离散时间信号与系统的变换域分析

1、2022-5-612 离散时间信号与系统的变换域分析离散时间信号与系统的变换域分析 本章重点内容：序列的本章重点内容：序列的z z变换、逆变换、逆z z变换的定义、变换的定义、性质及求解方法；序列的傅里叶变换的定义、性性质及求解方法；序列的傅里叶变换的定义、性质及求解方法；拉普拉斯变换、质及求解方法；拉普拉斯变换、z z变换及序列的变换及序列的傅里叶变换之间的关系；线性时不变离散时间系傅里叶变换之间的关系；线性时不变离散时间系统的变换域描述、系统频率响应的定性确定方法统的变换域描述、系统频率响应的定性确定方法及系统的类型。及系统的类型。 2022-5-622.1 序列的序列的z变换变换 2.2

2、 逆逆z变换变换 2.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 2.4 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换2.5 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、z变换、序列的傅里叶变换、序列的傅里叶变换的关系变换的关系2.6线性时不变离散时间系统的变换域分析线性时不变离散时间系统的变换域分析 2022-5-632.1 序列的序列的z变换变换2.1.1 z变换的定义变换的定义 2.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 2022-5-64 z变换的定义可以由离散时间信号直接给出，也变换的定义可以由离散时间信号直接给出，也可以由采样信号的拉普拉斯变换过渡到可以由采样信号的拉普拉斯变换过渡到z变换。变换。 z变换变换 2.1

3、.1 z变换的定义变换的定义nnznxzX)()(2022-5-652.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 z变换的定义式是无穷多项的累加求和，显然，变换的定义式是无穷多项的累加求和，显然，只有当式收敛时才有意义。对于任意给定的序只有当式收敛时才有意义。对于任意给定的序列列 ，使其，使其z变换收敛的所有变换收敛的所有z值的集合称为值的集合称为 的收敛域。我们将使的收敛域。我们将使 的分母为的分母为0，即，即 趋于趋于无穷大的点称为极点，而将使无穷大的点称为极点，而将使 为为0的点称为零的点称为零点，将零极点画在点，将零极点画在z平面上得到的图形称为零极点平面上得到的图形称为零极点分布图。显然收

4、敛域中不包含极点。分布图。显然收敛域中不包含极点。 按照级数理论，收敛的充要条件是满足绝对可按照级数理论，收敛的充要条件是满足绝对可和，即和，即 )(nx)(zX)(zX)(zX)(zXnnznx)(2022-5-662.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 1有限长序列有限长序列 这类序列只是在有限区间这类序列只是在有限区间 之间时之间时 的取值才不全为的取值才不全为0，而在此区间之外序列值全为零，而在此区间之外序列值全为零，则其则其z变换变为变换变为 即为有限项之和，因此只要级数的每一项有限，即为有限项之和，因此只要级数的每一项有限，级数就一定收敛。由于级数就一定收敛。由于 的每个样点值都是

5、有的每个样点值都是有限的，所以只要限的，所以只要 为有限值，有限长序列的为有限值，有限长序列的z变变换就能收敛。换就能收敛。 21nnn)(nx21)()(nnnnznxzX)(nxnz2022-5-672.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 当当 时时(往往称为有限往往称为有限z平面平面)， 肯定肯定是有限的，因此在这个区域内，有限长序列的是有限的，因此在这个区域内，有限长序列的z变变换就一定收敛。但是换就一定收敛。但是 和和 时时 是否有限，是否有限，还取决于还取决于 和和 的取值情况，讨论如下：的取值情况，讨论如下： （1）当）当 时，时， 中取非零值时的序号均不中取非零值时的序号均不小

6、于零，则小于零，则 中不存在中不存在z的正次幂，因此，当时，的正次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括为有限值，因此，这时的收敛域包括 ，即收敛，即收敛域为域为 ； z0nz0zznz1n2n01n)(nxnzznzz z02022-5-682.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 （2）当）当 时，时， 中取非零值时的序号均不中取非零值时的序号均不大于零，则大于零，则 中不存在中不存在z的负次幂，因此，当时，的负次幂，因此，当时， 为有限值，因此，这时的收敛域包括，即收敛域为有限值，因此，这时的收敛域包括，即收敛域为为 ； （3）当）当 而而 时，时， 中既存在中既存在z的负次的

