周期的时间, 该质点的振动(zhndng)状态就重复一次; 所以波动周期 T 反映了波动在时间上的周期性!第26页/共102页第二十七页，共102页。3.如 x,t 均变化则 y = y(x,t)包含了不同时刻(shk)的波形，即任意时刻(shk)的波形图任意 t 时刻的波形(b xn)方程)(cos)(0uxtAxy则在 t+t 时刻(shk)的波形方程)cos()(cos)(00uxttAuxttAxy第27页/共102页第二十八页，共102页。 t 时刻(shk)位于点 x 处质点的位相00,)(uxtuxttx (t+t) 时刻(shk)位于点 (x +x) 处质点的位相0,u

15、xxttttxx两者的位相差(xin ch)txttxx,第28页/共102页第二十九页，共102页。)(0)()(00tuxttuxtuxtuxxtt说明: 在(t+ t )时刻(shk)位于(x+ x )处的质点的振动状态与在 t 时刻(shk)位于在 x 处质点的振动状态完全相同, 用方程表示为),(),(txyttxxy第29页/共102页第三十页，共102页。xyuOxtt tx 如图虚线表示 在 t 时间内, 整个波形(实线)沿波传播的方向向前(xin qin)平移了(推进) x 的距离后的波形tux) t , x( y) tt , xx( y 上式称为行波方程(fngchng);

16、 该方程(fngchng)描述的波称为行波行波第30页/共102页第三十一页，共102页。例5.1 已知波动方程为)25(10cos1 . 0 xty)25(1025cos1 . 0)25(10cos1 . 0)(cos0 xtxtuxtAy求: (1) 振幅、波长、周期、波速(b s); (2) 距离原点分别为 xB = 8m 和 xC = 10m 的B 、C 两点处 质点的振动位相差; (3) 波线上某质点在时间间隔 t = 0.2s 内的位相差.解: (1)比较法求参量-将已知波动方程与标准(biozhn)波动方程相比较第31页/共102页第三十二页，共102页。1 . 02;20252

17、02525. 1202518 . 0252025102122.5 . 210250,.25,1 . 0101kmuTHzTsTsradsmumA第32页/共102页第三十三页，共102页。(2) 同一(tngy)波线上B 和 C 两点的位相差05)810(1010)(10)25(10)25(10)(CBBCCBBCCBBCxxxxtxtxxk点 B 的相位(xingwi)超前于点 C 的位相第33页/共102页第三十四页，共102页。(3) 对给定点 P 在时间间隔(jin g)t = 0.2s内的位相差22 . 01025)(1025)25(10)25(1021212,1221ttxtxtT

18、tPPtPtPttP表示(biosh)在时间间隔t = 0.2s内, 整个波形向前推进的位相为 (/2)!(T=0.8s)第34页/共102页第三十五页，共102页。例5.2 一平面波在介质中以速度 沿直线传播,已知在传播路径上某点 A 的振动方程为 如图所示.（1）若以点A 为坐标原点, 写出波动方程, 并求点 C 和点 D的振动方程;（2）若以点 B 为坐标原点, 写出波动方程, 并求点 C 和点 D 的振动方程。1.20smutyA4cos3BAxDm8m9Cm5umxmxmxxDCBA9;13;5:0第35页/共102页第三十六页，共102页。解:(1)以点A为坐标原点O,则点O的振动

19、(zhndng)方程为)0,4( ;4cos30tyyAO沿 ox 轴正方向传播的波动(bdng)方程为mkkxtAxtxtuxty1025)cos()54cos(3)2044cos(3)(4cos30第36页/共102页第三十七页，共102页。点 C 的振动(zhndng)方程点 B 的振动(zhndng)方程)5134cos(3)13(1024cos3)1024cos(3ttxtyCC)4cos(3)5(1024cos3)1024cos(3ttxtyBB)cos()cos(0kxtAkxtAy第37页/共102页第三十八页，共102页。)594cos(3)91024cos(3)1024co

