10_1二重积分概念ppt课件

1、第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 二、二重积分的性质二、二重积分的性质 第一节一、二重积分的概念一、二重积分的概念二重积分的概念与性质 第十章 让我们先来讨论曲顶柱体的体积。让我们先来讨论曲顶柱体的体积。设设 D 为一个平面区域为一个平面区域, f (x, y)是定义在是定义在 D 上的一个非负二元函数。上的一个非负二元函数。考察以曲面考察以曲面 z f (x, y)为顶为顶, 以以Oxy 平面上区域平面上区域 D 为底的空间区为底的空间区域域,其侧面是以其侧面是以 D 的边界为准线的边界为准线, 母线平行于母

2、线平行于z 轴的柱面。轴的柱面。姑且称这个区域为曲顶柱体。姑且称这个区域为曲顶柱体。xyzODz f (x, y)一、二重积分的概念一、二重积分的概念 我们仿照定义曲边梯形面积的方法来定义曲顶柱体的体积我们仿照定义曲边梯形面积的方法来定义曲顶柱体的体积, 采用采用“分割、求和、取极限的方法分割、求和、取极限的方法, 如下动画演示如下动画演示xyzODz f (x, y)i 曲顶柱体的体积求法曲顶柱体的体积求法: 曲顶曲顶 S: z f (x, y)(1) 化整为零化整为零, 任意分割区域任意分割区域 D(2) 以平代曲以平代曲:(3) 积零为整积零为整:(4) 取极限取极限, 令分法无限变细令

3、分法无限变细iiiifV),(niiiifV1),(niiiifV1),(lim1. 定义定义: 设设 f (x, y) 是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D 上的二元有界函数上的二元有界函数, 将区域将区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域: Ds 1， Ds 2， ， Dsn 其中其中 Dsi 表示第表示第 i 个小区域个小区域, 也表示它的面积。也表示它的面积。 在在 Dsi 上任取一点上任取一点 (x i , h i), 作积分和作积分和: 当各小区域的直径中的最大值当各小区域的直径中的最大值 d maxdi 趋于零时趋于零时, 如果积分和的极限存在如果积分和的极限存

4、在, 且与小区域的分割及点且与小区域的分割及点 (xi , hi) 的选取无关的选取无关, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y) 在区域在区域D上的二重积分上的二重积分, 记作记作: 即即:niiiif1,Ddyxf,niiiidDfdyxf10,lim,二重积分各二重积分各部分名称部分名称D积分号积分号积分区域积分区域dyxf,被积函数被积函数面积元素面积元素对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中在二重积分的定义中, 对闭区域对闭区域 D 的划分是任意的的划分是任意的,(2) 二重积分值仅与二重积分值仅与 f (x, y) 及区域及区域 D 有关

5、有关, 与积分变量符号无关与积分变量符号无关, 即即:(3) 当当 f (x, y) 在闭区域在闭区域 D 上连续时上连续时, 定义中和式的极限必存在定义中和式的极限必存在, 即二重积分必存在即二重积分必存在.DDdvufdyxf),(),(2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当被积函数大于零时当被积函数大于零时, 二重积分是柱体的体积二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时当被积函数小于零时, 二重积分是柱体的体积的负值。二重积分是柱体的体积的负值。xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 3. 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划

6、分如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域。其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域设矩形闭区域 s i 的边长为的边长为 xi 和和yi , 那么那么 s i xi yi ,其中其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。叫做直角坐标系中的面积元素。xyzODDDdxdyyxfdyxf,s ixiyi因此在直角坐标系中因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素有时也把面积元素 ds 记作记作 dxdy, 故二重积分可写为故二重积分可写为:性质性质1: 常数因子可提到积分号外面。即常数

7、因子可提到积分号外面。即:性质性质2: 函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和。即函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和。即:性质性质3 (可加性可加性): 如果积分区域如果积分区域 D 划分为两个区域划分为两个区域 D1与与 D2, 那那么么:DDdyxfkdyxfk,DDDdyxgdyxfdyxgyxf,21,DDDdyxfdyxfdyxfDxyzOD1D2二、二重积分的性质二、二重积分的性质性质性质4: 如果在区域如果在区域 D 上总有上总有, f (x, y) g(x, y), 那么那么: 特别有特别有:性质性质5: 如果在区域如果在区域 D上有上有 f (x, y) 1, A是是

8、D 的面积的面积, 那么那么:性质性质6: 设设 M 与与m 分别是分别是 f (x, y) 在区域在区域 D上的最大值与最小值上的最大值与最小值, A 是是 D 的面积的面积, 那么那么:DDdyxgdyxf,AdD1MAdyxfmAD,DDdyxfdyxf,例例1: 比较积分比较积分 与与 的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为 (1, 0), (1, 1), (2, 0) 。解：解：Ddyx)ln(Ddyx2)ln(三角形斜边方程为三角形斜边方程为 x y 2, 在在 D 内有内有 1 x y 2 e,故故 0 ln ( x y ) 1于是于是

9、因而因而, 由性质由性质4 知知:2)ln()ln(yxyxDDdyxdyx2)ln()ln(xyo1221D2 yx1 yx例例2: 不作计算不作计算, 估计积分估计积分 的值的值, 其中其中D是椭圆闭区域是椭圆闭区域: 。解：解：deIDyx)(22区域区域 D 的椭圆面积的椭圆面积 s abp在在 D上上 0 x 2 y 2 a2因而因而由性质由性质6 知知即即22201ayxeee222)(aDyxeabdeab)0(12222abbyax222)(aDyxede12222byaxoxyab222ayx性质性质7 (二重积分的中值定理二重积分的中值定理): 假如假如 f (x, y)在闭区域在闭区域D 上连续上连续, A是是D 的面积的面积, 则在则在 D 内至少存在一点内至少存在一点(, ), 使得使得该定理的几何意义为该定理的几何意义为:在区域在区域 D上以曲