小学奥数-几何五大模型蝴蝶模型整理版

1、模型三任意四边形、梯形与相似模型蝴蝶模型(任意四边形模型)S1:S2=S4:0或者S1XS3=&XS4AO:OC=(S8:S4s3蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个局部,AOB1积为1平方千米,BOO积为2平方千米,4COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米A【分析】根据蝴蝶定理求得SAAOD=3

2、X12=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1+2+3+1.5=7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【稳固】如图,四边形被两条对角线分成求：三角形BGC的面积；4个三角形,其中三个三角形的面积,AG:GC=?【解析】根据蝴蝶定理,SBGCM1=2M3,那么SBGC=6;根据蝴蝶定理,AG:GC=(1+2):(3+6)=1:3.(?)例2四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如下图).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的1面积的1,且AO=2,DO=3,那么CO的长度是DO的长度的倍.【解析】在此题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种不良四边形,

3、无外乎两种处理方法：利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件Sabd：S_bcd=1：3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个不良四边形,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同,那么面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比拟两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一：AO：OC=S&bd:S西dc=1：3,OC=23=6,OC:

4、OD=6:3=2:1.解法二：作AH_LBD于H,.6,8口于6.一c1cCD,iSABD=ESBAODFABOE的面积依次是2、4、4和6.求：求OCF的面积；求4GCE的面积.【解析】根据题意可知,ABCD的面积为2+4+4+6=16,那么ABCO和ACDO的面积都是16+2=8,所以OCF的面积为84=4;由于ABCO的面积为8,ABOE的面积为6,所以4OCE的面积为86=2,根据蝴蝶定理,EG:FG=S&OE:S&OF=2:4=1:2,所以S小CE:S而CF=EG:FG=1:2,112那幺SpcE=-SCEF=-M2=一1233例4图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分

5、成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷【解析】在LABE,|_CDE中有/AEB=/CED,所以|_ABE,|_CDE的面积比为AExEB:CExDE.同理有|_ADE,BCE的面积比为AEmDE:BEmEC.所以有SabeXScde=SadeXSbce,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个局部,有：上、下局部的面积之积等于左右局部的面积之积.即S|ABE父6=Sade父7,所以有LABE与LADE的面积6767显然,最大的三角形的面积为21公顷.例52021年清华附中入学测试题如图相邻两个格

6、点间的距离是为.AADb/o；J,JCC【解析】连接AD、CD、BC.那么可根据格点面积公式,可以得到MBC的面积为：1+4-124MBD的面积为：2+-1=3.24所以BO：ODS凄BC:S%CD2:3.54：75所以S亦BO47【稳固】如图,每个小方格的边长都是1,求二角形ABC的面积.二,C【解析】由于BD:CE=2:5,且BD/CE,所以DA:AC=2:5,S&例62007年人大附中考题如图,边长为1的止方形ABCD中,的面积.1,那么图中阴影三角形的面积D=2,MCD的面积为：3+31=3.5,2c412:S逸BD=乂3=,11115G510BC,SDBC-M2一.2577BE=2E

7、C,CF=FD,求二角形AEG比为7:6,用人8二二一*39=21公顷,Sade=6-M39=18公顷.【解析】【例7】例8连接由于由于所以所以BE=2EC,SAED=六CF=FD所以SDEFABCD)根据蝴蝶定理,AG:GF=:一212ABCD6Sagd=6Sgdf=Sadf61SABCD74-S14一ABCD13SAGE=SAED-SAGD=万S|_ABCD-14S即三角形AEG的面积是2.7如图,长方形ABCD中,方形ABCD的面积.【解析】由于BE:EC=2:3,DF由于SjAED=1%方形ABCD,2ABCDJSABCD7-BE:EC=2:3,DF:FC=1:2:FC=1:2,1AG

8、:GF二一1万厘米.由于Safd16三角形DFG的面积为2平方厘米,求长所以SDEF1一-,一:一=5:1,所以S210方形ABCD,所以长方形如图,正方形ABCD的边长为形BDG的面积.设BD与CE的交点为O,连接STT形ABCD-10AGD=5SGDF=10平方厘米,所以SAFDABCD的面积是72平方厘米.二12平10厘米,E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角BE、DF.由蝴蝶定理可知EO:OC=Sbed:Sbcd,而Sbed二SABCD,4SBCD-1SSABCD,21所以EO:OC=Sjbed:SBCD=1:2,故EO=EC.一31.由于F为CE中点,所以EF=EC,故E