20、s(3ttxtyDD点 D 的振动(zhndng)方程(2) 以点 B 为坐标(zubio)原点 O : 由于已知的是点 A 的振动方程, 而点 A 这时不再是坐标(zubio)原点, 因此不能直接代入波动方程公式;而应该先求出坐标(zubio)原点 O (即点 B ) 的振动方程, 再求波动方程. 注意-波动方程是以坐标(zubio)原点的振动方程推导出来的！第38页/共102页第三十九页，共102页。BAxDm8m9Cm5u由于波从左向右传播, 因此(ync)点 B 的振动始终比点A 振动超前一段时间. 即点 B 的振动状态要经过 t 时间后, 才能传递到点A.suxtBA41205亦即点

21、 B 在 t 时刻的振动状态与点 A 在 时刻的振动状态相同,从而可得到点 B 的振动方程 )(tt)()()(ttytytyABO第39页/共102页第四十页，共102页。)4cos(3)41(4cos3)()()(ttttytytyABO由此可得:以点 B 为坐标(zubio)原点 O 时的波动方程)cos()54cos(3)20(4cos3)(cos00kxtAxtxtuxtAy显然坐标(zubio)原点 O 的振动初相位为 与以点 A 为坐标(zubio)原点的情况相比,只是初相位不同!第40页/共102页第四十一页，共102页。当以点 B 为坐标(zubio)原点 O 时，有mxmx

22、mxxxDACOB1495580BAxDm8m9Cm5u第41页/共102页第四十二页，共102页。)594cos(31454cos3)5134cos(3)8(54cos3ttyttyDC坐标原点O选择不同(b tn)，波动方程不同(b tn)（初位相不同(b tn)）；但各质点的振动方程却相同（与坐标原点选择无关）。点 C 和点 D 的振动(zhndng)方程分别为第42页/共102页第四十三页，共102页。一、波的能量(nngling)和能量(nngling)密度波不仅是振动状态的传播，而且还伴随(bn su)着振动能量的传播。有一平面(pngmin)简谐波0 )uxt (cosAy质量为

23、在x处取一体积元dVdVdm 质点的振动速度 0 )uxt(sinAtyv5-3 波的能量 *声强体积元内媒质质点动能为dmvdEk221 dV)uxt(sinA210222 第43页/共102页第四十四页，共102页。体积(tj)元内媒质质点的弹性势能为(可以证明)dV)uxt (sinAdEp210222 体积元内媒质(mizh)质点的总能量为：pkdEdEdE dV)uxt (sinA0222 说明: 1）在波动的传播过程中,任意时刻的动能和势能(shnng)不仅大小相等而且位相相同,同时达到最大同时等于零.2）在波的传播过程中,任意体积元的能量不守恒而是随时间作周期性变化.第44页/共

24、102页第四十五页，共102页。能量密度 单位(dnwi)体积介质中所具有的波的能量0222 )uxt(sinAdVdEw平均能量密度(md) 一个周期内能量密度(md)的平均值2221 Aw dt)uxt(sinATwdtTw T T11022020 dV)uxt (sinAdE0222 有：第45页/共102页第四十六页，共102页。能流:单位时间(shjin)内通过介质中某一截面的能量二、波的能流和能流密度SwuVwp平均(pngjn)能流:在一个周期内能流的平均(pngjn)值SuwSwup 能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位(dnwi)面积的平均能量uwSpI uAI

25、2221 2 米米单单位位：瓦瓦uuS SuStuSlV第46页/共102页第四十七页，共102页。)(cos0222 uxtAty222022221)(costyuuxtuAxy 222221tyuxy 三、平面波的波动(bdng)微分方程沿 x 方向(fngxing)传播的平面波动微分方程0 )uxt (cosAy对以上(yshng)方程求 t 的二阶导数对以上方程求 x 的二阶导数第47页/共102页第四十八页，共102页。例 试证明在均匀不吸收能量(nngling)的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变, 球面波的振幅与离波源的距离成反比。分析(fnx)平面波和球面波的振幅u1S2S