7、负次幂，也存在幂，也存在z的正次幂，因此的正次幂，因此 和和 时时 均均可能无限，这时的收敛域不能包括可能无限，这时的收敛域不能包括 和和 ，即收敛域为即收敛域为 。 02n)(nxnz0znz0z z001n02nnz0zznz0zz z02022-5-692.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 2右边序列右边序列 这类序列是指只在这类序列是指只在 时，时， 取值不全为零，取值不全为零，在在 时，时， 全为全为0，其，其z变换为变换为 上式右边的第一项为有限长序列的上式右边的第一项为有限长序列的z变换，按变换，按照上面的讨论，其收敛域为有限照上面的讨论，其收敛域为有限z平面。而第二平面。而第

8、二项是项是z的非正幂级数，按级数收敛的阿贝尔的非正幂级数，按级数收敛的阿贝尔(N.Abel)定理可知，存在一个收敛半径定理可知，存在一个收敛半径 ，级，级数在以原点为中心、数在以原点为中心、 为半径的圆外任何点都为半径的圆外任何点都收敛。收敛。1nn )(nx1nn )(nx01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzXxRxR2022-5-6102.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 综合两项的收敛域，当两项均收敛时整个级数综合两项的收敛域，当两项均收敛时整个级数才收敛。因此，如果才收敛。因此，如果 是收敛域的最小半径，是收敛域的最小半径，则右边序列的则右边序列的z变换的收敛

9、域为变换的收敛域为 如果如果 ，这类右边序列称为因果序列，这时，这类右边序列称为因果序列，这时 的的z变换中不存在第一项，即级数中不包含变换中不存在第一项，即级数中不包含z的正次幂，因此其收敛域包含的正次幂，因此其收敛域包含 ，即，即 或或 处处z变换收敛是因果序列的特征，因果序列变换收敛是因果序列的特征，因果序列的的z变换的收敛域包含变换的收敛域包含 ，xRzRx01n)(nxzzRxxRzzz2022-5-6112.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 反之，如果一个序列反之，如果一个序列z变换的收敛域包含变换的收敛域包含 ，则该序列一定是因果序列。则该序列一定是因果序列。z2022-5-6

10、122.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 3左边序列左边序列 这类序列是指只在这类序列是指只在 时，时， 取值不全为零，取值不全为零，在在 时，时， 全为全为0，其，其z变换为变换为 等式右边第二项是有限长序列的等式右边第二项是有限长序列的z变换，收敛域变换，收敛域为有限为有限z平面，第一项是平面，第一项是z的正幂级数，按阿贝尔的正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径定理，必存在收敛半径 ，级数在以原点为中心、，级数在以原点为中心、 为半径的圆内任何一点都收敛。综合两项的收为半径的圆内任何一点都收敛。综合两项的收敛区域，左边序列的收敛区域为敛区域，左边序列的收敛区域为 2nn )(nx2nn

11、 )(nx2201)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXxRxRxRz02022-5-6132.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 如果如果 ，则其，则其z变换右端不存在第二项，即不存变换右端不存在第二项，即不存在在z的负次幂，这样的序列称为反因果序列，其收的负次幂，这样的序列称为反因果序列，其收敛域应包括敛域应包括 ，即，即 02n0zxRz2022-5-6142.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 4双边序列双边序列 这类序列是指为任意值时，即这类序列是指为任意值时，即 时时 均有均有不为零的值，可以把它看成是一个左边序列和一不为零的值，可以把它看成是一个左边序列和一个右边

12、序列之和，即个右边序列之和，即 因此，该序列为左边序列和右边序列收敛域的公因此，该序列为左边序列和右边序列收敛域的公共部分，如果右边序列的收敛半径为共部分，如果右边序列的收敛半径为 ，左边序，左边序列的收敛半径为列的收敛半径为 ，且满足，且满足 则双边序列存在公共收敛区域则双边序列存在公共收敛区域 n)(nx01)()()()(nnnnnnznxznxznxzXxRxRxxRRxxRzR2022-5-6152.1.2 z变换的收敛域变换的收敛域 2022-5-6162.2 逆逆z变换变换 2.2.1 围线积分法围线积分法(留数法留数法) 2.2.2 部分分式展开法部分分式展开法2.2.3 长除