9、O:EF=2:3,FO:EO=1:2.21 1由蝴蝶7E理可知SBFD:SBED=FO:EO=1:2,所以SjBFD=SBED=一SABCD,2 -8-111那ASibgd=Sbfd=Sabcd=乂10父10=6.25平方厘米.L2-16-16【例9】如图,在AABC中,M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,假设MOM、AABO和BON的面积分别是3、2、1,那么削NC的面积是.【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.根据蝴蝶定理得Smon=SA0MSBON=史=9Saob22设S&on=x,根据共边定理我们可以得QQ33SANM=SJABM,2=3+2,解得

10、x=22.5.SmncSmbcx1,3x2【例10】2021年迎春杯初赛六年级正六边形AA2A3A44A6的面积是2021平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别平方厘米.是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是【解析】如图,设B6A2与的交点为O,那么图中空白局部由6个与AA20A3一样大小的三角形组成,只要求出了&20A3的面积,就可以求出空白局部面积,进而求出阴影局部面积.连接AA、BeB、B6A3.设中B1B6的面积为1“,那么&BAB6面积为1“,AAA2B6面积为2,那么AA6A3B6面积为AAz国的2倍,为4,梯形AAzAA的面积为2父2+4父2=12,M2B6A3的面积为

11、6“,姐小2A3的面积为2.根据蝴蝶定理,BO=A3.=S&a2B66&A2B6=1:6,故S应OA3=缶,S仔=,2所以S&oa,.弟形aaaa=5:12:1:7,即a20A3的面积为梯形AWA面积的;,故为K边形AA2A3A4A5As面积的.,那么空白局部的面积为正六边形面积的工*6=旦,所以阴影局部面积为1414732021mH1=1148平万厘米.,7板块二梯形模型的应用梯形中比例关系“梯形蝴蝶定理:S1：S3=a2:b2Si:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab；2S的对应份数为a+b.梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结

12、论,往往在题目中有事半功倍的效果.具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明【例11如图,3=2,&=4,求梯形的面积.【解析】设G为a2份,a为b2份,根据梯形蝴蝶定理,Sa=4=b2,所以b=2;又由于S2=2=aMb,所以a=1;那么S=a2=1,S4=aMb=2,所以梯形面积S=&+&+6+S=1+2+4+2=9,或者根据梯形蝴蝶定理,S=a+b2=1+22=9.【稳固】2006年南京智力数学冬令营如下列图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,4AOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是平方厘米.【解析】根据梯形蝴蝶

13、定理,Saob：S_boc=a2：ab=25:35,可得a:b=5:7,再根据梯形蝴蝶定理,_2222_一、一.一.Suaob：Sdoc=a:b=5:7=25:49,所以0doc=49平方厘米.那么梯形ABCD的面积为25+35+35+49=14邨方厘米.【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的-,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.3【解析】根据梯形蝴蝶定理,Saob：S_boc=ab:b2=2:3,可以求出a:b=2:3,再根据梯形蝴蝶定理,SAOD:SB0c=a2:b2=22:32=4:9.OOC通过利用已有几何模型,

14、我们轻松廨决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.AC和BD交于0点,A0=1,并且【例13第十届华杯赛如下列图,四边形ABCD中,对角线Y黑=5,那么0C的长是多少【解析】根据蝴蝶定理,三角形ABD的面积三角形CBD的面积=AO,所以CO皿=9,又AO=1,所以CO=-.CO53【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?【解析】根据梯形蝴蝶定理,a:b=1:1.5=2:3,Saod:S为oc=a2:b2=22:32=4:9,所以S&od=4cm2.如图,梯形ABCD

15、中,AAOB、iCOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.根据梯形蝴蝶定理,SAOB:S_ACOD2SUaod:Saob=ab:a=b:a=3:2,=a2:b2=4:9,所以a:b=2:3,3SAOD-SCOB=1.2父一=1.8,一2S形ABCD=1.2+1.8+1.8+2.7=7.5.【例15】如下列图,一个长方形被一些直线分成了假设干个小块,三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH

16、的面积,所以四边形EGFH的面积是11+23=34.【稳固】人大附中入学测试题如图,长方形中,假设三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,那么三角形1的面积为.【解析】做辅助线如下：利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是36m工=16,3的面积就是36M=20.4545【例16如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影局部的面积.【解析】由于M是AD边上的中点,所以AM:BC=1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道S*AAMG:SAABG:SAMCG:SABCG=12:1乂2:1乂2:22=1:

17、2:2:4,设SAAGM=1份,那么SAmcd=1+2=3份,所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份,与影=2+2=4份,所以SK影:S正方形=1:3,所以6月影=1平方厘米.【稳固】在下列图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE:AD=1:2,根据蝴蝶定理得S梯形=1+22=9平方厘米,SaECD=3平方厘米,那么SABCD=12平方厘米.【例17如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影局部的面积.【解析】由于E,F是DC边上的三

18、等分点,所以EF:AB=1:3,设SAOEF=1份,根据梯形蝴蝶定理可以知道Saaoe=Saofb=3份,SAAOB=9份,SAADE=SABCF=1+3份,因此正方形的面积为4+4+1+32=24份,St影=6,所以S阴影：S正方形=6：24=1：4,所以升影=3平方厘米.【例18如图,在长方形ABCD中,AB=6厘米,AD=2厘米,AE=EF=FB,求阴影局部的面积.【解析】方法一：如图,连接DE,DE将阴影局部的面积分为两个局部,其中三角形AED的面积为2M6+3+2=2平方厘米.3由于EF：DC1:3,根据梯形蝴蝶正理,SDEO：SEFO3:1,所以SDEO=-SDEF,而S匹=鬲=2

19、4 一平方厘米,所以Sdeo=3m2=1.5平方厘米,阴影局部的面积为2+1.5=3.5平方厘米.4方法二：如图,连接DE,FC,由于EF:DC=1:3,设S40ff=1份,根据梯形蝴蝶定理,SAOED=3份,S梯形efcd=1+32=16份,Saade=Sabcf=1+3=4份,因此1方形abcd=4+16+4=24份,与影=4+3=7份,而右方形abcd=6m2=12平方厘米,所以时影=3.5平方厘米【例19】2021年“奥数网杯六年级试题ABCD是平行四边形,BC:CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.那么阴影局部的面积是平方厘米.【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形,BC

20、:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,根据梯形蝴蝶定理,S|_COE：S_AOC：S_DOE：S_AOD=22:2X3:2X3:32=4:6:6:9,所以Saoc=6平方厘米,Saod=9平方厘米,又Sabc=Sacd=6+9=15平方厘米,阴影局部面积为6+15=21平方厘米.【稳固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,三角形面积如下图单位：平方厘米,阴影部分的面积是平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S&CD=SAE.根据蝴蝶定理,S&cdmS&ae=ScemS在ad=4x9=36,故S曰cd?=36,所以5 OCD-6平方厘米.【稳固】

21、2021年三帆中学考题右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,三角形面积如下图单位：平方厘米,阴影局部的面积是平方厘米.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S#CD=S&AE.根据蝴蝶定理,S&CDMS型ae=SeCEMSqAD=2x8=16,故S&D2=16,所以SaCD=4平方厘米.1 1另解：在平仃四边形ABED中,S&DE=Sabed=X16+8=12平万厘米,2 2所以S浅OE=SDESaOD=128=4平方厘米,根据蝴蝶定理,阴影局部的面积为8x2+4=4平方厘米.【例20如下图,BD、CF将长方形ABCD分成4块,ADEF的面积是5平方厘米,Z

22、kCED的面积是10平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为10M10得5=20平方厘米,所以长方形的面积为20+10尸2=60平方厘米.四边形ABEF的面积为60-5-10-20=25平方厘米.【稳固】如下图,BD、CF将长方形ABCD分成4块,ADEF的面积是4平方厘米,ACED的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米【解析】法1连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面

23、积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6M6.4=9平方厘米,所以长方形的面积为9+6不2=30平方厘米.四边形ABEF的面积为30469=11平方厘米.法2由题意可知,且匕=4=2,根据相似三角形性质,型=空=2,所以三角形BCE的面积为：EC63EBEC326+=9平方厘米.那么三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为15x2=30平方厘米.四边形ABEF的面积为30_4_6_9=11平方厘米.【稳固】98迎春杯初赛如图,ABCD长方形中,阴影局部是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是多少【解析】由于连接ED知道ABO和AED

24、O的面积相等即为54,又由于OD：OB=16：9,所以4AOD的面积为54-9x16=96,根据四边形的对角线性质知道：BEO的面积为：54x54-96=30.375,所以四边形OECD的面积为：54+9630.375=119.625平方厘米.【例21】2007年“迎春杯高年级初赛如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形,所以S西od=Sfoc,又根据蝴蝶定理,SODSgOC=S&OF,S&OD,所以SEODS&OC=SOFS在OD=2父8=16,所以SOD=4平方厘