26、证明：对平面波,在一个周期 T 内通过 S1波面和 S2 波面的能量应该(ynggi)相等, 即有21212211IISSTSITSI第48页/共102页第四十九页，共102页。21222221212121AAAuIAuI平面波的振幅(zhnf)不变对球面波2224 rS ;4211rS 在一个周期T内通过(tnggu)S1波面和S2 波面的能量相等22112211SISITSITSI1r2r第49页/共102页第五十页，共102页。振幅与离波源的距离成反比,如果(rgu)距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r122122112222221212421421rrAArArArAur

27、Au由于振动的相位(xingwi)随距离的增加而落后的关系,与平面波类似球面简谐波的波函数为)(cos0urtrAy第50页/共102页第五十一页，共102页。三、波的吸收(xshu)波在实际介质中,由于波动能量总有一部分会被介质吸收(xshu),波的机械能不断减少,波强亦逐渐减弱.波通过(tnggu)厚度为 dx 的介质,其振幅衰减量为(-dA)AdxdA xeAA 0处的波振幅和分别是和xxxAA 00是是介介质质的的吸吸收收系系数数 波强的衰减规律xeII 20 处波的强度和分别是和xxxII 00第51页/共102页第五十二页，共102页。*四、声压(shn y)、声强和声强级声压：介

28、质中有声波传播(chunb)时的压力与无声波传播(chunb)时的静压力之间的压差。平面简谐波, 声压振幅为 uApm 2222121 uAupIm 声强(shn qin)：声波的能流密度频率越高越容易获得较大的声压和声强（描述声波在介质中各点的强弱采用的物理量）第52页/共102页第五十三页，共102页。引起人听觉(tngju)的声波有频率范围和声强范围)(log010BelIIIL)(:Bel贝尔单位声强级)(log10010dBIIIL10dB10dBl l分贝(dB);1Be分贝(dB);1Be: :单位单位人耳对响度的主观(zhgun)感觉由声强级和频率共同决定Hz 2000020频

29、率范围21221010 mWmW声强范围测测定定声声强强的的标标准准212010 mWI最低声强第53页/共102页第五十四页，共102页。5-4 惠更斯原理(yunl) 波的叠加和干涉一、惠更斯原理(yunl)当波在弹性介质中传播时, 由于介质中各质点间的弹性力相互作用, 介质中任何一点的振动都会引起邻近各质点的振动. 因此波动(bdng)所到达的任一点都可以看作是一个新的波源.第54页/共102页第五十五页，共102页。平面波t+t时刻波面ut波传播方向t时刻波面球面波 tt + tt 时刻波面 t+t 时刻波面波的传播(chunb)方向惠更斯原理(yunl)： 介质中波阵面（波前）上的各

30、点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻这些子波的包迹(包络线)便是新的波阵面。(还适合于电磁波)第55页/共102页第五十六页，共102页。*应用(yngyng)惠更斯原理证明波的反射和折射定律ii MNA1A2A3AB3B2B1B333ABBBAA ABBABA333 ii i MNA1A2A3AB3B2B1B 1介介质质2介质介质isinABtuBA3133 2121ncncuusinisin sinABtuAB32 12nnsinisin 第56页/共102页第五十七页，共102页。二、波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性 (频率波长、振动方向、传播(chunb)方向等

31、)不变,与各波单独传播(chunb)时一样,而在相遇点处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成.波传播(chunb)的独立性原理或波的叠加原理：说明：振动的叠加仅发生在单一质点上波的叠加发生在两波相遇范围(fnwi)内的许多质点上正是这个原因才能分辨不同的声音第57页/共102页第五十八页，共102页。两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定, 则合成波场中会出现(chxin)某些点的振动始终加强, 另一点的振动始终减弱（或完全抵消）,这种现象称为波的干涉。相干条件1r2r1S2Sp具有(jyu)恒定的相位差振动(zhndng)方向相同两波源具有相同的频率满足相干条