13、法长除法(幂级数展开法幂级数展开法) 2022-5-6172.2.1 围线积分法围线积分法(留数法留数法) 利用柯西积分公式，可得的逆利用柯西积分公式，可得的逆z变换公式如下：变换公式如下： 式中式中 表示围线积分，表示围线积分，C为在收敛域内逆时针为在收敛域内逆时针环绕原点的一条闭合曲线。直接计算围线积分较环绕原点的一条闭合曲线。直接计算围线积分较麻烦，若被积函数麻烦，若被积函数 是有理分式，一般采用是有理分式，一般采用留数定理来求解。留数定理来求解。 CndzzzXjnx1)(21)( C1)(nzzX2022-5-6182.2.1 围线积分法围线积分法(留数法留数法) 根据留数定理，若被

14、积函数根据留数定理，若被积函数 在围线在围线C上上连续，在围线连续，在围线C以内有以内有K个极点个极点 ，而在围线，而在围线C以以外有外有M个极点个极点 (K、M均为有限值均为有限值)，则有，则有 (a) 及及 (b) 其中其中 表示取留数。表明序列表示取留数。表明序列 等于等于 在围线在围线C以内的所有留数的和，也等于围线以内的所有留数的和，也等于围线C以外以外所有留数的和的负值。所有留数的和的负值。 1)(nzzXkzmzkzznkzzXsnx1)(Re)(mzznmzzXsnx1)(Re)( sRe)(nx1)(nzzX2022-5-6192.2.1 围线积分法围线积分法(留数法留数法)

15、 这样利用留数定理，逆这样利用留数定理，逆z变换的求解就变成了留变换的求解就变成了留数的计算问题，计算过程大为简化。下面讨论留数的计算问题，计算过程大为简化。下面讨论留数的求解方法。数的求解方法。 设设 是是 的单重极点，则其留数为的单重极点，则其留数为 如果如果 是是 的多重的多重(l阶阶)极点，则其留数为极点，则其留数为iz1)(nzzXiizznizznzzXzzzzXs11)()(Reiz1)(nzzXiizznlillzznzzXzzdzdlzzXs1111)()!1(1)(Re2022-5-6202.2.2 部分分式展开法部分分式展开法 在实际应用中，在实际应用中， 一般是一般是z

16、的有理分式的有理分式 则则 可以展开成以下的部分分时展开式可以展开成以下的部分分时展开式 )(zXNiiiMiiizazbzAzBzX101)()()()(zXrkkikrMkkkNMnnnzzCzzAzBzX1111011)(2022-5-6212.2.2 部分分式展开法部分分式展开法 其中其中 为为 的一个的一个r阶极点，各个阶极点，各个 是是 的单极点，的单极点， 是是 的整式部分的系数，当的整式部分的系数，当 时存在时存在 ( 时时仅有仅有 项项)， 时，各个时，各个 ， 可用长除法求可用长除法求得。得。iz)(zXkz)(zXnB)(zXNM nBNM 0BNM 0nBnB2022-

17、5-6222.2.2 部分分式展开法部分分式展开法 根据留数定理，系数可用下式求得根据留数定理，系数可用下式求得 系数可由下式求得系数可由下式求得 展开式的系数确定后，根据收敛域的不同，再展开式的系数确定后，根据收敛域的不同，再分别求出式分别求出式(2-11)右边各项的逆右边各项的逆z变换变换(可以利用表可以利用表2-1中的基本中的基本z变换对的结果变换对的结果)，原序列就是各个序，原序列就是各个序列之和。列之和。 kkkzzzzkzzkkzzXszzXzzzXzzA)(Re)()(11izzkrikrkrkzzXzzdzdkrC)()!(12022-5-6232.2.2 部分分式展开法部分分

