2022年高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅲ卷）

1、2021届高考理科数学模拟预热卷（全国in卷）【满分：150分】- '选择题：本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U = R，集合4 =Arl JLtb-|2x2 -1 > o,B = a|2x-1>0心I，则(aA)c B =()D. r-l, '?2则上）A.2B.1C.&D.2A.71, 75, 71.4, 2403.某校统计了 1200名学生的数学学业水平考试成绩，得到样本频率分布直方图，如图.已知不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则数学成绩的平均分、众数、中位数及成绩优 秀的学生人

2、数分别是（）频率0.04组距B.71, 75, 70, 120C.72, 75, 75, 24D.70, 75, 71.4, 1204.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开 始超过200万元的年份是（）(参考数据：lg 1.12 z 0.05 ,lgl.3«0.11 ,lg2® 0.30 ) 5已知双曲线C:9- y2 = |,。为坐标原点，为C的右焦点、，过F的直线与C的两条渐近 线的交点分别为M,N.若VOMN为直角三角形，则M=（）A.

3、2018 年B.2019 年C.2020 年D.2021 年A.二B.3C.2 忑D.426.已知a =（2,3）力= （-4,7）,则向量a在b方向的投影是（）,A.713B.史ZCD.而557 .在VA8C中,a,"c分别是内角A,B,C的对边，若a = 26cosC,则VA8C的形状是（）。A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形8 .如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的 四个面中面积最小是（）A.2 阴B.2&C.2D.有9 .在VABC 中，若sin（4-B）= 1 + 2cos（8 + C）sin（A

4、+ C）,则 V4BC 的形状一定是（）A.等边三角形B.不含60。角的等腰三角形C.钝角三角形D,直用三角形10 .设 为坐标原点，直线x = a与双曲线C：-旷=>> 的两条渐近线分别交于O二百 13 0,b 0）TZZE两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32已知P是椭圆“:二+ ± = 1上的动点,过点p作圆N:x2+y2 = 1的两条切线分别与圆 16 4N相切于点A,8,直线AB与x轴、y轴分别相交于C,。两点，则VCOO（ O为坐标原点）面积的最小值为（）A.lB.lC._D.124812.已知函数/（x） = lV +

5、 l成+cx的导函数/'（x）是偶函数,若方程/（x）-lnx = 0在62k e上有两个不相等的实数根,则实数c的取值范围是（） eA.-l-1 IB.-l7，一-1 2e22D. 1e2,-1 22二 '填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.x + y> 1,13.若满足约束条件. x + 3 > 3y,则z = x-y的最大值为. x<2y+ 1,（1 Y14.12X-后）的展开式中的常数项为.15 .已知三棱锥户-A8c中，PA = PB = 2PC = 2 , &4BC是边长为曲的正三角形，则三棱锥P-ABC的外接球半径为16 .如图,

6、% 1QO所在的平面48是OO的直径,C是上的一点,AE，尸B于其A 尸 _LPC 于 f,下列四个命题中： 8CJ.面 PAC. AFJ.面 pbc. EFJ.PB； AEJ.面 PBC.其中正确命题的是（请写出所有正确命题的序号）三 ' 解答题：共70分.解答应写出文字说明 '证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题 每个试题考生都必须作答.第22 - 23题为选考题考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. a17. （12分）已知首项为的等比数列a的前项和为S （ e N"）,且-2S,S, 4s成等 2n« VZ234差数列.求数列。“的通项公式

7、;证明:S.+-!-4U(wN*).S, 6 1)18. （12分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了 100人，统计结果整理如表所示.年龄20以下20, 30)30,40)40, 50)50, 60)60, 7070以上使用人数312176420未使用人数003143630现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在30,50）且未使用自由购的概率;从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在50, 60）的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客

8、赠送1个环保购物袋.若某日该超 市预计有5 （）00人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.19. （12分）如图所示,该几何体是由一个直三棱柱AOE-8CF和一个正四棱锥P - A8CQ 组合而成的,AO _L AF, AE = AO = 2 .（1）证明：平面P49J.平面ABFE :求正四棱锥尸-A8c。的高h，使得二面角C-AF-P的余弦值是 丁.20. （12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线C上有一点尸（4,）到焦 点的距离为5.求该抛物线C的方程.已知抛物线上一点M。,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MOJ.ME,判断直线OE是否过定点?并

9、说明理由.f (x)= xln x + - ax (a +1 )x + -a+l(awR) g (x)=/'(x)21. (12分)设函数22,若"T,求函数g(D的单调区间.若函数/(X)有2个零点，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22 - 23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程(10分)x = -2 + cos ,已知在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为,( 为参数).以坐标原(y = 2 + sin点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为(sin - Jijfo