32、件的波源称为相干波源三、波的干涉第58页/共102页第五十九页，共102页。由波源S1发出(fch)的简谐波传播到p点引起的振动)cos(101010tAy)cos(202020tAy设有两个(lin )相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间点 p 相遇1r2r1S2Sp)2cos(11011rtAyp波源S1的振动(zhndng)方程波源S2的振动方程第59页/共102页第六十页，共102页。所以在p点的合振动(zhndng)是两个同频率、同方向的简谐振动(zhndng)的合成, 因此点p的振动(zhndng)是简谐振动(zhndng), 振动(zhndng)方程为)2cos(22022rt

33、Ayp由波源S2发出的简谐波传播到p点引起(ynq)的振动)cos(0tAyyp在p点的两个(lin )分振动的初相位分别为110012rp第60页/共102页第六十一页，共102页。)2cos()2cos()2sin()2sin(coscossinsintan22021101220211010220110220110rArArArAAAAApppp220022rp点 p 的合振动(zhndng)的初相位第61页/共102页第六十二页，共102页。cos22122212AAAAArkrrpppp0121020010212)(2)(由于波的强度正比于振幅的平方,所以(suy)合振动的强度cos2

34、2121IIIII点 p 的合振动(zhndng)的振幅点 p 处两个分振动(zhndng)的位相差为第62页/共102页第六十三页，共102页。,.2 , 1 , 0,2)(2121020nnrr）（干涉相长(xin chn)（干涉加强）的条件 cos22122212AAAAA cos22121IIIII 对空间不同的位置点,r各不相同,所以 也各不相同;但就各个质点而言, r是确定值,也就是说各个质点的 值都是恒定的,因而使合振幅或强度(qingd)在空间形成稳定的分布,出现干涉现象. 第63页/共102页第六十四页，共102页。干涉(gnsh)相消（干涉(gnsh)减弱）的条件21max

35、AAAA2121max2IIIIII .2 , 1 , 0,) 12()(2)(121020nnrr|21minAAAA 2121min2IIIIII 第64页/共102页第六十五页，共102页。12rr 定义波程差 为：两个波源发出的波传到相遇(xin y)点的几何路程之差krr001210202)(2）（若则相干条件写为2010 k2第65页/共102页第六十六页，共102页。干涉(gnsh)相长：波长的整数倍(半波长的偶数倍)干涉(gnsh)相消：半波长的奇数倍3 , 2 , 1 , 0;2222nnnn3 , 2 , 1 , 0;2) 12() 12(2nnn第66页/共102页第六十

36、七页，共102页。例题 位于A、B 两点的两个波源,振幅(zhnf)相等,频率都是100赫兹,相位差为 ,其 A、B 相距30米,波速为400米/秒.求:A、B 连线之间因相干干涉而静止的各点的位置.解:如图设A点为坐标原点,AB连线为ox轴, ox轴的正方向(fngxing)就是波动前进的方向(fngxing).)cos(tAyyoABAxxm30 x30O可设 A点的振动(zhndng)方程为第67页/共102页第六十八页，共102页。 由题知: 沿着波动前进的方向, 点B的振动位相落后(lu hu)于点A的振动位相为 ,所以点B的振动方程为tAyBcosA与B之间的点分别(fnbi)到A

37、和B这两点的距离为BAxxm30 x30OxrxrBA30由 A和B分别发出的两列波到达(dod)它们的连线之间的任一点(x)处相遇而叠加, 所以两波源到它们的连线之间的任一点(x)处波程差为BAABrrr第68页/共102页第六十九页，共102页。302)30(xxxrrBA由A与B分别发出的两列波到达它们(t men)的连线之间各点所引起的分振动的位相差为20BAAB因为两列波同频率,同振幅,同振动方向,所以相干为静止(干涉相消)的点应满足以下(yxi)条件2, 1, 0;) 12(nnAB第69页/共102页第七十页，共102页。), 2, 1, 0( ,152) 12()302(2),

