(完整版)高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题

1、话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在AtT0的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。A对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在处理曲线运

2、动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点A与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A点的曲率圆。二、曲线上某点曲率半径的定义v2在向心加速度公式a二中p为曲线上该点的曲率半径。np圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对p意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率k是用来描述曲线弯1曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径P越小，且P=。这就是说，

3、曲k线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、从向心加速度a的定义式a二出发。nnpv2将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v和法向加速度a，再利用a二-nnp求出该点的曲率半径P。14例1、将lkg的小球从A点以10m/s的初速度水平抛出,设重力加速度g=10m/s2，求：(1) 在抛出点的曲率半径；(2) 抛出后ls时的曲率半径。解析：(1)初时在A点向心加速度a二g二10m/s2,方向竖直向下，所以小球在曲线上An点的曲率半径p人二10m(2)如图，抛出后1s时到达B点，切向速度v=10'2m/s，a=450.向心加速度a=gc

4、os45。=5、；'2m/s2n小球在B点的曲率半径p=20迈mB2、已知曲线y=f(x)，由p=(1+：2)2可得某点曲率半径。证明：对于任意曲线y=f(x)，均可理解为x方向的匀速直线运动及y方向的变速运动的叠加。d2yd2ydx2a=-=y-v2ydt2dx2dt20v=vx0dydydx.V=-=y-vydtdxdt0如图，速度V沿切向，v=V2+V2=(1+y2)2Vxyay小+tan2a(1+y，2)；a=acosa=nyp=V2v2(1+y'2)fl=(1+y'2)2a、，“v2Yny''y(1+y，2)2例2、筑路工人把从山上挖出来的土石

5、，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为v2P=an(1+(F)2)2a2a在原点O，x=0，所以p=2a。v2而此时F-mg=m，P所以F=2mg。2a3、矢量分解法求椭圆兰+書=1的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短a2b2v2A点，则该点的向心加速度a=(1)APA对A在M1平面上的投影A】点，其线速度为V，向心加速度J为3沿M1平面方向分量，(2)av2v2a2比较(1)、(2)两式可得=,P=同理，对B点及其投影B点有b2PAb1AX2二4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量m的质点。求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。解析：如图所

6、示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原点O、开口向上的抛物线。箩筐自x二2a处自由滑至抛物线顶点时速度大小v=J2ga，方向沿-x方向。v2ab=aB1抛物线x2=4ay上任意点的曲率半径a2即p=-Bb4、构造运动法构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。x2y2如图所示为椭圆a2+右=1'求椭圆上“两点处的曲率半径。xx2y2解：椭圆+=1,可以看成是两个函数的合成。a2b2x=acoswt,y=bsin&t即可进一步写出x,y两个方向的速度v和加速度a则v=-wasinwt,xv=wbcoswtya=-w2acoswt,xa=-w2bsinwty在A(a,0)处wt=00

7、，v=wb，ya=-w2a,x求得A处的曲率半径为Pa=b2兀在B(0,b)处wt=，v=-wa，2xa=-w2b,y求得B处的曲率半径为Pb=V2xaya2=b5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径例3、地球m绕太阳M(固定)作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有1 Mm1Mmmv2一G=mv2一G(1)2 iA-C22A+C根据开普勒第二定律有V(A-C)=V(A+C)(2)12式中C=：A2-B2由（1）式解得VbAA+C'GMA+x：A2B2GMA-、A

8、2B2而Amv2Mm由万有引力提供向心力得一=GP（AC）21mv2Mm2=GP(A+C)22(4)(3)B2解得P1=对顶点3，由机械能守恒得2mv2GMm=1mv223B21MmGAC将U1代入得v3二GMA2同样可得P3=万例4、已知抛物线y二2px2（p>0），求其任意一点的曲率半径。解、设有图甲所示抛物线y二2px2（p>0）,为求其上某点例如（彳,p）点处的曲率半径，可设想一质点以速度v0做平抛运动,平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向自由落体运动的合成，设运动t时间质点水平位移s，竖直下落高度h，则消去t，1h=gt22加速度为g，该点曲率半径以P表示，向心加速

