2.1-重积分应用ppt课件

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第五节 重积分应用 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院一、微元法把定积分的微元法推广到二重积分的应用中把定积分的微元法推广到二重积分的应用中. . d 若要计算的某个量若要计算的某个量U U对于闭区域对于闭区域D D具有可具有可加性，并且在闭区域加性，并且在闭区域D D内任取一个直径很小内任取一个直径很小的闭区域的闭区域 时，相应地部分量可近似地时，相应地部分量可近似地表示为表示为则所求量为则所求量为 DdyxfU ),(dyxf),(dU 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院二、曲面的面积卫星卫星hoxz 高等数学（下

2、）高等数学（下）河海大学理学院设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 二、曲面的面积 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S S的面积元素的面积元素曲

3、面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1,cos dAd,11cos22yxff 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxhhAzxDxz设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzggAyzDzy同理可得同理可得 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx

4、 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy

5、得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院物理应用：1.质量元质量元 ddm 体体密密度度体体积积元元),(),(zyxdVd 面面密密度度面面积积元元),(),(yxdd 线线密密度度)(,xdxd );(面面积积元元dSd 弧弧元元dsd dmdI2 距距离离,co

6、s,0221 dfdfrrmmfdx 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院),(yx二、平面薄片的重心 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院当薄片是均匀的，重心为：当薄片是均匀的，重心为：,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由微元法由微元法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院. dvM 其

7、其中中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx 处处的的密密度度为为),(zyx ，则则该该物物体体的的重重心心为为 推广至空间：推广至空间：,1 dvyMy .1 dvzMz 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求，求重重心坐标心坐标 解解先先求求区区域域 D的的面面积积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a

8、 )(xy 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a.由由于于区区域域关关于于直直线线ax 对对称称 ， 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院三、平面薄片的转动惯量dmdI2 距距离离 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面

9、面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于 x轴轴和和 y轴轴 的的转转动动惯惯量量为为 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y薄片对于原点的转动惯量薄片对于原点的转动惯量yxIII 0 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院,2 dvzIxy 设物体占有空间闭区域设物体占有空间闭区域 ，在点，在点),(zyx 处的密度为处的密度为),(zyx ，则该物体对坐标面则该物体对坐标面 , 坐标轴坐标轴及原点的转动惯量为及原点的转动惯量为 ,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvz

10、yIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为

11、dxdyyIDx 2 .1213 ab 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院四、求质量221yxz322yxzdVMdrrddk4103020sink5 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点 ), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a ,zyxFFFF ,)(),(23222

12、dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、平面薄片对质点的引力 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院例例6 6 求求面面密密度度为为常常量量、半半径径为为R的的均均匀匀圆圆形形薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxF 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院drrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知