18、式展开法 用部分分式法求用部分分式法求z变换时，较方便的方法是把变换时，较方便的方法是把 转换成转换成z的正幂次表示式，再求的正幂次表示式，再求 (单极点时单极点时)或或 (r重极点时重极点时)部分分式展开的各项系数。部分分式展开的各项系数。 )(zXzzX)(kzzX)(2022-5-6242.2.3 长除法长除法(幂级数展开法幂级数展开法) 因为因为 的的z变换定义为变换定义为z的幂级数，所以，只要的幂级数，所以，只要在给定的收敛域内把在给定的收敛域内把 展开成幂级数，则级数的展开成幂级数，则级数的系数就是序列系数就是序列 。 在利用长除法求逆在利用长除法求逆z变换时，同样要根据收敛域变换

19、时，同样要根据收敛域判断序列判断序列 的性质，然后再展开成相应的的性质，然后再展开成相应的z的幂级的幂级数。当数。当 的收敛域为的收敛域为 时，时， 为右边序列，此为右边序列，此时应将时应将 展开成展开成z的负幂级数，因此的负幂级数，因此 分子分母应分子分母应按按z的降幂排列进行长除；如果的降幂排列进行长除；如果 的收敛域为的收敛域为 时，时， 为左边序列，此时应将为左边序列，此时应将 展开成展开成z的正幂级数，因的正幂级数，因此此 分子分母应按分子分母应按z的升幂排列进行长除。的升幂排列进行长除。 )(nx)(zX)(nx)(nx)(zXxRz)(nx)(zX)(zX)(zXxRz)(nx)

20、(zX)(zX2022-5-6252.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 1线性性线性性 z变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序变换是一种线性变换，满足叠加原理。如果序列列 和和 的的z变换是变换是 和和 ，即，即 则则 其中其中a，b为任意常数。相加后为任意常数。相加后z变换的收敛域为两变换的收敛域为两个序列个序列z变换收敛域的重叠部分。如果线性组合后变换收敛域的重叠部分。如果线性组合后某些极点和零点相互抵消，则收敛域可能扩大。某些极点和零点相互抵消，则收敛域可能扩大。 )(nx)(ny)(zX)(zY)()(zXnxZxxRzR)()(zYnyZyyRzR)()()()(zbYza

21、XnbynaxZyxyxRRzRR，minmax2022-5-6262.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 2序列的移位序列的移位 如果序列如果序列 的的z变换为变换为 则有则有 式中式中n0为任意整数，可以为正为任意整数，可以为正(右移右移)，也可以为，也可以为负负(左移左移)。 )(nx)()(zXnxZxxRzR)()(00zXznnxZnxxRzR2022-5-6272.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 3序列乘指数序列序列乘指数序列(z域尺度变换域尺度变换) 若序列若序列 乘以指数序列乘以指数序列 ，a是常数，若是常数，若 则则 )(nxna)()(zXnxZxxRzRaz

22、XnxaZn)(xxaRzaR2022-5-6282.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 4序列的反转序列的反转 若若 则则 )()(zXnxZxxRzRzXnxZ1)(xxRzR112022-5-6292.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 5序列的共轭序列的共轭 一个复序列一个复序列 的共轭序列为的共轭序列为 ，若，若 则则 )(nx)(nx)()(zXnxZxxRzR)()(zXnxZxxRzR2022-5-6302.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 6序列的线性加权序列的线性加权(z域微分域微分) 若已知若已知 则则 )()(zXnxZxxRzR)()(zXdzdznnx

23、ZxxRzR2022-5-6312.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 7初值定理初值定理 对于因果序列对于因果序列 ，有，有 )(nx)0()(limxzXz2022-5-6322.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 8终值定理终值定理 如果如果 为因果序列，且为因果序列，且 的极点处于单位圆的极点处于单位圆( )以内以内(单位圆上最多在单位圆上最多在 处可有一阶极点处可有一阶极点)，则则 )(nx)(zX1z1z)(1lim)(lim1zXznxzn2022-5-6332.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 9时域卷积定理时域卷积定理 若若 则则)()(zXnxZxxRzR)(

