第7章 非线性系统

1、第7章 非线性系统 非线性系统 7.1 非线性系统概述 7.2 非线性系统的描述函数分析法 7.3 非线性系统的相平面分析法 7.4 改善非线性系统性能的措施 7.5 基于基于Simulink的非线性系统分析的非线性系统分析 小结7.1 非线性系统概述 非线性系统的特征 非线性系统的分析与设计方法 常见非线性特性及其对系统运动的影响一、非线性系统的特征 当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。.稳定性分析复杂 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，即只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外作用没有关系。 如果系统中的一个运动，即系统方程在一定外作

2、用和初始条件下的解是稳定的，那么线性系统中可能的全部运动都是稳定的，所以我们可以说某个线性系统是稳定的或是不稳定的。.可能出现自激振荡 所谓自激振荡，是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。 必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必须设法抑制它。.频率响应复杂 线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于的高次谐波分量。 有些系统当输入信号的频率由小到大和由大到小变化时，其幅

3、频的数值不完全相同，并有突跳式的不连续现象，即所谓跳跃谐振和多值响应。二、非线性系统的分析与设计方法.相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。相平面法适用于分析一、二阶线性或非线性系统。.描述函数法 描述函数法一种图解分析法，是一种工程近似方法。该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡.李亚普诺夫第二法.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的一个发

4、展方向。三、常见非线性特性及其对系统运动的影响 死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区所造成的。死区特性如图-所示。 死区特性对系统产生的主要影响有： （）使系统存在稳态误差 系统受死区的影响，导致输出在时间上的滞后，降低了系统的跟踪精度；而在另一方面，在系统动态过程的稳态值附近，当系统输入端存在小扰动信号时，死区的作用可减小扰动信号的影响。 （）对系统动态性能影响的利弊由具体系统的结构和参数确定 例如，对某些系统死区的存在，会使系统动态过程超调量较大，甚至导致其产生自激振荡；而对另一些系统死区的存在会抑制其振荡，降低系统的超调量。 2.饱和（限幅）特性放大器及执行机构受电源电

5、压或功率的限制导致了饱和现象，饱和特性如图-所示。 3.间隙（滞环）特性.继电特性 继电器、接触器和晶闸管等电气元件的特性通常都表现为继电特性。继电特性有不同的形式，图-所示为理想继电特性。对于实际的继电器，当线圈中的电流大到某一定值时，即线圈两端电压达到一定数值后，方能使继电器的衔铁吸合，因而继电特性一般都有死区，如图-所示。此外，鉴于继电器的吸合电压一般都大于释放电压，继电器还具有回环的特性，如图-。 .摩擦特性 摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。 为改善系统跟踪过程的平稳性，可采取如下措施： ）取良好的润滑或外加高频颤

6、振信号的办法以减小静动摩擦力矩的差值。 ）采取干扰补偿的办法，校正抵消摩擦力矩的影响。 ）采取增加系统阻尼的办法，减小转速脉动，提高平稳性第二节 非线性系统的描述函数分析法 一、描述函数的基本概念 二、典型非线性特性的描述函数 三、非线性系统的简化 四、非线性系统稳定性分析的描述函数法一、描述函数的基本概念 含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，可简化成一个非线性环节和线性部分串联连接的典型结构形式，如图7-5所示。 设非线性环节输入输出描述为 当其输入信号为正弦函数)(xfy )(xfy tAtxsin)( 一般情况下，其输出y(t)为非正弦的周期信号。将y(t)按傅里叶级数展开为 如果非

7、线性元件的静特性具有中心对称性质和低通滤波特性，则可近似认为非线性环节的正弦响应只有一次谐波分量，即基波分量。1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty) t(tdnsin) t ( y1B) t(tdncos) t ( y1A20n20n式中nnnnnnBABAY122tgnnnnnnBABAY122tg 有 上式表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节输出量的一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数。用N(A)表示)sin(sincos)(11111tYtBtAty111121211

8、tgBABAY式中 AjABeAYeANANjANj111)(1)()( 2. 描述函数的求取步骤描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。第二节 非线性系统的描述函数分析法 描述函数法是达尼尔（）于年首先提出的。 基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。一、

