2022年高考数学冲刺讲义专题 3 .7 椭圆的综合问题

1、专题3.7 椭圆的综合问题I.与直线与椭圆有关的解答题的求解策略：(1)求解此类问题，时常把两个曲线的方程联立，消去X (或丁)建立一元二次方程，然 后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情 形.有时若直线过x轴上的一点，可将宜线设成横截式.2.求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关：(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值.【预测题1】已知椭圆C： =长轴的顶点与双曲线O：二一与=1实a2 b2 y 74 b2轴

2、的顶点相同，且。的右焦点F到D的渐近线的距离为卫.7(1)求。与O的方程;(2)若直线/的倾斜角是直线y =(后一2)x的倾斜角的2倍，且/经过点/与。交于A ,B两点,与。交于M，【预测题2】在圆f + y2=4上任取一点T,过点7作x轴的垂线段77), O为垂足，点尸 为线段的中点.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)斜率为A伏0)且不过原点。的直线/交曲线C于A, B两点，线段AB的中点为七，射线OE交曲线C于点M,交直线x = 6于点N,且求点”(0,1)到直线/的距离d的最大值.【预测题3已知椭圆C:0 + 4 = l（a8O）的左，右焦点分别为尸F2,过耳的直 a b-线/与椭圆。

3、交于M, N两点，圆。是AMN用的内切圆.当直线/的倾斜角为45。时，直线/与椭圆c交于点（一3，-；.（1）求椭圆。的方程；（2）求圆P周长的最大值.【预测题4J2022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度 结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留 下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其 中“冰丝带呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体 现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数 包括曲率、挠率、面积体积等对

4、几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过 辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积 公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家 祖冲之、祖眶父子在缀术提出祖眶原理：基势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的 体积推导出球的体积公式原理的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面 积相等，则这两个几何体的体积相等.（1）利用祖胞原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M , 几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面a内.设与平面a平行 且距离为d的平面。截两个几何体得

5、到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明;y1X（2）现将椭圆+ a-=1 （a。 0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A , B （如图），类比（1）中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A ,B的体枳之比.【预测题5已知椭圆。：=+斗=1（。人 0）的右焦点厂恰为抛物线E:y2=4x的焦点, P X。，半）是椭圆C与抛物线E的一个公共点.（1）求椭圆。的方程；（2）过点/且不与x轴平行的直线/交椭圆C于A、8两点，线段AB的中垂线分别交小ABy轴于M、N两点，求而的取值范围.x F2【预测题6】已知椭圆C: 一 +/=1（。 0）的

6、左、右顶点分别是点A , B ,直线/ ： X =与椭圆。相交于D，E两个不同点，直线OA与直线的斜率之积为-,，A3。的面 4积为逑. 3（1）求椭圆C的标准方程：（2）若点P是直线l.x =:的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为。, 过P作的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值，若存在， 请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【预测题7】已知椭圆: +1=1（。60）,其短轴长为2百，离心率为4,双曲 22线。2：- = 1（，0，0 ）的渐近线为y =离心率为02，且巧-02=1.p q（1）求椭圆G的方程；（2）设椭圆G的右焦点为F，动直线/

7、 （/不垂直于坐标轴）交椭圆G于M，N不同两 点，设直线网口和FN的斜率为占，k,若勺=一内,试探究该动直线/是否过X轴上的 定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.22【预测题8】已知椭圆: = +当=1（。0）的左、右焦点分别为E，K，P是椭圆E上 7 b3的一动点，且卢周的最小值是1,当尸耳垂直长轴时，俨用=5.（1）求椭圆E的方程;（2）是否存在斜率为-1的直线/与以线段耳鸟为直径的圆相交于两点，与椭圆E相交于C、。两点，E.CD-AB24上丑七” 匚若存在,求出直线/的方程；若不存在，说明理由.【预测题9已知点P到M(6,0)的距离与它到直线/ ： * =竽的距离之比为好(1)求

8、点P的轨迹E的方程;(2)若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点。(-3,8)的直线/与轨迹交于8,C两点,求证：直线AS, AC的斜率之和为定值.22【预测题I。】已知椭圆E: z- + -z- a2 b2= l(ab0)的长轴长为4,离心率为自(1)求椭圆E的方程: (2)点，K分别为椭圆E的左、右焦点，若过点工的直线交椭圆于A, B两点,过点”的直线交椭圆E于C, O两点，且A8_LC。，求|的+ |CD|的最小值.【预测题11】已知椭圆C：x2(ah0),长轴为4,不过坐标原点。且不平行于坐标轴的直线/与椭圆。有两个交点A , B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为

9、定值4(1)求椭圆C的方程； (2)若直线/过右焦点K，问y轴上是否存在点。，使得三角形也为正三角形，若存 在，求出点。坐标，若不存在，请说明理由.22预测题12如图，分别过椭圆E: * +方=1 (ab0)左、右焦点6、鸟的动直线4、 4相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、。不同四点，直线OA、OB、OC、OD 的斜率占、原、勺满足匕+& =& +勺.已知当4与x轴重合时，|AB| = 26,(1)求椭圆E的方程;是否存在定点M、N,使得|PM| + |/W为定值？若存在，求出M、N点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由.【预测题13已知椭圆M: + CLy2= l(ab0)的左、右顶点

10、分别为A8,上、下顶点分别为C,。，右焦点为F，离心率为其中4|必|=|/咕gCOF(1)求椭圆的标准方程;(2)设Q是椭圆”上异于A8的任意一点，过点。且与椭圆M相切的直线与x = 一。,x = a分别交于S,T两点，以ST为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标：如果 不存在，请说明理由.【预测题14已知椭圆E：= + 4=l(ab0)的右焦点为F(c, 0),圆。：/+六/，过点a2 b-F与x轴垂直的宜线在第一象限交圆与椭圆分别于点A, B,且|4月=忘|8月，点P 1,手 I 2 在椭圆上.(1)求椭圆E的方程；(2)过点尸且斜率为2的直线/与E交于C。两点，。的中点为M,直线0M与椭圆 有一个交点为M 若丽=；而，求AMNF的面积.【预测题15已知椭圆M：=1 (afe0)过4 (-2, 0), B (0, 1)两点.(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆”的右顶点为C,点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与 直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S,求证：直线S。过定点.v-2 v2?【预测