24、)(zHnhZhhRzR)()()(nhnxny)()()(zHzXnyZhxhxRRzRR，minmax2022-5-6342.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 时域卷积定理是时域卷积定理是z变换的重要定理，由第一章可变换的重要定理，由第一章可知，系统的输出等于输入与系统单位脉冲响应的知，系统的输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积，利用卷积定理，可通过求解卷积，利用卷积定理，可通过求解 的逆的逆z变变换而求出输出序列。根据相关和卷积之间的关系，换而求出输出序列。根据相关和卷积之间的关系，可以很容易的得出时域相关的可以很容易的得出时域相关的z变换变换 )()(zHzX)()()(1zYz

25、XzRxy2022-5-6352.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理 10序列相乘序列相乘(z域复卷积定理域复卷积定理) 若若 且且 则则 其中其中C是是v平面上平面上 与与 公共收敛域中绕原点逆时公共收敛域中绕原点逆时针旋转的闭合曲线。针旋转的闭合曲线。 )()()(nhnxny)()(nxZzXxxRzR)()(nhZzHhhRzR dvvvHvzXjzYC121)(hxhxRRzRRvzX vH2022-5-6362.4 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 2.4.1 序列的傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义 2.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 2.4

26、.3 序列的傅里叶变换举例序列的傅里叶变换举例 2022-5-6372.4.1 序列的傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义 序列的傅里叶变换定义为序列的傅里叶变换定义为 注意，它是注意，它是的连续函数，这也是我们在第三章的连续函数，这也是我们在第三章将要介绍离散傅里叶变换的原因。将要介绍离散傅里叶变换的原因。 由于有由于有 其中其中M为整数。所以有为整数。所以有 因此，序列的傅里叶变换因此，序列的傅里叶变换 是周期函数，周期是周期函数，周期为为2。序列的傅里叶变换是序列的频谱，在频谱。序列的傅里叶变换是序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到。分析与数字滤波器设计中经常用到。 nnj

27、jenxeX)(nMjnjee2MjnnMjjeXenxeX22)(jeX2022-5-6382.4.1 序列的傅里叶变换的定义序列的傅里叶变换的定义 比较序列的傅里叶变换的定义式与比较序列的傅里叶变换的定义式与z变换的定义变换的定义式可知，序列的傅里叶变换是式可知，序列的傅里叶变换是z变换在时的特殊情变换在时的特殊情况，故有况，故有 一般为一般为的复变函数，可表示为的复变函数，可表示为 其中其中 、 分别为分别为 的实部和虚部，的实部和虚部， 通通常称为幅频特性或幅度谱，常称为幅频特性或幅度谱， 而称为相位而称为相位谱，且有谱，且有 它们都是它们都是的连续函数和周期为的连续函数和周期为2的周

28、期函数。的周期函数。 jezjzXeX)(jeXjjjIjRjeeXejXeXeXargjReXjIeXjeXjeX jeXarg2/122jIjRjeXeXeX jRjIjeXeXeXarctanarg2022-5-6392.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 1线性性线性性 若若 ， ，a，b为任意常数，为任意常数，则有则有 )(DTFT11nxeXj)(DTFT22nxeXjjjebXeaXnbxnax2121)()(DTFT2022-5-6402.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 2序列的时移序列的时移 若若 ，则，则 即时域的移位

29、对应于频域的相移。即时域的移位对应于频域的相移。 )(DTFTnxeXjjnjeXennx00DTFT2022-5-6412.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 3序列乘指数序列序列乘指数序列 若若 ，则，则 )(DTFTnxeXj aeXnxajnDTFT2022-5-6422.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 4序列乘复指数序列序列乘复指数序列(调制调制) 若若 ，则，则 即时域的调制对应于频域的移位。即时域的调制对应于频域的移位。 )(DTFTnxeXj 00DTFTjnjeXnxe2022-5-6432.4.2 序列的傅里叶变换的主

30、要性质序列的傅里叶变换的主要性质 5序列的线性加权序列的线性加权 若若 ，则，则 时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j。 )(DTFTnxeXj jeXddjnnxDTFT2022-5-6442.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 6序列的反转序列的反转 若若 ，则，则 时域的反转对应于频域的反转。时域的反转对应于频域的反转。 )(DTFTnxeXjjeXnxDTFT2022-5-6452.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 7序列的共轭序列的共轭 若若 ，则，则 时域的共轭对应于频域的共轭且反转。时

