第3章功和能.ppt课件

1、第第3 3章章 功和能功和能 3.1 功功 保守力保守力力对空间的积累力对空间的积累 ？ddd cosAFrF r一、功一、功work由由 所作的功所作的功 ba bbaaAd AF drFcosdr1、外力对质点的功、外力对质点的功元功：元功：OrdrrMd rabMF L恒力的功恒力的功 FrnFtFrFAt rF cos rF bababazzzyyyxxxzFyFxFAddd直角坐标系：直角坐标系：zFyFxFrFAzyxddddd badsFA自然坐标系：自然坐标系：dsFdsnFFrdFdAnbarrdFdrFA极坐标系：极坐标系： rdFdrFerdedreFeFrdFdArrr

2、r2、多个力作用时的功对质点、多个力作用时的功对质点rFFFrFAnd).(d 21 rFrFrFnd.dd21nAAA 21合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。1功是标量可正、可负、可为零功是标量可正、可负、可为零2功与途径有关，是过程的函数过程量功与途径有关，是过程的函数过程量3功是力对空间的积累功是力对空间的积累4功的单位为焦耳功的单位为焦耳J阐明阐明 1 弹簧弹力的功。弹簧弹力的功。解解 当物体处于当物体处于 x 处时所受的弹力为：处时所受的弹力为：kxF 物体由物体由 x a 挪动到挪动到 x b 处时弹性力所作的功为：

3、处时弹性力所作的功为： 21dxxxkxA22212121kxkx 由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功；由此可见：弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。弹簧收缩时，弹力作正功。弹性力的功弹性力的功A的大小仅与始末形状有关，而与途径无关。的大小仅与始末形状有关，而与途径无关。二、几种常见力的功二、几种常见力的功mxFFxO2 2 重力的功重力的功 )(dd12 2121zzmgzmgAAzzPP yzOxgm1P2Pz1z2z作用于质点上的重力作用于质点上的重力 kmgP 位移元位移元 kdzjdyidxrd mdz)kdzjdyidx()kmg(rdPAd 在由在由P1P1到到P2P

4、2的过程中重力做功为的过程中重力做功为: : 重力的功只与始、末位置有关，与详细途径无关。质点下降时重重力的功只与始、末位置有关，与详细途径无关。质点下降时重力作正功，质点上升时重力作负功。力作正功，质点上升时重力作负功。 3 万有引力的功。万有引力的功。 m1 在在m2的引力场沿其椭圆轨道由的引力场沿其椭圆轨道由ra移到移到r b 。求引力对求引力对m1 所作的功。所作的功。|d|cosdd2210rrmmGrFA )cos(|d|cos|d| rr)11(dd2102210abrrrrrrmmGrrmmGAAbaba 解：解：rermmGF2210rrmmGAdd2210 Frrrd rd

5、br2m1marabrd rd讨论讨论 万有引力的功万有引力的功A的大小仅与始末形状有关的大小仅与始末形状有关,而与途径无关。而与途径无关。在不同的位置，其功的正负和数值不同在不同的位置，其功的正负和数值不同轨道为圆形时，轨道为圆形时，A=0.cdfe4 4 摩擦力的功摩擦力的功 vf 1P2P1L2L质量为质量为m m的质点，在固定的粗糙程度的质点，在固定的粗糙程度面上由初始位置面上由初始位置P1P1沿某一途径沿某一途径L1L1运动到运动到末位置末位置P2P2，途径长度为，途径长度为s s，如下图。，如下图。由于摩擦力的方向总是与速度的由于摩擦力的方向总是与速度的方向相反。所以元功方向相反。

6、所以元功smgsFAddddrFmgssmgAAsPP 0 dd21质点由质点由P1P1点沿点沿L1L1运动到运动到P2P2点的过程中，摩擦力所做的功为点的过程中，摩擦力所做的功为: :摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与详细的途径有关。摩擦力的功不仅与始、末位置有关，而且与详细的途径有关。 三、保守力与非保守力三、保守力与非保守力OxkFaxbxFrrrd rdbrMmarabrdOxyz),(zyxM)0 ,(000yxMgmrdm222121bakxkxA )11(0abrrMmGA mgzA 特点：功只与初、末位置有关，而与质点的详细途径无关特点：功只与初、末位置有关，而与质点的详细

7、途径无关1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与途径无关、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与途径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与途径有关，或力沿闭合途径的、非保守力：力所做的功与途径有关，或力沿闭合途径的 功不为零。这种力为非保守力。功不为零。这种力为非保守力。 如摩擦力、冲力、火箭的推进力等如摩擦力、冲力、火箭的推进力等2、保守力沿任何一闭合途径所作的功为零。、保守力沿任何一闭合途径所作的功为零。0d LrF BDAACBLrFrFrFddd ADBACBrF

