2019届高三数学(理)大一轮复习课时作业：第4章单元质量检测

1、第四章单元质量检测时间：90 分钟分值：100 分一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1 . （2019 武汉调研）如图所示的方格纸中有定点OP，Q E，F,G, H 则 OF-+0（=（）A. OHB.C. EO-D. FO解析：以 F 为坐标原点，FP, FG 所在直线为 x 轴，y 轴建系，假设一个方格长为单位长度，贝 U F(0 , 0) , O(3, 2) , P(5 , 0) , Q(4, 6)，贝 U OF= (2 , - 2) , O(= (1 , 4)，所以 OP+ OQ-= (3 , 2),而 F = (3, 2),故 OP+ 0(= FO-.答案：D2.(2019

2、四川卷)设 i 是虚数单位，贝愎数 i3-2=()A.- iB. 3iC. iD. 3i32解析：i 一厂=i + 2i = i.i答案：C3.已知向量 a= (2 , 1) , b = ( 1 , 2)，且 m= ta + b , n= a kb(t , k R)，贝 U mLn 的充要条件是()A. t + k = 1B. t k = 1C. t k = 1D. t k = 0解析：由已知得m= t(2, 1) +( 1, 2) = (2t 1, t + 2),n = (2, 1) k( 1,2) =(k+ 2 , 1 2k).又mLn ,故mn= 0即(2t 1)(k + 2) + (t

3、 + 2)(1 2k) =0,整理得t k= 0.答案：D4.(2019 长春市质量监测)已知|a| = 1 , |b| = 2 ,且 a 丄(a b),则向量 a 与向量 b的夹角为（）BnB.T解析：Ta 丄(a b) ,. a (a b) =a a b= 0, a b=a,T|a| = 1, |b| =2 ,.cos a, b= 占 =a=上，二向量 a 与向量 b 的夹角为子，故选 B.|a|b|a|b|2、4，答案：B5. (2019 陕西省质量检测)设向量 a，b 满足|a + b| = 20, a b= 4，则|a b| =()A. 2B.23C. 2D. 6解析：/ |a +

4、b| = 20 , a b= 4, |a + b|2 |a b|2= 4a b= 16, |a b| = 2，选 C.答案：C6. (2019 山东卷)若复数 z 满足三 =i，其中 i 为虚数单位，则 z=()A. 1 iB. 1 + iC. 1 iD. 1+ iz解析：T= i， z = i(1 i) = 1+ i， z = 1 i.1 i答案：A7 .设 a, b 是两个非零向量()A. 若 |a+b|=|a|b|，则 abB. 若 a 丄 b,则 |a + b| = |a| |b|C.若|a + b| = |a| |b|，则存有实数 入，使得 a=入 bD. 若存有实数 入，使得 a=

5、入 b,则|a + b| = |a| |b|解析：利用排除法可得选项 C 是准确的.因为|a + b| = |a| |b|，贝 U a, b 共线.且 a 与 b 反向，故 A, B 不准确；选项 D,若存有实数 入，使得 a=入 b, a, b 可为同向的共线向量， 此时显然|a + b| = |a| |b|不成立.答案：C8 .在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM= 1， 点 P 在 AM 上且满足A = 2PMT， 则 PA .( PB+ PC-T)等于()A. y7tC.TD.C.3解析：AP = 2PM ? P 是 AM 的一个三等分点，延长 PM 到 H,使得 M* MP

6、PA （ PB-|AM- |AM-=4AM-2= 93399答案：A9 .在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC = 3CC-，点 O 在线段 CD 上（与点 C, D 不重合），若 ACxAB + （1 x）AC，贝 U x 的取值范围是（）B.0,1解析：/ AO= xAB + AC- xAC ,AAO- AC= x（AB AC），即1CO= xCB= 3xCD. 点 O 在线段 CD 上（不含 C, D 两点），A0 3x1 ,A-x） = PA PH =A.0, |C.12,0D.10. （2019 天津模拟）已知正三角形，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是

