极零点分布及系统频域特性

1、极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性6.1 6.1 引言引言 系统函数系统函数(system function)定义定义)(th sH te sE tr sR thtetr sHsEsR )()()( sEsRsH 所以所以系统函数系统函数(system function)定义为零状态响应函定义为零状态响应函数数R(s)与激励函数与激励函数E(s)之比。之比。6.1 6.1 引言引言)(th sH te sE tr sR)()(),()( teLsEtrLsR 其其中中系统的零状态响应系统的零状态响应时时当当 ,)()(tte )()(thtr )()(sHsR )()(sHthL

2、 则则6.1 6.1 引言引言 对系统函数，根据激励和响应是否属于同一端口，对系统函数，根据激励和响应是否属于同一端口，分为两类分为两类1. 策动点函数策动点函数：激励与响应在同一端口时激励与响应在同一端口时)()()(11sVsIsH 策动点导纳策动点导纳)()()(11sIsVsH 策动点阻抗策动点阻抗单端口单端口网络网络 sI1 sV111 6.1 6.1 引言引言双双端端口口网网络络 sI1 sV111 sI2 sV222 )()()(12sVsIsH 转移导纳函数转移导纳函数)()()(12sIsVsH 转移阻抗函数转移阻抗函数)()()(12sVsVsH 电压传输函数电压传输函数)

3、()()(12sIsIsH 电流传输函数电流传输函数转移函数：转移函数：激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口6.1 6.1 引言引言(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换)(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs 24222)( ssssEsRsH则则(2)。和和零零状状态态响响应应，求求系系统统的的冲冲激激响响应应，激激励励为为已已知知系系统统)( )()()e1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(dzs2222trthtutettettetrttrttrt )()()(zstethtr )()()( ZSsE

4、sHsR 或或因为因为)1(1222)(ZS ssssssR1226)1)(2()12(2 sssss所以所以)(e6)(e2)(2ZStututrtt 所以所以)(e4)(2)(2tuttht 所以所以6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法 频率特性曲线频率特性曲线 复轨迹复轨迹 极点零点分布图极点零点分布图01110111asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm)()()(6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法2. 2. 复轨迹复轨迹(comples locus)(comples locus)S S平面平面H(s)H(s)平面平面j)(sU)(sV当当 给定

5、而改变给定而改变 时，就可以在时，就可以在H(s)H(s)平面中得到一平面中得到一条条幅度幅度相角特性曲线相角特性曲线。 时，复变量时，复变量s s在在s s平面中沿平面中沿 轴变化，这样映轴变化，这样映射到射到(s)(s)平面中得到的曲线称为系统函数的复轨迹平面中得到的曲线称为系统函数的复轨迹0j6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法3. 3. 极点零点分布图极点零点分布图( (pole-zero diagram) )01110111asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm)()()( 对于由集总参数构成的线性系统，上式为实有理函对于由集总参数构成的线性系统，上式为

6、实有理函数数( (real rational function) )。实有理多项式的根为实。实有理多项式的根为实数根，或成共轭对的复数根。数根，或成共轭对的复数根。).()().()()()()(nmpspspszszszsHsDsNsH21210 称为称为H(s)函数的函数的极点极点(pole)(pole)； 称为称为H(s)函数的函数的零零点点(zero)(zero)npmz6.3 6.3 极零点分布与系统时域特性极零点分布与系统时域特性 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极点零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、

7、直观地给出系统响应的许多规律。系统的规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函数的集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方面表征了同一系统的面表征了同一系统的本性本性。6.3 6.3 极零点分布与系统时域特性极零点分布与系统时域特性1.

8、 1. 预言时域特性预言时域特性( (回顾回顾) ) 0j0j 6.3 6.3 极零点分布与系统时域特性极零点分布与系统时域特性2. 2. 划分系统分量划分系统分量激励：激励：)()(sEte vkkullPszssE11)()()(系统函数：系统函数：)()(sHth niimjjPszssH11)()()(响应：响应：)()(sRtr niimjjpszs11)()( vkkkpsA1 )()(1sRLtr自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量 vkkullPszs11)()( )(sR niiipsA1 )(sR vktpktuAk1)(e nitpituAi1)(e6.3

9、6.3 极零点分布与系统时域特性极零点分布与系统时域特性3. 3. 分析系统的稳定性分析系统的稳定性( (stability) )系统函数：系统函数：)(/ )()()(sDsNsHth niimjjPszssH11)()()()(trzi nitpituAi1)(e自由响应分量自由响应分量( (自然响应分量自然响应分量) )称由系统函数的极点确定的复数频率称由系统函数的极点确定的复数频率Pn为系统的为系统的自然频率自然频率( (natural frequency) )方程方程D(s)=0D(s)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程( (characteristic equation) )