8、rFdd0 ADCB BDAADBrFrFdd平均功率：平均功率：tAP 瞬时功率：瞬时功率： tAtAPtddlim 0四、功率四、功率(power)表示作功快慢的物理量表示作功快慢的物理量tAPdd trFdd vF 定义：功随时间的变化率定义：功随时间的变化率. .SI单位单位: 焦耳焦耳/秒秒 (瓦特瓦特)vFP 额定功率额定功率最大输出功率最大输出功率. 3.2 势势 能能一、一、 势能势能保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与途径无关保守力做功与始末的位置坐标变化有关，而与途径无关 。保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能

9、量仅与位置坐标有关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能：关。我们把这种与位置坐标有关的能量称为势能： 积分途径是恣意的。积分途径是恣意的。质点从质点从 a点移到零势能点点移到零势能点 的过程中，保守力作的功。的过程中，保守力作的功。势能零点 aPrdFE阐明阐明 势能是属于整个系统的。势能是属于整个系统的。 势能只需相对的意义，在零势能点确定之后，势能只需相对的意义，在零势能点确定之后， 各点的势能才具有独一确实定值。各点的势能才具有独一确实定值。 只需保守力场才干引入势能的概念。只需保守力场才干引入势能的概念。重力势能为重力势能为 0pdzEmg zmgz万有引力势能为万有引力势能为 1

10、212p002drm mm mEGrGrr 弹性势能为弹性势能为 02p1d2xEkx xkxz在保守力场中，质点势能的减少等于保守力在保守力场中，质点势能的减少等于保守力F对质点所做的功。对质点所做的功。表述为表述为 p1p2pEEEA)(pddEAbaabaPbPardFrdFrdFrdFrdFEE b 势能零点势能零点势能零点势能零点重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为重力势能差、万有引力势能差和弹性势能差分别为 2121p2p1d =()()zzAmg zmgzmgzEE 121212000p2p12d()barrbam mm mm mAGrGGEErrr 212221p2p1

11、11d()()22xxAkx xkxkxEE 二、保守力与势能梯度二、保守力与势能梯度pEAdd 由由zFyFxFAzyxdddd 而而zzEyyExxEEppppdddd)(kzEjyEixEFppp 则则：ppEEF gradkzjyix 在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度矢量的负值。势能梯度矢量的负值。 哈密顿算符哈密顿算符OrdrrMd rabM F 1v2vds一、质点的动能定理一、质点的动能定理rFAdd dddvmstvmvd sF d)(221dmv2122221212121mvmv)mv(AAvvba dd末态的形

12、状量末态的形状量初态的形状量初态的形状量导致形状量导致形状量变化变化221mv1. 质点的动质点的动 能能标量标量 由于运动而具有的能量由于运动而具有的能量 形状量形状量221mvEk 3.3 质点和质点系动能定理质点和质点系动能定理kdE 21222212121dd21mvmv)mv(AAvvba kakbEEA 2. 质点的动能定理质点的动能定理合外力对质点做的合外力对质点做的功等于该质点动能功等于该质点动能的增量。的增量。 质点质点的动能定理的动能定理功是动能变化的量度功是动能变化的量度外力作正功，质点动能添加外力作正功，质点动能添加 外力作负功，质点动能减少外力作负功，质点动能减少A

13、A为过程量，与过程有关，而为过程量，与过程有关，而EkEk为形状量为形状量A A与与v v应对应同一惯性系应对应同一惯性系阐明阐明3. 用动量表示动能用动量表示动能vvmmvEk21212mpmppvp221212mpEK22kEA d dd d kEA 动能定理的微分方式动能定理的微分方式动能定理的积分方式动能定理的积分方式例例 质量为质量为m、线长为、线长为l的单摆，可绕的单摆，可绕o点在竖直平面内摆动。初始时辰摆线被点在竖直平面内摆动。初始时辰摆线被拉至程度，然后自在放下，求摆线与水拉至程度，然后自在放下，求摆线与水平线成平线成 角时，摆球的速率和线中的张力。角时，摆球的速率和线中的张力

14、。rddabl解解 摆球受摆线拉力摆球受摆线拉力T和重力和重力mg,合力作的功为合力作的功为(dddbbbaaaAm )mTgrTrgr d0baTr 0dd dbbaaAmmgcosrmglcosmgl sin gr 由动能定理由动能定理2221021sinmvmvmglA sin2glv 牛顿第二定律的法向分量式为牛顿第二定律的法向分量式为: lvmmamgT2nsin sin3mgT m0v证明：由牛顿第二定律：证明：由牛顿第二定律：tvmfdd RvmN2 又由于又由于,Nf 故有：故有：tvmRvmdd2 即：即：tssvvRdddd21 svvdd 亦即：亦即：vvsRdd fN例