7、ACA.|=j 入一二（入 R）.2、2 丿 8）13当入=；时，BC- CF-的最大值为一-.故选 D 项.28答案：D-(1 i )22014解析：原式=(i+i)( i i)1 2i + i2 2 014=22 0142 0144 5032=(i) = i = (i ) i = 1.答案：112.已知 A, B, C 是圆 O x + y = 1 上三点，OAOB-= 0(,贝 U AB OA-解析：由题意知，OACB 为菱形，且/ OAC= 60, AB= 3,厂3/ ABOA=3X1Xcos150 =答案：一 213._已知向量a, b 满足 |a| = 1, |a + b| = Q

8、7,a, b = -3，贝 U |b| =_3解析：由 |a + b|= 7,可得 |a + b|2= a2+ 2a b+ b2= 1 + 2X1X|b| cos + |b|2= 7,所 32以 |b| + |b| 6 = 0,解得 |b| = 2 或 |b| = 3(舍去).答案：214._已知等边厶 ABC 的边长为 3,皿皿是厶 ABC 的外接圆上的动点，贝 U AB AM宀的最大 值为_ .解析：以 3|AM、填空题（每小题 4 分，共 16 分）如图，AB AMT=|AB | AMIcos / BAI= 3|AM | cos / BAM OM 是外接圆今乂3= 3，则当 O / AB

9、且同向时,23三、解答题 （共 4 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤O 的半径，为 3X则 AB AM-T取得最大值.cos / BAM= 3|OM| = 9答案:(1)求 GA-T+GB-T+GO-T；若 PQABO 的重心 G,且 OAT=a, OB-T=b, OP-T=ma, OQ-T=nb,求证:3+3= 3.m n解: GA-T+GB-T=2GM-T,又2GM-T=GO-T,GA+ GB+ GO= GO+ GO= 0.1证明：显然 OMT=2（a + b）.因为 G 是AABO 的重心,2 1所以 OG_r= 3OM-T=3(a + b).由 P, G

10、, Q 三点共线，得 PG-T/GQ-,所以，有且只有一个实数入，使 PG-T=入 GQ-T而 PG-T=OG-TOP-T=3(a + b) ma31 13-ma+3b,15. (10 分)已知向量 m= (cosx , sinx) , n=(1)若mLn,求 |m n|.设 f(x) =m- n,若 f(a)= 5,求f 2a +芋的值.42 2 2解：由 mLn,贝 U m- n= 0,故 |m n| = m+ n 2m-n=1+ 1 = 2,所以 |m n| =2J2(2)f(x)= m- n= -cosx + 三：n 1丄sinx = sin jx + , 由 f(35,故 cosa+

11、 sina=. 5平方后得，si n1 2a218+COsa+2cosasina= 25,所以sin2a3n4sin(2a + n)= sin27a= 25.16. （10 分）已知G 是AABO 的重心，M 是 AB 边的中点.-3a+n-匚3b，所以 3 ma+ 1b =、3 *31 1入|3a+消去入，整理得 3mn= m+ n,故补补+卜 3.n17. （12 分）在厶 ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对边的边长，且 C=,入 c（其中入1）.（1） 若入=.3 时，证明： ABC 为直角三角形；92（2） 若 ACBC-=入，且 c = 3，求 入的值.8解

12、：证明：T入=寸 3, a+ b = 3c,由正弦定理得 si nA + sinB = 3si nC ,nj2nxi39=亍.si nB + si ni 丁 一 B =-,332八十n n亠n2nn亠n从而B+6=亍或B+6= 丁，B=6 或B=y.若 B=6，则心专,ABC为直角三角形;若 B=2, ABC 亦为直角三角形.卄92(2)若 A( BC-=-X2 3,829292则卫 b = * ,ab= 入.384又 a + b = 3 入，由余弦定理知2 2 2a + b c = 2abcosC,即 a2+ b2 ab= c2= 9,即(a + b)2 3ab= 9,279a+ b=sinB +,3213cosB+ 尹 nB = ,訥+討=2,B+18. （12 分）ABC 的三个内角A, B,C 所对a, b, c,向量 m= ( 1,1) , n又因为 a, b 不共线，所以n-cosBcosC, sinBsinC且 ml n.(1)求 A 的大小;(2)现给出下列四个条件：a= 1;b= 2sinB :2c- ( 3+ 1)b