38、 2, 1, 0( ,) 12()302(220nnxnxnnxBAAB第70页/共102页第七十一页，共102页。muuTmxmxxxABBA410040030;30; 00在 A 和 B 之间因干涉(gnsh)相消而静止的点是mxnnnnx29,27,25, 9 , 7 , 5 , 3 , 1, 2, 1, 01521524152第71页/共102页第七十二页，共102页。5-5 驻波(zh b)一、驻波(zh b)方程)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy驻波是两列振幅(zhnf)、频率、振动方向都相同,但传播方向相反的简谐波的叠加当一列平面简谐波正入射到两种介质的界面上时, 产生

39、反射波, 入射波与反射波相叠加就形成了驻波.设在坐标原点处, 入射波与反射波的初位相相同且为零, 则可得到它们的波动方程为第72页/共102页第七十三页，共102页。txAyyycos)2cos(221txAycos)()2cos(2)(xAxA函数不满足),(),(xtytuxtty所以驻波不是行波；驻波不是振动的传播(chunb),而是媒质中各质点都作稳定的振动。它表示各点都在作简谐振动,各点振动的频率(pnl)相同,都是波源的频率(pnl).但各点振幅随位置的不同而不同.第73页/共102页第七十四页，共102页。max2)(1)2cos(AAxAxnx2, 2 , 1 , 02nnx1

40、、波腹与波节 驻波(zh b)振幅分布特点二、驻波(zh b)的特点波腹:振幅最大处;波腹在半波长(bchng)的整数倍的位置.第74页/共102页第七十五页，共102页。)21(2) 12(2nnxmin0)(0)2cos(AxAx, 2 , 1 , 04) 12(2)21(nnnx波节：振幅最小处；波节在四分之一波长(bchng)的奇数倍的位置。第75页/共102页第七十六页，共102页。相邻(xin ln)波腹间的距离2| )2(1nnx相邻波节间的距离2x相邻波腹与波节间的距离4 可用测量波腹间的距离(jl)来确定波长, 2 , 1 , 0,2nnx波腹, 2 , 1 , 0,4) 1

41、2(nnx波节第76页/共102页第七十七页，共102页。txAtxAycos)(cos)2cos(22、驻波的位相分布(fnb)特点时间部分提供的位相对于所有的 x 是相同的,而空间A(x)有正负变化(binhu)带来的位相是不同的.在波节两侧点的振动位相相反,同时达到(d do)反向最大或同时达到(d do)反向最小,振动速度方向相反.在相邻两个波节之间的点的振动位相相同,同时达到最大或同时达到最小,振动速度方向相同.驻波是介质一种特殊的分段振动现象第77页/共102页第七十八页，共102页。*3、驻波(zh b)能量驻波振动中无位相的传播(chunb)，也无能量的传播(chunb)一个波

42、段内不断地进行动能(dngnng)与势能的相互转换并不断地分别集中在波腹和波节附近，而不向外传播。三、半波损失入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失折射率较大的媒质称为波密媒质；波阻较大。折射率较小的媒质称为波疏媒质；波阻较小。波阻（波的阻抗）：介质的密度与波速之乘积第78页/共102页第七十九页，共102页。当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时反射波的位相与入射波的位相相差,即出现了位相突变,称有半波损失,形成(xngchng)的驻波在界面处是波节.当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面(jimin)上反射时反射波的位相与入射波的位相相同,称无半波损失 界面(jimin)处出现波腹.

