数学与逻辑学的关系

1、研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中的逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的

2、应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性同一、差异又互补。首先，肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：(1) 数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；(2) 数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结

3、论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。其次，数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是一切事物的数与量的属性，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真值性问题。最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。一方面数学可能得益于逻辑。从数学或其某一分支

4、的产生和发展来看，它都是人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。在其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人提炼整理阶段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑(开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些)，特别是由于数学是一门形式(或演绎)科学，它的结论的正确性不能建立在实验之上，能依赖于逻辑的推理证明，这是因为逻辑也是一间形式科学，其规则是普遍有效的，所以在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系统时(运用公理化方法)，它就由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定义和推理的规则，然后由原始概念依

5、据定义规则逐次建立起其它的概念(所谓派生概念)，及由公理出发，借助于逻辑推理逐次得到进一步的结论(定理)，最后组成一个有机的整体。这里运用逻辑的规则和方法是它显着的特点，体现着它的结论的确定性和逻辑的严谨性。由此可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要的，如果离开了逻辑，就将成为一些经验材料的堆砌，也不可能成为一门科学。数学是高度抽象的学科，它的公式，定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。另一方面，逻辑的发展也要依靠数

6、学的推动。很明显数理逻辑的诞生和发展是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现，如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步。当然，上面的论述，并不是说我们对于历史文化的演进过程中逻辑与数学或者数学与逻辑的关系就是十分明晰的了，相反，我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认识，甚至于是十分模糊的，特

7、别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中国传统数学中逻辑内容，达到厘清中国传统数学与中国古代逻辑的关系具有十分重要的理论意义和指导现实的意义。二、从我国逻辑史研究看现今“逻辑学”一词是一个舶来品，不外是英文“Logic”的音译。对于它的不同理解则可能对中国古代文化中逻辑内容有不同程度的理解。说“中国古代无逻辑学”是可以理解的，说“中国古代有逻辑学”也是可以理解的，不同仅仅在于人们对于“逻辑学”概念的不同理解。事实上，“逻辑学”或“逻辑”的具体表现就是：在历史文化中存在有脱离了具体论述内容专注于对思维形式、思维方法、思维过程进行叙述的语言文字。当然，这样的语言文字可能是亚里士多德式的系统长篇，也可能是

8、隐含在其它历史文献中的只言片语。也就是说，在一种历史文化中是否存在着“逻辑”，就要看这种历史的文化文献中是否存在过或存在着专门了论述我们现今称之为逻辑的文字。如果有，即使是只言片语，我们也可以说这种文化文献或历史典籍中存在“逻辑”。当然，存在的“逻辑”是系统的或可以独立成章的，那么，我们就可以说“存在的逻辑”文字可以构成“逻辑学”。例如，亚里士多德工具论中许多章节就构成“亚里士多德逻辑学”。当然，比较起工具论而言，尽管中国先秦的墨经存在我们上面所界定的“逻辑”文字，但显然不如工具论系统而独立，墨经中“存在的逻辑”还是只言片语，因此，称墨经中存在的逻辑为“墨经逻辑学”有些抬高的成分，倒不如说“墨

9、家的逻辑研究”。也就是说，墨经中有Mohisms Logic-study而没有Mohism Logic或Mohist Logic。借用现今的政治用语，如果说墨经中存在的逻辑文字是“逻辑学”的话，那也只是“初级阶段的逻辑学”。是不是这种“初级阶段的逻辑学”在墨家中绝之后，就没有发展和进步的？或者说，这种“初级阶段的逻辑学”在墨家中绝之后命运如何了？是随墨家中绝而中绝了，还是蕴涵在其它文化中保留下来，甚至发展进步了并形成具有亚里士多德逻辑丰富内容的“中国古代逻辑学”。这些问题，在中国逻辑史研究中，一直得到足够的重视，一直未得出令人信服的回答。而要回答这些问题，我们认为，首先就要从那些与逻辑学联系紧