15、例 在光滑的程度桌面上平放有半圆形屏在光滑的程度桌面上平放有半圆形屏障。质量为障。质量为m的滑块以速度的滑块以速度v0 沿切线方向沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为：时，摩擦力所作的功为：)(121220 emv作定积分，得：作定积分，得：vvRvvsR0d)d(0RRvv0ln即：即： evv0故：故： evv0由质点的动能定理得：由质点的动能定理得：2022121mvmvA )(2120220vevm )1(21220 emv13f12f3F2F1F3m2

16、m1m21f31f23f32f质点系一切内力之和为零质点系一切内力之和为零321,FFF322331132112,ffffff 0内内f1、质点系、质点系 内力和外力：内力和外力：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。留意留意:质点系中恣意一个质点，例如第质点系中恣意一个质点，例如第i个质点受的个质点受的系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零 。 外外外外FfNii 1质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系质点

17、系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即受的合外力，即 二、质点系的动能定理：二、质点系的动能定理：含两个或两个以上的质点的力学系统。含两个或两个以上的质点的力学系统。 11111111BABArfrFdd12121112121kABEvmvm对对m1:2222222222222222121ddkABABABEvmvmrfrF对对m2:对各质点运用动能定理：对各质点运用动能定理：两式相加，得：两式相加，得：112222112122112211BAkkBABABAEErfrfrFrFdddd2F1F1f2f1dr2dr1Bv2Bv1m2m1S2S1A2A2B1B1Av2Av即即kEAA

18、内外2、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：、2 个质点的系统：个质点的系统：分别对系统内的每个质点运用动能定理分别对系统内的每个质点运用动能定理 ：210121112121mmA220222222121mmA2022121nnnnnmmA 累加得累加得2022121iiiiimmA、n 个质点的系统：个质点的系统：kEAA内外 niiiniiivmvm120122121 一切外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等一切外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。于质点系总动能的增量。4、内力能改动系统的总动能，、内力能改动系统的总动能， 但不改动系统的总动量。但不改动系统

19、的总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为形状量。、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为形状量。2、动能是质点因运动而具有。、动能是质点因运动而具有。3、功与动能必需对应同一惯性系。、功与动能必需对应同一惯性系。阐明阐明kEAAddd内外kEAA内外质点系动能定理的微分方式质点系动能定理的微分方式质点系动能定理的积分方式质点系动能定理的积分方式讨论：讨论：22121121rdfdWrdfdW212112122112221112)(rdfrdfrrdfrdfrdfdW设设f12与与f21是一对作用力反作用力是一对作用力反作用力、一对作用力所做功的代数和，等于一个质点所受力点乘其、一对

20、作用力所做功的代数和，等于一个质点所受力点乘其相对于另一个质点的相对位移，可正可负。相对于另一个质点的相对位移，可正可负。、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因此、由于一对作用力的功只取决于两质点间的相对位移，因此与参考系的选择无关。与参考系的选择无关。，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，质点系内力，当组成质点系的各质点间可以有相对位移时，质点系内力的总功普通不为零，且可正可负。的总功普通不为零，且可正可负。、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的、当组成质点系的各质点间没有相对位移时，质点系内力的总功为零。总功为零。一对作用力反作用力的功一对作用力反作用力的功、

21、两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个、两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所挪动的途径所做的功。质点受的力沿着该质点相对于另一质点所挪动的途径所做的功。gSmgSmABA sin外外0 内内ATA作负功、作负功、T B作正功，其代数和为零。作正功，其代数和为零。由动能定理得由动能定理得221vmmgSmgSmBABA)(sin 解得：解得： BABAmmmmgSv )sin( 2系统初态动能为：系统初态动能为：2221vmmEBAk)( 例例 物体物体mAmA和和mBmB经过一不能伸缩的细绳相连，经过一不能伸缩的细绳相连，mA

22、mA 由静止下滑，由静止下滑，mB mB 上升，上升，mAmA滑过滑过S S 的间隔时，的间隔时， mA mA和和mBmB的速率的速率v = ? (v = ? (摩擦力及滑摩擦力及滑轮的质量不计轮的质量不计) )。 解解 选取物体选取物体A A、B B 与细绳组成一系与细绳组成一系统，系统所受外为重力统，系统所受外为重力GAGA、GB GB 支持力支持力N N；内力为绳子的拉力。；内力为绳子的拉力。vBvA AGNATBTBG末态动能为：末态动能为：01kE 3.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理质点系的动能定理的微分方式和积分方