31、域的共轭对应于频域的共轭且反转。 以上性质的证明与以上性质的证明与z变换对应的性质的证明方法变换对应的性质的证明方法类似，请读者自行证明。类似，请读者自行证明。 )(DTFTnxeXj jeXnxDTFT2022-5-6462.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 8时域卷积定理时域卷积定理 若若 ， ，则，则 即时域的卷积对应于频域的乘积。即时域的卷积对应于频域的乘积。 )(DTFTnxeXj)(DTFTnheHj jjeHeXnhnx)()(DTFT2022-5-6472.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 9频域卷积定理频域卷积定理 若若

32、 ， ，则，则 即时域的相乘对应于频域的卷积并除以即时域的相乘对应于频域的卷积并除以2。 )(DTFTnxeXj)(DTFTnyeYjjjeYeXnynx21)()(DTFT2022-5-6482.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 10帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理 若若 ，则，则 时域的总能量等于频域的总能量，即能量守恒时域的总能量等于频域的总能量，即能量守恒定理。定理。 )(DTFTnxeXjdeXnxjn2221)(2022-5-6492.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 11对称性质对称性质 若序列若序列 满足满足

33、则称序列则称序列 为共轭对称序列。对应地，若序列为共轭对称序列。对应地，若序列 满足满足 则称序列则称序列 为共轭反对称序列。显然任何一个序为共轭反对称序列。显然任何一个序列列 均可表示成共轭对称序列和共轭反对称序列均可表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和之和 其中其中 )()(nxnxee)(nxe)(nxe)(nxo)()(nxnxoo)(nxo)(nx)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo2022-5-6502.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 现对式现对式(2-44)两端求离散时间傅里叶变换，有两端求离散时

34、间傅里叶变换，有 而根据式而根据式(2-45)、(2-46)及序列的傅里叶变换的性及序列的傅里叶变换的性质有质有 表明序列表明序列 共轭对称部分的离散时间傅里叶变共轭对称部分的离散时间傅里叶变换对应于换对应于 的实部，而共轭反对称部分的离散时的实部，而共轭反对称部分的离散时间傅里叶变换对应于间傅里叶变换对应于 的虚部的虚部(包括包括j)。 )(DTFT)(DTFTnxnxeXoejjRjjjeeXeXeXeXnxRe21)(DTFTjIjjjoejXeXjeXeXnxIm21)(DTFT)(nxjeXjeX2022-5-6512.4.2 序列的傅里叶变换的主要性质序列的傅里叶变换的主要性质 若

35、将序列若将序列 表示成实部和虚部和的形式表示成实部和虚部和的形式 利用离散时间傅里叶变换的共轭性质可得利用离散时间傅里叶变换的共轭性质可得 )(nx)()()(njxnxnxirjejereXeXnx)(DTFTjojoieXeXnxj)(DTFT2022-5-6522.4.3 序列的傅里叶变换举例序列的傅里叶变换举例 下面通过一些例题说明利用序列的傅里叶变换下面通过一些例题说明利用序列的傅里叶变换的定义来求解其傅里叶变换的方法，以及序列傅的定义来求解其傅里叶变换的方法，以及序列傅里叶变换的性质的一些应用。里叶变换的性质的一些应用。 2022-5-6532.5 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、z变

36、换、序列的傅里叶变换的关系变换、序列的傅里叶变换的关系 2.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系 2.5.2 z变换与序列傅里叶变换的关系变换与序列傅里叶变换的关系 2022-5-6542.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系 在本章推导在本章推导z变换的定义式时，我们得出了变换的定义式时，我们得出了z变变换的复变量换的复变量z与拉普拉斯变换的复变量与拉普拉斯变换的复变量s之间的对之间的对应关系式应关系式(2-3)，现重写如下，现重写如下 其中其中Ts为采样周期。现将为采样周期。现将s平面用直角坐标系表示平面用直角坐标系表示 而而z平面用极坐标来表示

