2.1多元函数的微分法ppt课件

1、8.3 多元函数的微分法一 多元复合函数的微分法二 隐函数的微分法一一 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法),(),(),(yxvyxuvufz),(),(yxyxfz复合复合zuvxyxyxzxuuzxvvzyzyuuzyvvz)(),(),(),(xhwxvxuwvufz)(),(),(xhxxfz复合复合zxxxuvwdxdzdxduuzdxdvvzdxdwwz（全导数）（全导数）例例1 设设,)(22xyyxz求求.,yzxz解解 令令,22xyvyxu那么那么.vuz 因而因而xzxuuzxvvzyuuxvuvvln21)ln()()(222221222yxyxyyxyxxyx

2、yyzyuuzyvvzxuuyvuvvln21)ln()()(222221222yxyxxyxxyxyxy例例2 设设),(2xyexyfz 其中其中f可微，求可微，求.,yzxz解解 令令,2xyevxyu那么那么).,(vufz 因而因而xzxuuzxvvzxyvuyevufyvuf),(),(2),(),(222xyvxyxyuexyfyeexyfyyzyuuzyvvz),(),(222xyvxyxyuexyfxeexyxyfxyvuxevufxyvuf),(2),(说明：上面的结果可以简写为说明：上面的结果可以简写为,212fyefyxzxy.221fxexyfyzxy例例3 设设),

3、 1(22xyexfz其中其中f可微，求可微，求.,yzxz解解,22212fxyexfxzx.22feyzx例例4 设设),(22xyzxzxfu 其中其中f可微，求可微，求.,zuyuxu解解,23221yzffzxfxu,3xzfyu.232xyfxzfzu例例5 设设),(xyfz 其中其中f有二阶导数，求有二阶导数，求.2yxz解解xz),(2xyfxyxxyfxyxyfxyxz1)()(1222 )()(12xyfxyxyfx 例例6 设设),32,(yxxyfz其中其中f有二阶连续偏导数，有二阶连续偏导数，.2yxz求求解解xz,221fyf yxz21f) 3(22221fxf

4、22121116)23(ffxyxyff)3(1211fxfy例例7 设设),(32yxxfzy其中其中f有二阶连续偏导数，有二阶连续偏导数，.2yxz求求解解xz,2211xffyxyyxz211fxy11)(lnfxyxy)3ln(212111yfxxfyxyy)3ln(222221yfxxfxy111)ln(fxyxxyy1112)(lnfxyxy12113)ln23(fxxxyyy2226fxy二二 隐函数的微分法隐函数的微分法1 方程的形式方程的形式0),(yxF确定确定)(xyy （隐函数存在定理）（隐函数存在定理）求求.dxdy解法：解法： 方程方程0),(yxF两边对两边对x求

5、导得求导得0dxdyFFyxyxFFdxdy例例8 设设)(xyy 是由方程是由方程xyyxarctanln22所所确定的隐函数，求确定的隐函数，求.dxdy解解令令,arctan)ln(21),(22xyyxyxF那么那么)()(112212222xyxyyxxFx,22yxyxxxyyxyFy1)(11221222,22yxxy所以所以.yxyxFFdxdyyx0),(zyxF确定确定),(yxzz 求求.,yzxz解法：解法： 方程方程0),(zyxF两边对两边对x求导得求导得0 xzFFzxzxFFxz方程方程0),(zyxF两边对两边对y求导得求导得0yzFFzyzyFFyz例例9

6、设设),(yxzz 是由方程是由方程023yxzz所所确定的隐函数，求确定的隐函数，求.,2yxzyzxz解解令令,2),(3yxzzzyxF那么那么,2zFx, 1yF.232xzFz所以所以,2322xzzxz.2312xzyz2222)23(62)23(2xzyzzzxzyzyxz.)23(46322xzxz例例10 设设),(yxzz 是由方程是由方程),32(xyzzyxfz所确定的隐函数，求所确定的隐函数，求.,yzxz解解令令,),32(),(zxyzzyxfzyxF那么那么,21yzffFx,221xzffFy. 1321xyffFz所以所以,312121xyffyzffxz.

7、3122121xyffxzffyz2 方程组的形式方程组的形式0),(0),(zyxGzyxF确定确定)()(xzzxyy求求.,dxdzdxdy（几何意义：空间曲线的一般方程可以确定其参数方程（几何意义：空间曲线的一般方程可以确定其参数方程)(),(,xzzxyyxx）解法：解法：方程组两边对方程组两边对x求导得求导得00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx解出解出.,dxdzdxdy例例11 设设)(),(xzzxyy是由方程组是由方程组所确定的隐函数，求所确定的隐函数，求.,dxdzdxdy63321222zyxzyx解解 方程组两边对方程组两边对x求导得求导得03320222dxdzdxdydxdzzdxdyyx解得解得,3332zyxzdxdy.3323zyyxdxdz一元函数的微分有一阶形式不变性，同样多元函数的一元函数的微分有一阶形式不变性，同样多元函数的全微分也有一阶形式不变性。全微分也有一阶形式不变性。例例12 设设,33vuz其中其