23、式分别为质点系的动能定理的微分方式和积分方式分别为 kdddEAA 内内外外kEAA 内内外外内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，那么内力做的功包含保守内力所做的功和非保守内力所做的功，那么 kddddEAAA 保守内保守内非保守内非保守内外外kEAAA 保保守守内内非非保保守守内内外外而而 pddEA 保保守守内内pEA 保保守守内内那么质点系的功能原理的微分方式和积分方式可以写成：那么质点系的功能原理的微分方式和积分方式可以写成： EEEAAddddd pk非非保保守守内内外外E表示动能和势能之和称为机械能。表示动能和势能之和称为机械能。 EEEAA pk非非保保守守内内外

24、外系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。 质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，质点系的功能原理与质点系的动能定理所含的物理内容一样，但表达方式不同。它对于不同的惯性系也坚持其方式不变。需但表达方式不同。它对于不同的惯性系也坚持其方式不变。需要指出的是要指出的是: :在动能定理中在动能定理中, ,功包括一切外力功和内力功。在功功包括一切外力功和内力功。在功能原理中的功能原理中的功, ,包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力包括外力功和非保守内力功。决不能把保守内力的功的功, ,在功能

25、原理中计算在内在功能原理中计算在内, ,由于它已用势能的方式思索在内。由于它已用势能的方式思索在内。 阐明阐明二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律0 pkEEEd dd dd d常常量量或或pkEEE只需每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为只需每一微小过程中外力作的功和非保守内力作的功之和为零时，那么此过程中的机械能守恒。零时，那么此过程中的机械能守恒。言语表述：假设一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的言语表述：假设一个系统所受的外力和非保守内力对它所作的总功一直为零，或只需保守内力作功而其它内力和外力都不作总功一直为零，或只需保守内力作功而其它内力和外力都不作功，那么系统各物

26、体的动能和势能可以相互转换，但其和为一功，那么系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。恒量。0dd非非保保内内外外当当AApkEEd dd d或或三、能量守恒定律：三、能量守恒定律：各种方式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能各种方式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量坚持不变。量既不能产生，也不能消灭，总量坚持不变。 例例 如下图，有一质量略去不计的轻弹簧，如下图，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点其一端系在铅直放置的圆环的顶点P P，另一端，另一端系一质量为系一质量为m m的小球，小球穿过圆环并在圆环的小球，小球穿过圆环并

27、在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开场时小球上作摩擦可略去不计的运动。设开场时小球静止于静止于A A点，弹簧处于自然形状，其长度为圆点，弹簧处于自然形状，其长度为圆环的半径环的半径R R。当小球运动到圆环的底端。当小球运动到圆环的底端B B点时，点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解 取弹簧、小球和地球为一个系统，小球与地球间的重力、小球与弹簧间的作用力均为保守内力。而圆环对小球的支持力和P点对弹簧的拉力虽都为外力，但都不做功，所以，小球从A运动到B的过程中，系统的机械能守恒。取弹簧为自然形状时的弹性势能为零；取B点处的重力势能为零，由机械能守

28、恒定律可得)30sin2(212122 mgRkRmvB点时由牛顿第二定律得方程点时由牛顿第二定律得方程 RvmmgkR2 Rmgk2 由由此此得得例例 光滑程度面与半径为光滑程度面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的顽强系数为弹簧的顽强系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另点，另一端与滑块一端与滑块A接触，开场时滑块接触，开场时滑块B静止于半圆环轨道的底端，今静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块用外力推滑块A,使弹簧紧缩一段间隔使弹簧紧缩一段间隔x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹脱离弹簧后与簧后与B作完全弹

29、性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被紧缩的间，求弹簧被紧缩的间隔隔x.OOABC x解：设滑块解：设滑块A分开弹簧时速度分开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒械能守恒222121mvkx A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒2

30、221121)cos(mvmgRmv 当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足 Rmvmg22cos 4 4 1 1、2 2、3 3、4 4联立求解可得联立求解可得 kmgRx27 例例 如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A A和和B B，质量分别为，质量分别为m1m1和和m2m2B B不动，不动，A A以速度以速度 与与B B碰撞，如知两车的缓冲弹簧的劲碰撞，如知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为度系数分别为k1k1和和k2k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？弹簧质量略而不计其间的作用力为多大？弹簧质量略而不计0vAk1m1m2k2B0v解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止解：两小车碰