倒立摆课程设计报告

1、倒立摆课程设计报告班级：姓名：学号：同组人：目录第一章：倒立摆系统研究背景概述2第二章：系统分析3第三章：控制系统基本方法仿真与实验73.1 PID算法仿真与控制系统设计：73.1.1 概述：73.1.2 实验设计：83.1.3 参数调试及仿真：83.1.4 输出实时控制：103.2 LQR算法仿真与控制系统设计：123.2.1 概述：123.2.2 实验设计:133.2.3 参数调试及仿真:133.2.4 输出实时控制:153.3 频率法仿真与控制系统设计：163.3.1 概述：163.3.2 实验设计及仿真:163.3.3 输出实时控制:21第四章：自选控制方法一模糊控制设计224.1 模

2、糊控制原理概述：224.2 倒立摆模糊控制器的设计、调试及仿真：244.2.1 设计思想及模糊控制规则的建立：244.2.2 模糊控制系统的建立与调试：29第五章：结束语33附录：错误！未定义书签。第一章：倒立摆系统研究背景概述倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、强耦合的非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题，稳定性问题、随动问题以及跟踪问题等。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们

3、试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力。同时，其控制方法在军工、航天机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。现在由中国的北京师范大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一

4、个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值（或只有角度），计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖

5、直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。第二章：系统分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输

6、出，应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。图2-1小车的物理模型如图2-1所示，我们不妨做以下假设：M小车质量M摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的

7、长度I摆杆惯量F加在小车上的力X小车位置小摆杆与垂直向上方向的夹角9摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所小，图小方向为矢量正方向friricr图2-2【实际系统的模型参数如下】小车质量1.096Kg摆杆质量0.109Kg小车摩擦系数0.1N/m/sec摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m摆杆惯量0.0034kg*m*m建模的具体过程我们采用手写完成。第三章：控制系统基本方法仿真与实验3.1 PID算法

8、仿真与控制系统设计:3.1.1 概述:PID控制由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。它由于用途广泛、使用灵活，已有系列化产品，使用中只需设定三个参数（Kp,Ki和Kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。rink图3-1-1模才PPID控制系统原理框图PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值rin（t）与实际输出值yout(t)构成控制偏差error(t)=rin(t)-yout(t)PID的控制规律为:小1JTDderror(t)u(t)=kperror(t)+(error(t)dt+U(s)E(s)也可以写

9、成传递函数的形式1=kp(1Tds)s其中，kp一比例系数，Ti一积分时间常数；Td微分时间常数。简单的说来，PID控制器各校正环节的作用如下：比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号error（t）,偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数T1,T1越大，积分作用越弱，反之越强。盟解盖傍盼舔吃哪蕾时加吗螂皆产吗那”号变的丛用加K系统的动作速Scopel太大之前，在系统中引入一个（效的早期修正或号度，减少调节时间。GoogolLinear1-StageInvertedPendulumPIDControlSi

10、mulink图3-1-2图3-1-33.1.3 参数调试及仿真：我们首先按照传统PID参数整定方法调整参数的，骤是先让Ki、Kd为0,只调整Kp,使系统等幅震荡，然后根据等幅震荡的周期确定微分时间常数和积分时间常数，再做些微调。这种方法在过程控制调节水箱时很有效。结果如下：Kp=40Ki=0Kd=0系统等幅震荡如图3-1-4所示，但按临界比例度法整定参数并不理想，先比例，后积分的方法无论如何不能消除振荡，如图3-1-5。改变方法保持Kp调整Kd直到系统余差达到要求的范围内并达到尽量的小，并且上升时间至少小于要求调整时间的一半，之后开始调整Ki消除余差并且使系统达到要求。图3-1-4图3-1-5

11、Kp=40Ki=0Kd=15系统最终稳定但有余差，我们下一步开始调整Ki,逐渐增大Ki,当Kp=40Ki=25Kd=15系统控制效果好，超调大约34%稳定时间4.4秒，无余差，符合要求，如图3-1-7，但是这种控制方法是无法控制小车的位置的，如图3-1-8图3-1-7图3-1-83.1.4 输出实时控制：在固高公司的实验仪器的模块内输入调整好的参数，倒立摆稳定立起来，实时控制曲线如图3-1-9,上面是位移实时曲线，由于该系统不能控制位移，故需要在小车靠近导轨边缘时用手轻轻碰一下摆杆，下面是角度实时曲线，手碰摆杆可以看作是对系统施加扰动，角度实时曲线和摆杆的实际情况均可看出系统抗扰动性能良好。图

12、3-1-93.2 LQR算法仿真与控制系统设计:3.2.1 概述：线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为：X(t)=Ax(t)Bu(t)y(t)-Cx(t)Du(t)找一状态反馈控制律：u=-&，使得二次型性能指标最小化：1 T1tfT-tJxT(tf)Sx(tf)-xT(t)Q(t)x(t)utR(t)u(t)dt2 2t0其中，MD为系统的状态变量；tf、t0为起始时间与终止时间；T对于最优反馈系数矩阵K-RBP，使用Matlab中专门的求解工具lqr()来求取K0代码如下：clear;A=0100;0000;0001;0029

