一元二次方程的四种解法

1、一元二次方程的四种解法一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1:判断下列方程是否为一元二次方程： x2 x 1 x2 1 x2 2x 3y 0 x2 3 (x 1)( x 4)ax2 bx c 0mx2 0 (m是不为零常数)例2: 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.22(1)x2 10x 900 0(2)5x10x 2.2 0(3)2 x2 15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)2 3(6) (x 3)(x 3) 0例3:当m时，关于x的方程(m+2 x|m|+3mx

2、+1=0H一元二次方程三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()211A3(x 1)2(x 1) B.- -20x y222C.ax bx c 0 D.x 2x x 12、用换元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x)=6时，如果设x2+x=y,那么原方程可变形为()A、y2 + y 6=0B、y2-y-6= 0G y2 y + 6=0D 、y2+ y+6=03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是 .4、已知关于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 。的一个根是2,求k的值.四、课后练习1 .将方程3x(x 1 )5( x 2)化成一兀二次方

3、程的一般形式，得 ；其中二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是.2 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是 3 .已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式n2-m=4 .在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cn2,设金色纸边的宽为xcm ,则x满足的方程是()(A)x2 130x 14000(B)x265 x3500(C)x2130x 14000(D)x265x350025.关于x的方程(m 3)x nx m 0,在什么条件下是一元二次方程？在什么 条件下是一元一次方程？

4、(2)-直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 直接 开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2 n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是 2 .若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为-2,则 a=二、典型例题例1:解下列方程：(1) x2= 2(2) 4x21 = 0

5、例2、解下列方程： 22, 、2(x 1)2(x 1)4 0 12(3 x) 3 0推荐例3:用直接开平方法解下列方程1 222 一、 2 一2(1) - 3x 115 0 (2) x 34 2x 1(3) x2 2ax a2 b 04三、课堂练习1 .若方程(x-4) 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()A. m> 6 B . o C ,6 D , m=62 .方程(1-x) 2=2的根是()A.-1、3 B.1、-3 C.1-氏、1 + 72 D.&-1、&+13 .方程(3x -1) 2=- 5的解是。4 .用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2=9

6、;(2)(x+2) 2=16(3)(2x-1) 2=3;(4)3(2x+1)2=12四、课后练习1、4的平方根是 方程x2 4的解是.222、方程x 11的根是,方程4 x 11的根是.3、当x取 时，代数式x2 5的值是2;若x2 两 0,则*=4、关于x的方程3x2 k 1 0若能用直接开平方法来解，则 k的取值范围是( )A、k>1 B 、k<1C 、k< 1D 、k> 15、解下列方程：2 212(1) -x2 - 0(2) 5x 4 639(3) x 而 x 75 7(4) 2 6 x 2 128 022(6)x 14x2,、22(5) 0.5y2 2 030

7、的两根，求等腰三角形的6、已知一个等腰三角形的两边是方程 4 (x 10)2 面积(3)-配方法一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x + h) 2= k (n>0)形式的过程, 进一步理解配方法的意义；2、填空：(1) x2+6x+ =(x+ ) 2; (2)x 2-2x+=(x- ) 2;(3)x 2-5x+=(x- ) 2; (4)x 2+x+=(x+ ) 2;(5)x 2+px+=(x+ ) 2;3、将方程x2+2x-3=0化为(x+h) 2=k的形式为;小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的

8、一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结2:当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为1;移项；直接开平方法求解.二、典型例题例1 :将下列各进行配方： x2 + 10x+= (x +)25 x x += (x )4例2 :解下列方程：(1) x2 4x 3 0 x2 6x += (x ) x2+bx += (x +)(2) x2 3x 1 015 / 14推荐例3:用配方法解下列关于x的方程:，2(1) x 110 x 19 0(2) x2 6ax 9a2 4b2 0例4:例1解方程：2x2 5x 2 0D 3x2 4x 1 0例5、一个小球

9、垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h (m与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t 5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度 是 16mm推荐例6:求证：对任意实数x,代数式x24x 4.5的值恒大于零三、课堂练习1 .完成下列配方过程:(1) x2+8x+=(x+) (2) x2-x+=(x-) (3) x2+4=(x+) 2(4)x2-+9 = (x-)42.若 x2-mx+A. 7549 / =(x+25B.-)2,则m的值为()C.-5D.-1453.用配方法解下列方程:(1)x 2-6x-16=0 ;(2)x(3)x 2+2 <3 x-4=0 ;(4)x4.已知直