25、米,$推.口=4+8=12平方厘米.那么长方形ABCD的面积为12x2=24平方厘米,四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9平方厘米.【例2298迎春杯初赛如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是.11.【解析】解法一：连接DE,依题意Saob=MBOMAO=M9MAO=54,所以AO=12,221 1贝uSAOD=-MDOXAO=一父16父12=96.2 21-.3又由于Sjaob=Sdoe=54=M16MOE,所以OE=6一,-241133得Sboe=-MBOMEO=一父9父6=30一,22483.5所以SOECD

26、=SL|BDCSBOE=SABDSBOE=(54+96)30119.-8816解法一：由于Saod：Saob=OD：OB=16：9,所以&aod=54M=96,而Sdoe=Saob=54,根据9一蝴蝶定理,所以SOECD3S|jBOESSAOD=SAOB黑SDOE,所以S|jBOE=54X54丁96=30-,-835=S|_BDCSBOE=SABD-SBOE=(54+96)-30-=119-.-88【例23如图,AABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.正方形DEFG的面积48,AK:KB=1:3,那么&BKD的面积是多少【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC

27、平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,ABDK和11MCK的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以MCK的面积是MBC面积的,=,那么ABDK1341的面积也是AABC面积的-.4由于MBC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AM=DE,可见MBM和MCM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以AABC的面积与正方形DEFG的面积相等,为48.1那么空DK的面积为48黑-=12.4【例24如下图,ABCD是梯形,MDE面积是1.8,MBF的面积是9,ABCF的面积是27.那么阴【解析】根据梯形蝴蝶定理,可以得到S小fb黑SfcSAFBSCD

28、F99SAFD=一S=方=3,SBFC27=S&fdMS咨FC,而SAFB=SDFC等积变换,所以可得并且S&ef=S&dfS&ed31.81.2,而S咫fb:S&fcAF:FC=9:27=1:3,所以阴影AAEC的面积是：SEC=S&EF父4=1.2父4=4.8.6,那么阴影局部面积为多少?【解析】连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份,阴影局部占了其中八份,所以阴影局部的面积X6=-.183【例26如图,D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由这6局部组成,其中比多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平

29、方厘米【解析】由于E是DC中点,F为AC中点,有AD=2FE且平行于AD,那么四边形ADEF为梯形.在梯形ADEF中有=,X=*,：二人口2：FE2=4.又-=6,所以=6+(41)=2,=M4=8,所以X=*=16,而=,所以=4,梯形ADEF的面积为、四块图形的面积和,为8+4+4+2=18.有|_CEF与|_ADC的面积比为CE平方与CD平方的比,即为1:4.所以|_ADC面积为梯形ADEF面积的=4,即为18父,=24.由于D是BC中点,所4-133以|_ABD与|_ADC的面积相等,而ABC的面积为|_ABD、ADC的面积和,即为24+24=48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方

30、厘米.【例27如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影局部的面积为.【解析】此题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.解法一：取特殊值,使得两个正方形的中央相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6M1.5+2父4+2父2=22,阴影局部的面积为6M622=14.解法二：连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:6=1:

31、3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之229比为1:1父3:1父3:3=1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一,阴影局部的面16积占该梯形面积的,所以阴影局部的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影局部的面积为16167父(6-2)=14.16【例28如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE=2BE,CF=2DF,连接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S,那么Si:S2=.AQDAQDGFMNMEPGFNBEP【解析】连接2BDBD、2EF.

32、设正方形ABCD边长为3,那么CE=CFSAGEF二33:SAGBD222=18.由于EF,BD=8x18=144=12,所以BE=DF=1,所以,EF2=22+22=8,EF,BD=12.由梯形蝴蝶定理,得22:SADGF:SnBGE=EF2:BD2:EFBD:EFBD=8:18:12:12=4:9:6:6,所以,SABGE6cSW形BDFESW形BDFE259由于SABCD=33-2=2,Sacef=2h2+2=2,=SzbcdSacef=-,所以,Sabge2255X-2由于BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长,所以CN二一21=69ND=3=一,55所以AM:CN=DN:CN=3:2,那么:&=AM2：CN2【例29如下列图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD=2AB,点E、F分别是AD和BC的