10、密的学科历史文献中搜寻，尽管我国许多学者对那些论辩、言说、政治之类历史文献中的“逻辑”文字或“名家”文字，作过了系统的厘清与分析，这也许是人们普遍认为：不论是西方逻辑(以亚里士多德逻辑为主线)、印度逻辑，还是墨家的逻辑，其直接产生背景多少与当时的言说论辩之社会思潮有关。但事实上，人们一直忽视了这样基本问题：一个学科的理论之发展与进步，在很大程度上得益于与其学理相通的学科之刺激、促进和影响。显然，与逻辑学学理相通的学科，首先就是数学。而我国从事逻辑史研究的学者，实在是对中国传统数学关注得太少了。因此，从研究中国逻辑史的角度看，对中国传统数学文献中是否存在“逻辑”的文字论述或逻辑的内容进行整理与分

11、析，也是十分必要的。或许，通过我们的努力，从中找出许多有关“逻辑”的文字和内容，以支持或支撑“中国古代逻辑学”之存在；或许，我们找不到丰富的内容，即使这样，也确证了“中国古代逻辑学”也只能是一种“初级阶段的逻辑学”。总之，不论从那方面讲，加强对中国传统数学的逻辑内容之挖掘、整理与分析，都具有十分重要的学术意义和理论意义。三、从中国数学史研究看可以说，从西方数学传入中国之不久，中国数学史的研究就开始了。明清时代的筹算家与其说是数学家，不如说是数学史家，因为他们中的大多数人之工作或者他们的大多数工作对于当时数学(不论是中国还是世界)都不是理论的创新和进步，只不过使用中国传统数学的方法(其中主要就是

12、筹算)验证了业已存在、发现、创新的理论和方法之正确性而已。进入20世纪，出于对中国文化之认同，我国科学技术史学者开始了系统的中国传统数学史研究，得到非常丰富的研究成果。与此同时，随着当时中国文化的西传，西方学者也开始关注中国古代之数学，出现了李约瑟这样的中国科技史研究大师。一句话，中国传统数学史之研究，从时间上看可谓不短、不断，从成果上看可谓成果丰富、成就斐然，从研究者看可谓中外有人、代有辈出。但从内容上看，还存在较大不足，且不说对于一些新近发现或发掘出的典籍、文献、史料重视不够，仅就对与数学紧密联系的学科对中国传统数学之影响重视不够，就是一个严重不足。如前文所述，学理上逻辑学与数学是最为联系

13、紧密的。但是，总观中国数学史研究，关注“中国传统数学与逻辑”这一问题之学者的确不多，正如我国著名数学史专家郭书春教授所说“关于这个问题的全面研究尚未见到有见地的工作”。中国科学技术曾经有过很长时间的辉煌，中国传统数学也是如此，但到了近代跟不上世界科学技术发展的步伐了。为什么出现这样的情况的？这个问题一直困惑着许多人，包括像李约瑟这样的中国科学技术史研究的权威学者。当然，也有很多的人对此作出了这样或那样的回答，但都没有得出令人们或学界普遍认同的结论和解释，例如，李约瑟博士的解释是：中国古代逻辑的不发达，中国古代数学家缺乏系统的逻辑理论与方法的指导，就是中国古代数学辉煌而近代落后的原因。即使这样的

14、回答，李约瑟博士也没有进行系统的研究，姑且我们赞成李约瑟博士的观点，系统就这一回答进行全面的注释、诠释和解释，也是十分必要的。这就像解开一个谜一样。当然，说“中国古代逻辑的不发达”，这里的“不发达”是相对于以亚里士多德逻辑为主线的西方逻辑传统呢，还是其它逻辑传统，因为，在逻辑史研究者普遍看来，逻辑学在历史的发展进程中，存在受社会、文化等因素之影响而形成不同传统的情况。就是说，历史的逻辑学不仅存在共同性和共通性，而且也深具特殊性和独立性，不同传统社会和历史文化形成了不同传统的逻辑。正如前文所述，数学的发展与进步，从学理上看最可能受到逻辑学的影响。中国传统数学的辉煌而中国近代数学的落伍，是否存在这样的原因：中国逻辑传统的特殊性和独立性之缺陷没有能给与数学创新足够的支持；而不仅仅是中国古代逻辑学之不发达。因此，把数学史的研究与逻辑史的研究联系起来，从中得出某些结论，从学术上很可能为揭开李约瑟之谜或者否绝李约瑟之谜提供一种支持，在实践上很可能为今日我国数学研究与发展提供借鉴。事实上，从我国著名数学家、中科院院士吴文俊教授的工作看，