37、平面用极坐标来表示 显然有显然有 因此可得因此可得 ， 即即z的模仅与的模仅与s的实部有关，而的实部有关，而z的相位角仅与的相位角仅与s的虚部有关。的虚部有关。 ssTez jsjrez sssTjTTjjeeeresTersT2022-5-6552.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系 1r与与的关系的关系 （1） (s平面的虚轴平面的虚轴)对应于对应于 (z平面的单平面的单位圆位圆)； （2） (s平面的左半平面平面的左半平面)对应于对应于 (z平面平面单位圆内部单位圆内部)； （3） (s平面的右半平面平面的右半平面)对应于对应于 (z平面平面单位圆外部单位圆外部)

38、。 其映射关系如图其映射关系如图2-5所示。所示。 01r01r01r2022-5-6562.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系2022-5-6572.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系 2与与的关系的关系 （1） (s平面的实轴平面的实轴)对应于对应于 (z平面的正平面的正实轴实轴)； （2） (常数常数)( s平面平行于实轴的直线平面平行于实轴的直线)对应对应于于 (z平面始于原点辐射角为的辐射线平面始于原点辐射角为的辐射线)； （3） 由由 增长到增长到 (s平面为平面为 的一个的一个水平条带水平条带)对应于对应于 由由 到到 (z平面绕原

39、点旋转一平面绕原点旋转一周周)。因此。因此 每增加一个采样角频率每增加一个采样角频率 ， 就增就增加一个加一个 ，如图，如图2-6所示。所示。 000sT0sT/sT/sT/2sT/222022-5-6582.5.1 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与z变换的关系变换的关系2022-5-6592.5.2 z变换与序列傅里叶变换的关系变换与序列傅里叶变换的关系 序列的傅里叶变换与序列的傅里叶变换与z变换的关系可由式变换的关系可由式(2-27)来说明，重写如下：来说明，重写如下： 即序列的傅里叶变换即序列的傅里叶变换 是是z变换变换 在在 时的时的特殊情况，而特殊情况，而 的模为的模为1，即单位圆。因此

40、，序，即单位圆。因此，序列的傅里叶变换是列的傅里叶变换是z变换在单位圆上的特殊情况。变换在单位圆上的特殊情况。jezjzXeX)(jeX)(zXjez jez 2022-5-6602.5.2 z变换与序列傅里叶变换的关系变换与序列傅里叶变换的关系 而根据前一小节可知而根据前一小节可知z平面的单位圆对应于平面的单位圆对应于s平平面的虚轴，即面的虚轴，即 。由连续信号的傅里叶变换可。由连续信号的傅里叶变换可知，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例。知，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例。因此序列的傅里叶变换与连续信号的傅里叶变换因此序列的傅里叶变换与连续信号的傅里叶变换意义相同，即信号的频谱。意

41、义相同，即信号的频谱。 连续信号傅里叶变换的变量为连续信号傅里叶变换的变量为 ，而离散时间，而离散时间傅里叶变换的变量为傅里叶变换的变量为 ，它们之间的关系可由式，它们之间的关系可由式(2-53)来得到：来得到： 其中其中 称为数字频率，称为数字频率， 为采样频率。为采样频率。 jssssfffT2sf2022-5-6612.6 线性时不变离散时间系统的变换域分析线性时不变离散时间系统的变换域分析 2.6.1 线性时不变离散时间系统的变换域描述线性时不变离散时间系统的变换域描述 2.6.2 系统的频率响应的意义及定性确定方法系统的频率响应的意义及定性确定方法 2.6.3 系统的分类系统的分类

42、2022-5-6622.6.1 线性时不变离散时间系统的变换域描述线性时不变离散时间系统的变换域描述 1系统函数和系统的频率响应系统函数和系统的频率响应 是系统单位脉冲响应是系统单位脉冲响应 的的z变换，称为系统函数变换，称为系统函数(又叫转移函数又叫转移函数)。若对。若对 进行离散时间傅里叶变进行离散时间傅里叶变换，即换，即 称称 为系统的频率响应为系统的频率响应(又叫系统的传输函数又叫系统的传输函数)。显然，根据序列的傅里叶变换与显然，根据序列的傅里叶变换与z变换的关系可知，变换的关系可知，在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。 )()()(nhn