13、.40;B=0103;C=1000;0010;D=00;为终态约束矩阵；Q为运动约束矩阵；R为约束控制矩阵。其中Q、R决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：u*(t)-RBTP(t)x(t)式中，矩阵P为微分Riccatti方程：P(t)=-P(t)A-ATP+P(t)BRBTP(t)-Q的解。如果令终止时间廿=0,P为一个常数矩阵，且P=0,因此以上的一、-T_，、-1_T_，、一一Riccatti方程简化为-PA-AP。)+P(t)BRQ11=XX;P(t)=0。Q33=xx；Q=Q?To00;0000;00Q330;0000;R=1;K=l

14、qr(A,B,Q,R)得到计算得到的K=XXXXXXXX把K矩阵的值代入到下面的LQR控制仿真系统中即可以得到系统的的响应情况。调试时取R=1,下面就是确定Q11和Q33的值，其中Q11代表小车位置的权重，Q33代表摆杆角度的权重。3.2.2 实验设计：实验具体设计如下，图3-2-1为系统原理图：GoogolLinear1-StageInvertedPendulumLQRControlSimutinkLQRCsrL：ll&r图3-2-1图中的输入是位置的一个阶跃。3.2.3 参数调试及仿真：取Q11=10Q33=10,如图3-2-2可知超调量较小但稳定时间过长。可以使增强二者的控制作用，取Q1

15、1=1000Q33=1000稳定时间大大缩短大约2.2秒,但超调量大增约为60%如图3-2-3。图3-2-3适当减小角度的权重，取Q11=1000Q33=20硼整时间缩短到了1.8秒但超调继续增大，超过了100%,如图3-2-4。综合以上调试过程可知该系统可以同时控制角度和位移，但是角度的控制效果比只控制角度的控制器略差。该控制器比较容易实现对倒立摆的控制，对Q11和Q33的取值不是很敏感，参数的选取可以根据实际情况进行权衡。3.2.4输出实时控制:在固高公司的实验仪器的模块内输入调整好的参数，倒立摆稳定立起来，实时控制曲线如图3-2-5,上面是位移实时曲线，下面是角度实时曲线，小车可以左右移

16、动不碰到导轨边缘。图3-2-53.3频率法仿真与控制系统设计:3.3.1 概述：系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当从0变化到无穷大时向量G(j)的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。3.3.2 实验设计及仿真：实验具体设计如下，图3

17、-3-1为系统原理图：GoogolLinear1*StageInvertedPendulumFrequencyResponseControlSimulink图3-3-1本次频率法设计基于系统的Bode图，可以精确设计系统的性能指标。但涉及大量计算，因此采用手写完成，下面附上手写设计需要用到的图和代码。-nBodeDiagram图3-3-2ooo。o山oQzz争4&-11.mp)&nlEEEs101010Frequency(rad/sec)图3-3-3(mp)号一匚号至9 斤(X1t&MMand(x2isMM)then(outputliaMBHO10If(x1isMMand(x2isMS)the

18、n(autputlisIfandx1ism2isFISName:HytfuzzyFileEditViewOptionsX(input):x1Yinput):x2ZCautput):DutputlXgrids:15YgridsIEEvaluate1RE.Input二Plot:points:101HelpChose图4-9Openedsystemlytfuzzy,49rulesHelp4.2.2模糊控制系统的建立与调试：根据参考文献初步建立的系统框图如图4-11:图4-11其中支路是角度信号，支路是角速度信号，将它们一同输入模糊控制器，把输出信号进行放大后作用于用状态空间表示的控制对象（倒立摆），

19、示波器观察控制效果；进行反馈与输入进行比较。这种系统设计看上去符合原理，但在调试过程中无法得到满意结果，反复查找原因并参考相关文献后发现原因是信号处理混乱，状态空间方程有四个变量，而我们却把四路信号当成一路使用，还一厢情愿的以为她是角度信号。因此对框图进行改进，如图4-12所示：Saturation环节用于限幅防止信号超过论域。而Gain3使用一个2*4的矩阵K乘以输出信号的4*1矩阵以提取角度和角速度，根据第二章，K=0010;0001,输出信号为状态变量xdx4d（|）,相乘正好得到二路信号（|）d（|）;但是调试过程依然无法得到满意结果，最好结果就是一个等幅振荡，如图4-13:图4-13其实根据以上分析已经可以找到原因，我们的反馈信号已经是角度和角速度，但我们却对角速度又进行了一次求导，等于我们的控制变量是角度和角加速度，就是这样一个疏忽让我们纠结了好久。改进这个bug后我们的最终版本成型，如图4-14所示：ConstantSiiniain-2SsLuraliilC5sln3图4-14去