9、描述函数的基本概念 .描述函数的定义 若含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，简化成一个非线性环节（）和线性部分（）串联连接的典型结构形式，如图-所示 .描述函数的求取步骤 ）取输入信号为（），根据非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式写出输出（）在一周期内的数学表达式 ）据非线性环节的静态特性及输出（）的数学表达式，求相关系数、。 ）用式（-）计算描述函数。二、典型非线性特性的描述函数 典型非线性特性具有分段线性特点，描述函数的计算重点在于确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解方法。 .饱和特性 （）数学表达式20sin)(tkattkAty （2）求相关系

10、数A1、B1 由于y(t)为奇函数，所以A00，A10。22100220214( )sin( )sin4sinsin41(sin2cos)242arcsin1By ttd ty ttd tkAtd tkatd tkAaAkAaaaAAA （3） 饱和特性的描述函数为 上式表明，饱和特性的描述函数是一个只与输入信号振幅有关的实函数 aAAaAaAakABAN211arcsin2)(2. 死区与滞环继电特性 （）数学表达式ttMtty2211 0, ,0 0,)(Aharcsin 1Amharcsin- 2 2）相关系数A1、B1 由图可见，y(t)为奇对称函数，而非奇函数，故2121 02112

11、( )coscos22(sinsin)(-1)Ay ttdtMtdtMMhmA222101-1-12)cos(cos2sin2)sin(221AhAmhMMttdMttdtyB 3） 死区滞环继电特性的描述函数为 Ah （7-17） 取h=0可得理想继电特性的描述函数为 （7-18） 取m=1可得死区继电特性的描述函数为 Ah （7-19） 取m=1可得滞环继电特性的描述函数为 Ah （7-20）1)-(2j-1-12)(222mAMhAhAmhAMANAMAN4)(2-14)(AhAMAN224-14)(AMhjAhAMAN三、非线性系统的简化 等效变换的原则是在（）的条件下，根据非线性特性

12、的串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分。下面示例说明简化的一般方法。.非线性特性的并联非线性特性的并联 两个非线性特性并联时，可先将两个非线性特性叠加得到等效非线性特性，再求其描述函数。图-所示为死区非线性和死区继电非线性并联的情况。也可由描述函数的定义，对两个并联的非线性特性分别求描述函数，它们的代数和 N(A)N1(A)N2(A) .非线性特性的串联非线性特性的串联 当两个非线性环节串联时，因第一个环节的输出就是第二个环节的输入，所以可以根据两个串联非线性环节的输入输出特性，求出总的复合非线性，再求复合非线性的描述函数（），即为

13、串联非线性特性总的描述函数。 特别需要注意的是，串联非线性特性总的描述函数绝不等于两个非线性特性描述函数的乘积；而且，两个非线性环节串联的前后次序不同，总的描述函数也不同。四、非线性系统稳定性分析的描述函数法四、非线性系统稳定性分析的描述函数法.非线性系统的稳定判据 当非线性特性采用描述函数（）近似等效时，图-所示系统的闭环特征方程为0)()(1jGAN)(1)(ANjG 若线性部分开环频率特性是稳定的，则 （1） 如果曲线不包围曲线，则非线性系统是稳定的。 （2） 如果曲线包围曲线，则非线性系统是不稳定的。 （3） 如果曲线与曲线相交，则在非线性系统中产生周期运动。2. 非线性系统存在周期运

14、动时的稳定性分析非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 系统处于周期运动时，如果该周期运动能够维持，即考虑外界小扰动作用使系统偏离该周期运动，当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动，即自持振荡。否则，为不稳定工作点。第三节 非线性系统的相平面分析法 一、相平面的基本概念 二、绘制相轨迹的方法 三、相平面分析 四、用相平面法分析非线性系统 相平面法由庞加莱（）1885年首先提出。 该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。一、相平面的基本概念 一个线性控制系统可以用n阶