10、s ) = 1.分别求曲线G的普通方程和曲线c2的直角坐标方程.若P,Q分别是曲线G和曲线C2上的动点，求|P0的最小值.23. 选修4-5：不等式选讲(10分)已知存在x e R ,使得+ a -勺2 4, a, h e R*.(I)求a + b的取值范围；(H)证明：a4+b4>32.答案以及解析-'选择题1 .答案：B解析：因为 A= xW-1 >0=(- ,-1)0(1,+ )七所以64 = -1,1.又集合B= x|2x-1 >0=门，+ 所以(64)c3 = C ,故选 B.2 .答案：Bz 1 + i (1 + i)22i|-|解析：由题意，得一 =一

11、=i,则4 = 1.z 1-i (l-i)(l + i) 2z故选B.3 .答案：A解析：平均分为45 x 0.005x10 + 55x 0.05x10 + 65x 0.025x10 + 75x 0.035x10 + 85 x 0.01x10 + 95x 0.01x10 = 71 ，众数为75.前三个小矩形的面积和为(og + sas + ossAiOMO4 ,第四个小矩形的面积为 0.035x10 = 0.35 ,所以中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x,高为0.035,所以O.O35x = O.O5,解得x » 1.4 ,故成绩的中位数为71.4.成绩优秀的学生人数为120&

12、#176;°)x10 = 240故选人,AT> =>x>1.34 .答案：B解析：设经过X年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1 + 12%)'> 200 ,即 因为x取整数，所以取x = 4,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年。故选B.5 .答案：B解析：因为双曲线(一勺=1的渐近线方程为y = x,所以NMON= 60。.不妨设过点F 的直线与渐近线y = 4x交于点M,且NOMN = 90° ,则ZMFO = 60°，又直线MN过点F (2,0),所以直线MN的方程为y =

13、-木(x - 2),由y = x3)'=34所以点M>2的坐标为3,史卜 所以|OM|=赤，所以|MN|=有|OM|=3.故选B.6 .答案：C 解析：根据题意,向量。=(2, 3), b = (-4, 7),则a - 6 = 2 x (-4) + 3 x 7 = 13,而 W=J16+49=屈,则a在办方向上的投影为"必="=产: 叫屈 5故选：Co7 .答案：A解析：在VA8C中,Qa = 26cosC,.由余弦定理可得a = 2。 °-一1，化简可得加=d,即 2ab8 = c，故V ABC为等腰三角形，故选A。8 .答案：C解析：由三视图可知

14、，三棱锥的直观图的示意图如图中的P-A8C,图中正方体的棱长为2.由图知,三棱锥P - ABC的四个面中面积最小是S=：x 2x2 = 2 .故选C.YABC 彳9 .答案:D解析：由题意，利用三角恒等变换公式,化简得sin Acos 3 - cos Asin B= 1 + 2(-cos A) sin B ,BPsin Acos B - cos Asin 8=1-2 cos Asin B，即sin Acos B + cos Asin B = 1 ,得sin( A + 8) = 1 ,即 sin C= 1，所以。=90。，所以V ABC为直角三角形.10 .答案：B解析：由题意知双曲线的渐近线方

15、程为y =x,因为。，E分别为直线x = a与双曲线a。的两条渐近线的交点，所以不妨设0（。，b）, E（a, -b）,所以S=_xax DE=_xax2b = ab = S f 所以/ = /+/?2224/? = 16 ,所以cN4,所以YODE 不彳2c>8 ,所以C的焦距的最小值为8,故选B.11 .答案：D解析：设4（47），8。，幻,尸（&X）.因为PA是圆x? +y=i的切线，且切点为A,所以PA的方程为西x+yy = l .同理，尸B的方程为X2X+y2y = 1 .又因为尸AP8交于点P，所以点 尸的坐标满足切线方程，即X|Xo+yiy（）= 1,均.%+*%=

16、1 ,所以直线48的方程为网x+比丫= 1 .令y = 0,得点C的坐标为，0；令x = 0,得点D的坐标为J。，1 ,所以豆 J kJSvcod= 1|0。|。0|=1_1_.又因为/>（%,方）是椭圆时：工+二=1上的点,所以22 |xoyo|16 4应2口，所以1二42y2叵二=x y （当且仅当俨| = |2 y |时等号成立），所以1 . 1 > 1 x % ,所以VCOO 面2 |xoyo| 2 4 816 416 4N16 7 41 0 o| 1 o| r o|M）了4（当且仅当可| = 2 y 时等号成立）.所以S| 0 o|I o| | o|MCOD积的最小值为.