43、有半波损失反相无半波损失同相第79页/共102页第八十页，共102页。,.3 , 2 , 1,2nnl,.3 , 2 , 1,2nnl如果将拉紧的弦两端固定,当轻击弦线使之产生向右行进的波时,波将传到弦的右方固定端而被反射,反射波将向左行进,当它到达左方固定端时,再次发生反射,如此就会在弦线上形成驻波.因为弦线的两端固定,所以在弦线的两端必然形成波节;因此驻波的波长必然受到限制,驻波波长与弦长 l 间必须(bx)满足下列条件:*四、简正模式（或本征振动）第80页/共102页第八十一页，共102页。弦线上形成(xngchng)的驻波波长和频率均不连续,这些频率称为弦振动的简正频率(本征频率),对

44、应的振动方式称为该系统的简正模式（本征模式）.,.3 , 2 , 1,2nulnu而波速为u所以(suy)对频率也有限制, 允许存在的频率为弦线TlnTu2第81页/共102页第八十二页，共102页。最低频率(n=1)称为基频,其后的n=2,3,的频率为谐频.对声波驻波,基频产生的一个音称为基音(jyn),谐频产生的音称为谐音(泛音).显然,对两端固定的弦线这一驻波振动系统,对应有许多个简正模式和简正频率,即有许多个振动自由度.系统究竟按那种模式振动,取决于初始条件,一般是各种简正模式的叠加.两端固定的弦线,当距一端某点受击而振动时该点为波节的那些模式(对应于 n 次,2n 次 谐频)就不出现

45、,使演奏的音色更优美.当周期性强迫力的频率与系统(例如:弦)的固有频率之一相同时,就会与该频率发生共振,系统中该频率振动的振幅最大.可用共振法测量空气中声速.第82页/共102页第八十三页，共102页。5-6 多普勒效应(xioyng) *冲击波一、多普勒效应(xioyng)观察者接受到的频率有赖于波源、观察者与介质(jizh)三者之间的相对运动的现象,称为多普勒效应vS 波源相对于介质的运动速度vB观察者(接收器)相对于介质的运动速度S 波源的频率u波在介质中的速度(波相对于介质的速度)B 观察者(接收器)接受到的频率选介质为参考系设波源和观察者的运动在两者的连线上第83页/共102页第八十

46、四页，共102页。规定: vS 和 vB 以及 u 三个物理量符号(fho)均代表它们各自的“绝对值”如果波源与介质及观察者三者相对均为静止(jngzh),则三者的频率相等. BS若观察者测得的波速(b s)为 u则观察者测得的波长为u 是波动频率第84页/共102页第八十五页，共102页。0, 0 BSvv1.波源(byun)相对于介质静止,观察者以速度vB向着波源(byun)运动 S波源相对于介质静止, 所以波源频率等于波动频率以介质为参考系,波以速度(sd)u向前推进,而观察者以速度(sd)vB逆着波传播的方向前进,所以波相对于观察者的推进速度(sd)应为BBvuuBSuBvB第85页/

47、共102页第八十六页，共102页。当观察者的运动速度远小于光速时(可以忽略相对论效应), 则观察者接收到的波的频率(pnl)(即由观察者测量到的波的频率(pnl), 就等于波动频率(pnl)(在介质中测量到的波的频率(pnl), 即 BBBBBBSvuuuu第86页/共102页第八十七页，共102页。BBSBvuuSSBBuvu表明:当观察者向着波源运动时, 观察者接收(jishu)到的波的频率要高于波源的振动频率. 频率升高若观察者以速度vB迎着波运动时,观察者接受到的频率为波源频率的 倍.频率升高)1 (uvB若观察者以速度vB远离波源运动,观察者接受到的频率为波源频率的 倍.频率降低)1uvB（第87页/共102页第八十八页，共102页。2.观察者相对于介质(jizh)不动,波源以速度 vS 向着观察者运动0, 0 BSvv波源向着观察者运动,在波源发出一个完整的波的时间 TS 内,波源在波传播的方向(fngxing)上移动了SSSSvTvx 相当于一个(y )完整的波被挤压在x 第88页/共102页第八十九页，共102页。SSTvB2S1SBBBuu ;由于观察者与介质相对静止,所以观察者接收到的