15、线性微分方程来描述，也可以用n个线性无关的一阶微分方程组(状态方程)来描述。对于n个线性无关的状态变量可以用n维状态空间中的点表示。 用n维状态空间中的点来描述系统运动状态的方法，称为状态空间分析法，或称为相空间分析法。这种研究方法属于现代控制理论的一个分支。 相变量从初始时刻t0对应的状态点起，随着时间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。 根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有且只有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹族，而由一族相轨迹所组成的图形称为相平面图。二、绘制相轨迹

16、的方法 解析法解析法 采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法，直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。 积分得 则可解得以(x0，)为初始条件的和x的解析关系式，即相轨迹方程。dxxdxdtdxdxxddtxdx xxxxdxxhxdxg00)()(三、相平面分析 .奇点和极限环 若相平面上某点满足 则称该点为相平面的奇点。 00) (xxxf? 极限环 相平面图中孤立的封闭轨迹定义为极限环，或称“奇线”。 ）稳定的极限环。在极限环附近，起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷向极限环。这样的极限环称为稳定极限环，对应系统的运动状态为自持振荡。极限环的内部是不稳定区，极限环的

17、外部是稳定区，如图-所示 ）不稳定的极限环。在极限环附近的相轨迹最终均卷离极限环，则该极限环称为不稳定极限环。不稳定的极限环的内部是稳定区，而其外部是不稳定区，如图-所示。 ）半稳定的极限环 如果起始于极限环内部的相轨迹均卷向极限环，外部的相轨迹均卷离极限环，或者内部的相轨迹均卷离极限环，外部的相轨迹均卷向极限环，这种极限环称为半稳定极限环。（如图7-18c），或远离极限环（如图7-19d）。四、用相平面法分析非线性系统 大多数非线性系统所含有的非线性特性是不可解析的分段特性。用相平面法分析这类系统时，常将整个相平面分成若干个区域，使每一个线性微分方程在相平面上对应着一个区域。 这一类非线性特

18、性曲线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线。只要作出每个区域内的相轨迹后，在开关线上把相应的相轨迹依次连接起来，就可得出系统完整的相轨迹图。第四节 改善非线性系统性能的措施 一、非线性系统性能的改善 二、非线性特性的利用一、非线性系统性能的改善 图-所示是一个在线性部分中引入串联校正装置的具有理想继电器特性的非线性系统。 引入串连微分校正非线性奈式图.改变非线性特性 例如，为了消除饱和非线性特性对系统的影响，可以在饱和特性环节两端，并联另一非线性环节死区非线性。选择死区宽度等于饱和宽度，并且使两者的斜率均相等。则并联后总的输入输出特性为线性特性。如图-所示。二、非线性特性的利用 在

19、控制系统中引入特殊形式的非线性元件能使系统的控制性能得到改善。 在某些系统中往往用一些极为简单的装置便能使系统的控制性能得到大幅度的提高，成功地解决了系统快速性和振荡度之间的矛盾。但若采用线性补偿装置来达到同样的效果时，其形式将十分复杂。 而且，当对系统提出某些特殊要求时（如快速系统），采用线性补偿装置通常无法达到预期的目的第五节 基于基于Simulink的非线性系统分析的非线性系统分析 MATLAB中的Simulink提供了一些常用的非线性仿真模块，利用这些模块可以形象、直观、方便地对非线性系统进行分析。 非线性模块库在Simulink模块库中又称为不连续模块（Discontinuties）

20、，模块库的内容如图7-30所示。该模块库中主要包含常见的非线性模块，如饱和非线性模块（Saturation），死区非线性模块（Dead Zone），继电非线性模块（Relay），磁滞回环模块（Backlash）等。 下面举例说明如何利用Simulink来绘制非线性系统的相轨迹。 图7-30 非线性仿真模块 例例7-7 具有继电器特性的非线性系统如图7-31所示，输入为阶跃信号，试利用Simulink在平面上作出相轨迹。 1s(s+1)Zero-PoleXY GraphStepScopeRelaydu/dtDerivative 解解 由图7-31所示系统作出的Simulink仿真模型如图7-32所示。仿