17、故选D.812 .答案：A解析：*.* f(x) =J_x,+ LbV+cx,；. f'(x) = Ly+bx + c,又 fx)是偶函数,二 b = 0622fx) = 口+ c ,方程八x) - In x= 0在Je上有两个不相等的实数根，即f+c-lnx = 0在2e2Le上有两个不相等的实数根，即111工-1/ =。在1_,可上有两个不相等的实数根，令e2e(xInx-L2,则(x)=lnx-9的图像与直线y = c在1 ©上有两个不同的交点.22e11-x21单调递减,.当xe吐he e'(x) = _-x =当 吐,(X)> 0 , (x)单调递增，

18、当 xe(l,e)时，'(x) < 0, (x)在 e i ii .(x)= (1) = -.又 =-1 - > (e) = 1 - e?,且maxz 、22e22(x) = lnx-L?的图象与直线=。在上上有两个不同的交点.4c<-2.故选2e'、2e2A, 二、填空题13.答案：5解析：作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线z = x-y过点C(9,4)时,z有最大值5.14 .答案：28 解析：J = C；(2x尸 f-； = (T)，2iC"i ,由 8 4 = 0，得 r = 2 ,故所求的常数项为(-1)2=

19、28.15 .答案：亡2解析：由题意可得,PCJ平面ABC,以PC为一条侧棱,ZXABC为底面把三棱锥P-ABC补成一个直三棱柱，则该直三棱柱的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，且该直三棱柱上、下底面的外接圆圆心连线的中点就是球心，底面外接圆的半-1,.三棱锥P-A8C的外接球半径r= 12+口丫=至.故答案为：苴V 2216.答案：解析：*/ PA_LG）O所在的平面，PAA.BC,又是。的直径，AC_LBC,由线面垂直的判定定理，可得BCJ面PAC,故正确；又由AFu平面PAC：.A尸J.8C,结合 AFIPCT F,由线面垂直的判定定理，可得AF1面尸8c，故正确；又；AE_L尸8于E

20、,结合的结论我们易得E尸，平面PAB由P8u平面PA8,可得尸8J.E/,故正确；由的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直，故错误；故答案为：根据已知中，尸4 _L所在的平面是。的直径,C是。上的一点,AE _L PB于E, AF，PC于F,结合线面垂直的判定定理，我们逐一对已知中的四个结论进行判定，即可得到 答案.三' 解答题17.答案：（1）设等比数列也,的公比为q ,因为-21, S, 454成等差数列，所以 S,+ 25, = 4S4-53,BP $4-53=52-54，可得2卬=一。3，于是q=2=-L2又a =3,所以等比数列的通项公式为。=3（。”' =（-

21、1）-''2“ 2 才）1 n11 "2 +/、， s=d）,s + "；、+1=I1刁13y7为奇数,为偶数.当n为奇数时，工+-!-随n的增大而减小，所以S+<5,+ - = -；SnS6当为偶数时,s.+ 随的增大而减小，所以s+-<s,+ SnS? 12故对于f,有S +1<1318.答案：(1)在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3 + 14 = 17 (人)，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率100(2) X所有可能的取值为1, 2, 3.C'C? 1 p

22、(y, 3C3C° 1P(X = 1 =胃上了(X-2 _ q p(x=3 = 42X . 3C6 °所以X的分布列为X123P53515所以X的数学期望为E(X)=bJ +力3+工X 1 =2.555(3)在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3 + 12 + 17 + 6 + 4 + 2 = 44 (人)，_,- 44所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 X 5 000 = 2 200 .10019 .答案：(1)在直三棱柱ADE-BCF中,A8_L平面AOE ,AOu 平面 AOE,所以 AB1AD.又 4。_14尸，48门4/=448<=平面

23、ABFE.AFu 平面 ABFE,所以ADJ,平面ABFE.因为AQu平面P4O,所以平面尸4OJ.平面ABFE.(2)由(1)知40,平面ABFE,如图，以A为原点,AB,AE,AO所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 4(0, 0, 0), F(2, 2,0),C(2, 0. 2),P(1, -h,l),AF=(2, 2, 0),AC=(2, 0, 2), AP = (1,1).设平面AFC的法向量为w = (.r1,y1,z1),r UUD. z/i - AF = 2x. + 2y. = 0, _nI = -i则uun ' 取，则” z (/n AC = 2xx +