10、6.3 6.3 极零点分布与系统时域特性极零点分布与系统时域特性3. 3. 分析系统的稳定性分析系统的稳定性( (stability) ) 0j0j 6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性niimjjPszsHsH110)()()(系统函数：系统函数： niimjjsniimjjspzHPszsHsHH110110jjjjj平平面面内内。矢矢量量图图画画于于复复都都看看作作两两矢矢量量之之差差，将将、将将 -j jijp z 6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性发发生生变变化化。都都、和和、则则矢矢量量变变化化是是滑滑动动矢矢量量，ikkA

11、iB , jjiiiBzjejkkkAPjej令分子中每一项令分子中每一项分母中每一项分母中每一项)()(nmjnmeAAABBBHjH2121212106.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性)()(nmjnmeAAABBBHjH212121210)()(| )(|jjnkkmiiejHeABHnkkmii11110nkkmiiABHjH110| )(|nkkmii11)(6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性sC1R sV1 sV2 sCRRsVsVsH1)()(12 RCsssH1)( 11j1j1ee1jjjMNRCH O RC1 j1

12、M1N1 1 01 z零零点点：RCp11 极点：极点：确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性频响特性分析频响特性分析121100HHRCHjjj CRarctan2 04120RC024681000.51024681000.511.52 H j221 RC6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性全通函数全通函数(all-pass function)(all-pass function)所谓全通是指它的幅频特所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的的

13、正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。幅度传输系数通过。 零、极点分布零、极点分布 2211331M1N2N3N2M3M3p2p1p1z3z2zj极点位于左半平面，极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴零点与极点对于虚轴互为镜像互为镜像 6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性 32132132132103213210jjeejHAAABBBHH由于由于B1B2B3与与A1A2A3相等，幅频特性等于常数相等，幅频特性等于常数H0幅频特性幅频特性常数常数相频特性相频特性不受约束不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，全通网

14、络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。 6.4 6.4 极零点分布与系统频域特性极零点分布与系统频域特性最小相移函数最小相移函数( (minimum-phase function) )移移函函数数”轴轴的的函函数数称称为为“最最小小相相零零点点仅仅位位于于左左半半平平面面或或 jj12122j2j 1j1j 1p2p1z2zO1 1 j12122j2j 1 j1j 3p4p3z4z3 3 O33113131 左侧相移最小

15、左侧相移最小6.5 6.5 系统的稳定性系统的稳定性 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是也是有界有界的，则称该系统有界输入有界输出的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定的系统，简称稳定系统稳定系统。对所有的激励信号对所有的激励信号e(t) eMte rMtr 其响应其响应r(t)满足满足 则称该系统是稳定的。式中，则称该系统是稳定的。式中，稳定系统的充分必要条件是稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）（绝对可积条件）：为为有有界界正正值值。re,MM Mtth d为为有有界界正正值值。M6.5 6.5 系统的稳

16、定性系统的稳定性1 1稳定系统稳定系统 若若H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面的左半平面（不包括平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足虚轴），则可满足0)(lim tht系统是稳定的。系统是稳定的。0 ,1 pps0, 0 12 qpqpss例如例如系统稳定；系统稳定；系统稳定。系统稳定。6.5 6.5 系统的稳定性系统的稳定性 )(limtht 如果如果H(s)的极点位于的极点位于s s右半平面，或在虚轴上有二右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点阶（或以上）极点系统是不稳定系统。系统是不稳定系统。3 3临界稳定系统临界稳定系统 如果如果H(s)极点位于极点位于s s平面虚轴上，且只有一阶。平面虚轴上，且只有一阶。 为非零数值或等幅振荡。为非零数值或等幅振荡。 )(,tht 2 2不稳定系统不稳定系统6.5 6.5 系统的稳定性系统的稳定性系统稳定性判据系统稳定性判据 tthd)(时时域域：从频域看要求从频域看要求H(s)的极点：的极点： 右半平面不能有极点右半平面不能有极点( (稳定稳定) )虚轴上极点是单阶的虚轴上极点是单阶的( (临界稳定临界稳定, ,实际不稳定实际不稳定) )。6.5 6.5 系统的稳定性系统的稳定性 211 sssG sG sF sY sX k skYsFsX 加法器输出端的