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1、半球体雪堆融化时间系别：土木建筑工程学院专业：土木（1）班姓名：何泽波学号：201140610161一、摘要：一个半球体状的雪堆，在阳光下慢慢融化，过程中雪堆始终保持着半球体状，利用微分知识来解决雪堆融化的时间问题，并展开假设，当雪堆融化时保持锥形等其它形状，再次求解。关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分、提出问题：一个半球体状的雪堆，具体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0o假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为r。的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的-,问雪8堆全部融化需要多少小时？三、问题分析：在融化过程，根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的

2、速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0”的条件，我们可以列得方程也0=-KS(t),显dt然这里为常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到V(t)与S(t)的关系，将S(t)替换V(t)的代数式，再利用已知条件“半径为ro的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的-,8一201则V(0)="o3,V(3)=nr。3”解出V(t)的具体表达式，而雪堆全部融化所用312的时间，为满足V(n)=0的n值，解出n即为所求。四、建模过程1、模型假设：在融化过程中雪堆始终保持着半球体状；外界因素基本保持不变，即不影响计算结果。2、符号说明：tt小时，t>0S(t)t时刻半球状球体表

3、面面积V(t)t时刻半球状球体体积r(t)t时刻半球状球体半径C常数C3、模型的建立:(1) .一个半球体状的雪堆，具体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0.即dV(t)=KS(t)。dt2cc(2) .雪堆始终保持着半球体状，则有V(t)=nr因为又有V(0)=nr。3代入：(t),S(t)=2nr2(t)。3(3) .半径为r°的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的-,则82313V(0)=nr。,V(3)=叮。312(4) .雪堆全部融化所用的时间，为满足”)=0的口值。4、模型的求解：因为有解出关系：S(t)=2r(t)V(t)=|nr3(t)1 1二幽

4、3V32 .I2二22S(t)=2n答T=卜2nj2213V(t)32二_2二1221=(18冗pV(t)3=NV(t)3(其中令N=(16j3)由"KS(t)得:丝9=-KS(t尸-K-NV(t)3dt求解常微分方程：2V(t)飞dV(t)=-K割幻t(方程左右两边求积)13V(t“=C1-KN士V(t)JK飘1gV(t)=C-t,3323V(0)=C=:r03i2"3解出常数C:C2n：甑【3广常数C代入，/2，K割范v(t)=-n航tQI3/3因为又有V(3)=1叮03,代入解出K值：12K-1_rK-r06代回解得V(t):最后将V(n)=0代入则:i3/21_1'3nJ*。Gr°(37印=011.二23所以(小时)18二3"=一二答：雪堆全部融化需要6小时.参考文献：大学数学实验清华出版社姜启源邢文训谢金星杨顶辉编著总结：雪堆融化过程中

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