24、2z, = 0,所以 m = (1, -1,-1).设平面AFP的法向量为n = (x2,y2,z2),r ULU则卜出=劣+2%=。, 取 x=l,则 y =-l,z = 一1 一 h ,n - AP = x2 - hy2 + z2 = 0,所以 n = (1, 1, 1 h).因为二面角C-AF-P的余弦值为 3所以 | cos<m, n) |=所川=|1 + 1 + 1 + 力| = 2,I 21" I 招 x + (/i+ I1 3 '解得6=1或=3(舍)， 5所以正四棱锥P-ABC。的高h=l .20 .答案：(1)由题意可设抛物线C的方程为炉= 2px(p

25、>0), 其准线方程为xT.2Q点P (44)到焦点的距离等于其到其准线的距离，4+£ = 5,二 p = 2.抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2由可得点例(4,4),且直线OE的斜率不为。,设直线DE的方程为x = my+n.联立? 。+ 得、2一4my - 4 = 0，则 = 16/n2+ 16 > 0 . 1 y2= 4x,设。(%,丁1)七(4,力)则 y +” = 4m,yiy2 =-4n .Q MD - ME = (xi - 4, yi - 4)-(X2 - 4,以 一 4)=%,%2-4( +x2)+16+72-4( +y2 )+16"(y2

26、y2=6二 4| |+16 + yy -4(y +y )+ 164 41 44)1 212(y y 7,=r -(y + y ) + 3y y - 4(y + y )+ 3216121 212=n2- 16/n2- 12/? - 16"? + 32 = 0 ,即 2一 12 4- 32 = 16+ 16”?,得 5-6)2=4(2机+ 1)1n-6 = ±2(2加 + 1),即九=4"i + 8 或 n - -4m + 4 ,代入式检验知 =4m+ 8满足>()恒成立，直线 DE 的方程为 x = my + 4/n 4- 8 = m (y + 4)+ 8 .

27、直线DE过定点(8,-4)./(x)= x In x4- ax1 - (a+l. + Ja+l21.答案：(1)因为函数22所以/(x)的定义域为(。，+8),/r(x)= In x +1 + ax- a-l =nx + ax - a 又 g(x)=7'(x),所以 g(x)=lnx + or_gr(x)=-l若"-1,则 g(x)=lnx-x + l,所以 x x令g'G)>0,得0<x<l,即当0<x<时，函数gG)单调递增.令g'G)<°,得工>1 ,即当工>1时，函数8(力单调递减.综上可知，函

28、数g(x)的单调增区间为(°,)，单调减区间为(1，+8).，/ 11+ av/、g (x)= 一 + a =/、(2)因为 g(x)=gx + ”_x x , g(l)=O + a_a = Oa ,所以又g(x)=rG),所以/,(1)=0B麟当"20时，g'(x)>。，所以函数g(D在(°，+ 8)上单调递增.当xw(0/)时，g(x)<。，所以函数/(x)在(0/)上单调递减；当xe(L + 8)时，g(x)>0,所以函数/G)在(L + 8)上单调递增即当x=l时，取得最小值，为22.所以当时，函数/G)只有一个零点，所以。2&#

29、176;不满足题意.1 ,“、 1+ara<- <g (x)=当 a ，即时，x .g'(x)>00<x<-g'(x)<0x>-令 ，得 J令 ，得 Jg I 。万所以函数在上单调递增，在11上单调递减.* 0, - )又g(>。,所以11叱使g(G=°所以函数/(“)在©x)上单调递减，在a#上单调递增，在(+ 00)上单调递减. iI作出函数/(X)的示意图，如图.图(1)要使函数/(X)有两个零点，则当x趋近于0时，/(力> 0 , a +1 > 0即5,解得。>一2 .所以。的取值范围

30、为(2，-1).=1g'(x)=U当a ,即a = -l时，x .令GA。，得0<x< 1 ,令 g'(x)<。,得 x> 1所以函数g(x)在QD上单调递增，在(L+8)上单调递减，所以g (x)4 g (1)=0 ,所以函数f(x)在(0, + 8)上单调递减.又/。）=°,所以当"=-1时，函数,（X）只有一个零点，所以” =T不满足题意.1 ,/、 1+ or_>g(x)=当a ,即一l<a<0时，x .g，(x)> 00 < x < -1g'(x)< 0 x > -令，得 。；令，得 Jg（x）所以函数 在I 1上单调递增，在1 4J上单调递减.a ( 1 、g(l)=0 X2G ' +0°|g(x)=0因为 ，所以 I 人使 2所以函数/G）在（°）上单调递减，在（1，与）上单调递增，在（W-x）上单调递减.作出函数/（）的示意图，如图（2）.图（2）又/=。，所以由图像可知,外2,使得/（x）=°.所以当时，函数外力有2个零点.综上可知，当ae（-2,T）u（-l,0）时，函数/（月有两个零点.22.答案：（1）因为曲线C的参数方程为x =