10、角三角形的三边a、b、2+3x-2=0;2Nx-2=0.33c,且两直角边a、b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0 ,求斜边 c 的值5 .用配方法解方程2y2-75 y=1时，方程的两边都应加上()A.史 B. 5 C. 丑 D. 2244166 .a2+b2+2a-4b+5=(a+ J 2+(b-)27 .用配方法解下列方程：2x2+1=3x;(2)3y2-y-2=0 ;3x2-4x+1=0;(4)2x2=3-7x.8 .若4x2-(4m-1)x+m2+1是一个完全平方式，求 m.四、课后练习1、用配方法解下列方程：(1)x26x 160(2)x23x 2 0(3)x27

11、 6x(4)x21x -452一 、一.212、把方程x 3x p 0配方，得到x m 一.2(1)求常数p与m的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2 px q 0( p2 4q 0)4、用配方法解下列方程：(1) x2 15 10x(2) 3x2 12x - 03(3)4 x212& x 1=0(4) 2x2 7x 2 0,(5)3x 2+ 2x 3=0(6) 2x2 4x 5 02、你能用配方法求：当x为何值时，代数式3x2 6x 5有最大值?(4)-公式法一、考点、热点回顾1、 把方程 4-x 2=3x 化为 ax2+bx+c=0(a w 0)形式为 , b2-4ac=

12、.2、方程x2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=,所以方程的根的情况 是.4、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根的情况可由 来判断:当 b2-4ac >0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac < 0 时，二、典型例题例1:解下列方程：2_ _ 2(1)x 3x 2 0;(2)2x 7x 4变式：1、解方程：(1)2x(x 1) 3;(2)x2 1 x( 2展 x).例2:解下列方程：(1)x2 x 1 0;

13、(2)x2 2 3x 3 0;(3)2x2 2x 1 0.例3:不解方程，判别下列方程根的情况.(1) 2x2+3x+4=0;(2) 2x2-5=6x ;(3) 4x(x-1)-3=0 ;(4) x2+5=2<5 x.题变：1、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.推荐例4：当k为何值时，关于x的方程kx2 (2k+1) x + k+3 = 0有两个不 相等的实数根？题变：1、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求 的取值范围.三、随堂练习1 .把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx

14、 + c = 0 的形式，b2-4ac=方程的根是.2 .方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x 1=1,x2=3B.x=2 2 .3C.x=2,3D.x=-22.33 .关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是%/5 -2 ,则m=,方程的另 一个根是.4 .若最简二次根式mm27和J8m 2是同类二次根式,则的值为()A.9 或-1B.-1C.1D.95 .用公式法解下列方程：(1) x2-2x-8=0 ;(2) x2+2x-4=0;(3) 2x2-3x-2=0 ;(4) 3x(3x-2)+1=0.6 .方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是()A.有两个不相等的实

15、数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7 .关于x的方程x2+2Vkx+1=0有两个不相等的实数根，则k()A.k>-1 B.k >-1 C.k >1 D.k >08 .要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k应满足的条件是()A. k<4/3 B.k>4/3 C.k <4/3 D.k >4/39 .已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m n的值可以是 m= ,n=.10 .不解方程，判断下列方程根的情况：(1) 3x2-x+1 = 3x (2) 5 (x2+1) = 7x(3) 3x2-4V3x

16、 = -411 .解下列方程：2_2_(1)x 6x 0;(2)x12x 27 0_ _2(3)2y y 5 0;2_(4)x2 6x 16 0四、课后练习1 .用公式法解方程 &x2+4T3x=2&,其中求的b2-4ac的值是()A.16 B. 4 C. 32D.642 .用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=,方程的根是. 03 .用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是()八 12144 1212144 12A.x 1.2= B. x 1.2 =-12144 12-12 .144 48C. x 1,2= D. x 1.2=4 .三角形两边长分

17、别是3和5,第三边的长是方程3x(4)x9 0-10x-8=0的根，则此三角形是 三角形.v25 .如果分式的值为零，那么x= .x 16.用公式法解下列方程：(1) 3y 2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7,下列方程中，没有实数根的方程式()A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08 .方程ax2+bx+c=0(a w0)有实数根，那么总成立的式子是()A.b2-4ac>0B. b2-4ac<0C. b 2-4ac < 0D. b2-4ac

18、> 09 .如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .(4)-因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x 0(2)(x-3)2 (x 3) 02(3)x 1 2(x 1)2 11小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1 .将方程的右边化为02 .将方程左边因式分解.3 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例1:用因式分解法解方程：1 1) x2 4x (2) x 3 x(x 3) 0例2:解方程(2x 1)2 x20三、随堂练习1 .如果方程x2-3x+c=0有一个根为该方程可化为(x-1 ) (x)2 .方程x2=x的根为()A.x=0 B. x1=0,x2=13 .用因式分解法解下列方程：(1) (x+2) 2=3x+6;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3);4 .用适当方法解下列方程：(1) (3x-1 ) 2=1;(3) (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;1,那么c=，该方程的另一根为