43、xny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH)(zH)(nh)(nhnnjjenheH)()()(jeH2022-5-6632.6.1 线性时不变离散时间系统的变换域描述线性时不变离散时间系统的变换域描述 2几种线性时不变系统描述方法之间的联系几种线性时不变系统描述方法之间的联系 到目前为止，我们有了描述系统的四种方法：到目前为止，我们有了描述系统的四种方法：即单位脉冲响应、线性差分方程、系统函数和系即单位脉冲响应、线性差分方程、系统函数和系统的频率响应。这四种描述方法从不同角度描述统的频率响应。这四种描述方法从不同角度描述了线性时不变离散时间系统的特性：单位脉冲响了线性时不变离散时

44、间系统的特性：单位脉冲响应描述了系统在最特殊的输入应描述了系统在最特殊的输入单位冲击序列单位冲击序列的作用下系统的响应；线性差分方程描述了任意的作用下系统的响应；线性差分方程描述了任意输入情况下系统的输出；系统函数从输入情况下系统的输出；系统函数从z变换域角度变换域角度来描述系统；而系统的频率响应则从离散时间傅来描述系统；而系统的频率响应则从离散时间傅里叶变换，即频域来描述系统。它们之间联系的里叶变换，即频域来描述系统。它们之间联系的纽带就是系统的单位脉冲响应。纽带就是系统的单位脉冲响应。 2022-5-6642.6.1 线性时不变离散时间系统的变换域描述线性时不变离散时间系统的变换域描述 差

45、分方程与系统函数之间的关系差分方程与系统函数之间的关系 显然，在给定系统的四种描述方法中的任意一显然，在给定系统的四种描述方法中的任意一种后，我们就能求出其它三种描述方法。种后，我们就能求出其它三种描述方法。 NkkMkkknyaknxbny10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(2022-5-6652.6.1 线性时不变离散时间系统的变换域描述线性时不变离散时间系统的变换域描述 3系统因果稳定性的变换域判定系统因果稳定性的变换域判定 如果系统函数的收敛域包括单位圆如果系统函数的收敛域包括单位圆 ，则肯，则肯定满足定满足 的条件，即系统是稳定的。反之也成的条件，即

46、系统是稳定的。反之也成立，即如果系统是稳定的，则其收敛域一定包括立，即如果系统是稳定的，则其收敛域一定包括单位圆。单位圆。 因果系统的单位脉冲响应是因果序列，而因果因果系统的单位脉冲响应是因果序列，而因果序列的序列的z变换的收敛域为变换的收敛域为 ，即因果序列，即因果序列的收敛域是半径为的收敛域是半径为 的圆的外部，且包括的圆的外部，且包括 。 1znnh)(zRxxRz2022-5-6662.6.2 系统的频率响应的意义及定性确定方法系统的频率响应的意义及定性确定方法 其中其中 为单位脉冲响应为为单位脉冲响应为 的离散时间傅里的离散时间傅里叶变换，即系统的频率响应。由式可以看出，在叶变换，即

47、系统的频率响应。由式可以看出，在稳定状态下，当系统的输入为复指数序列稳定状态下，当系统的输入为复指数序列 时，时，系统的输出也含有系统的输出也含有 ，只是被复函数值，只是被复函数值 加权。加权。和连续系统一样，当系统的输入为正弦序列，则系和连续系统一样，当系统的输入为正弦序列，则系统的输出为同频的正弦序列，只是其幅度受到系统的输出为同频的正弦序列，只是其幅度受到系统频率响应的幅度统频率响应的幅度 加权，而输出的相位则为加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。输入相位与系统相位响应之和。 jnjmmjnjmmnjeHeemheemhny)()()()()(jeH)(nhnjenje)(jeH)(jeH2022-5-6672.6.2 系统的频率响应的意义及定性确定方法系统的频率响应的意义及定性确定方法NkkMkkMNNkkMkkdzczAzzdzcAzH11111111)()(arg11)()(jeHjjNkkjMkkjMNjjeeHdeceAeeHNkkjMkkjjdeceAeH11)( MNdeceAeHNkkjMkkjj11argargargarg2022-5-6682.6.2 系统的频率响应的意义及定性确定方法系统的频率响