9、度是g的分量且有cos0=vv2+2gh0v2+2ghp=0g-V2+2gh(12h)3=p(1+)2p2gV2(l+_Ah)20v2=0ggcos0=P根据运动的合成，式中v2=v2+2gh0则有将变量s、h对应于y,x.则抛物线上各点的曲率半径为R=1=p(1+丝)2kp将x=2代入，指定点曲率半径为2、辺p.例5、旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径P处处相同。试用运动学方法求解P值。解、设物体以V做匀速率的圆周运动、同时以V沿垂直于V方向做匀0h02兀rh速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有=，vv0h尽管螺旋线是一条三维空间的曲线，但可以利用与二维平面曲率半径相类似

10、的原则来确定螺旋线的曲率半径。因为在三维曲线上取一小线元，当线元趋于零时，必将趋于同一平面上的小圆弧，对应的圆弧半径就是在该处的曲率半径。由此可写出法向加速度。由于速率v不变，无切向加速度。设曲率半径为P，则有则由此两式可得h2p=（1+）r。4兀2r2例6、一个刚性圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆轮边缘上一点经历的轨迹称为滚线（又称旋轮线、摆线）。所谓纯滚动就是圆轮与直线轨道的接触点无相对运动。设圆轮半径为R。y（1）试写出滚线的轨道方程（利用滚过的角度P作为参量，如图所示）（2）试求滚线上各点的曲率半径（用物理方法）。解、（1）如图所示，设P点在直线轨道的O点开始，随着圆轮向右滚动，P点将在滚

11、动平面内经历一条轨迹。建立坐标Oxy。由图容易得到任一位置（以滚动角度9表示）时，P点的坐标（x,y）分别为x=OA-PB=R（申一sin申）y=OA-OB=R（1-cos申）这就是参数为9的滚线轨道方程。（2）滚线的形状与圆轮滚动快慢无关。但为了用物理方法给出曲线上各点的曲率半径，我们选择一种圆轮滚动的方式，然后由此运动算出圆轮上P点的速度和法向加速度，最后求出曲率半径。设圆轮滚动时，圆心O'以不变的速度v0沿直线轨道向右运动，同时圆轮绕圆心O'以不变的角速度®转动，为保证圆轮在直线上作纯滚动，应有关系式v=R®0设圆轮滚动9角时P点在图示位置，P点瞬时速

12、度为v99v=AP=-o-2Rsin=2vsinpR202其方向必沿滚线在P点的切线方向。P点的加速度为AvA(v+v')Av'a=p=pPAtAtAt此处已利用v0是常量，轮心作匀速运动。vP是P点相对0点的相对速度。此式说明，由于牵连加速度为零，绝对加速度等于相对加速度。且方向由p指向0'。因此，p点的法向加速度为(ap)nsin(2)=(2)这里P点处曲线的法向为AP方向。由式和，得P点曲率半径为解、石块上升的最大高度由初速度的竖直分速度决定H求鸟飞到高度T处的加速度。这就是各申处曲线的曲率半径。几个特殊点的曲率半径：P=0（0）P=2迈R（2）P=4R（曲线的最

13、高点）（兀）例7、与水平方向成角-以初速度vo抛出石块'石块沿某一轨迹运动，H为石块上升的最大高度，如果一只鸟以大小恒定的速度vo也沿这轨迹飞行,空气阻力不计。TTv2sin2aH=02gH根据机械能守恒定律可求出石块在于高度处的速度V1 H1mv2+mg-=mv22 220sin2av2=v2(1-)02速度v与水平线的倾角9(如图)由下式得出vvcosaCOS9水平=0vv式中v水平是石块的水平速度。因而cos9二cosa垂直运动轨迹方向盘上的石块分加速度等于v2=gcos9PH式中P是在高度处轨迹的曲率半径，它等于v2P=一gcos9由此可知鸟在这点的加速度为v2v2gcos9a=0Pv2cosa(1sin2a23)2例8、一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为y22x，式中X,y单位为米。有一质点从起始位置(2,2)无初速度地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。(D式中含9和r两个变量，须一一解出。先用物理方法求曲率半径r。设某质点自原点O沿抛物线向(2,2)位置运动(如图)，其在y轴分运动为匀速运动，速度设为v，则在y轴上运动方程为y二vt。由y2二2x可得质点001在x轴分运动为x=v2t2