数值分析复习题

1、1数值分析复习题复习题 Ex1Ex1.证明方程证明方程 1 x sin x = 0 在区间在区间0，1上有一上有一根根。使用二分法求误差不大于使用二分法求误差不大于0.510-4的根需二分的根需二分多少次？多少次？ Ex2. .设设x* 是非线性方程是非线性方程 f(x) = 0 的单根的单根，证明在牛证明在牛顿迭代法中，有顿迭代法中，有 )(2)()(lim*2*1xfxfxxxxnnn Ex3.设设a为正实数为正实数，试建立求试建立求( (1/a)的牛顿迭代公式的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式产生的数列产生的数列

2、xn 的收敛性的收敛性 .2Ex4. 分析下列方程分析下列方程，确定方程的全部隔根区间确定方程的全部隔根区间（1）x sin x = 1；（；（2）sin x e -x =0；（3）x = tan x；（；（4）x2 e-x =0。 Ex5. 对于二元方程对于二元方程G(x，y)=0，已知已知（x0，y0）满满足方程。如果，则根据隐函数存在定理足方程。如果，则根据隐函数存在定理，在点在点x0附附近有函数近有函数y =y(x)，对于接近于对于接近于x0的自变量的自变量x，试构造试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。 Ex6.证明矩阵证明矩阵A的谱半径与的谱半径

3、与A的范数有如下关系的范数有如下关系(A) | A |其中其中，| A |为为A的任何一种算子范数的任何一种算子范数。3Ex7. .对于复变量对于复变量 z = x + i y 的复值函数的复值函数 f(z)，应用牛应用牛顿迭代公式求方程顿迭代公式求方程f(z) = 0 的复根时的复根时，有迭代公式有迭代公式 )()(1nnnnzfzfzz 为了避开复数运算为了避开复数运算, ,令令 zn = xn + i yn , f(zn) = An+ iBn，f(zn) = Cn+iDn 试证明用于计算的公式试证明用于计算的公式 221DCDBCAxxnnnnnn 221DCCBDAyynnnnnn 4

4、 3231532223522121A 7554544354324321BEx 8. 对下列矩阵做对下列矩阵做LU分解分解 3332112121Ex 9 求上三角求上三角(下三角下三角)矩阵的条件数矩阵的条件数 10111221215Ex10. .对任意对任意x，yRn，利用向量范数的三角形不利用向量范数的三角形不等式证明等式证明： |yxyx Ex11. .设设 XR , ,X = (x1，x2，xn )T，求证求证 |)|(lim/11XxpnipipFFAAAn|12 Ex12.设设X是是n维向量维向量,A是是nn阶矩阵阶矩阵.求证求证: 6Ex14. .有方程组有方程组Ax = b, ,

5、其中其中A为对称正定阵为对称正定阵, ,且有且有迭代公式迭代公式)()()()1(kAXbXXkk 讨论使迭代序列收敛的讨论使迭代序列收敛的 的取值范围的取值范围.Ex13. .对对n 阶矩阵阶矩阵A, ,设设A的顺序主子式都不为零的顺序主子式都不为零, ,试试证明消元过程中出现的证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质矩阵有如下性质 TTememIFF22111211 7Ex15. .设有方程组设有方程组 Ax = b，其系数矩阵主对角元其系数矩阵主对角元 aii 0 ( i = 1，2，n )证明解方程组的证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是迭代法收敛的充要条件是

6、0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa的根满足的根满足| | | | 1。 8Ex 16. 设设A是对称矩阵是对称矩阵，将将A分裂为分裂为A = D L U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为迭代格式的向前和向后两种形式分别为x(k+1) = x(k) + (D L )-1(b A x(k) )x(k+1) = x(k) + (D U )-1(b A x(k) )如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有x(k+2) = x(k) + M-1(b A x(k) )试证明试证明：M-1= (D U)-1D(D L)-1

7、。 Ex 17 设设h = 1/(n+1)，分析分析n阶矩阵的阶矩阵的Jacobi迭代矩迭代矩阵特征值阵特征值 22222112112112hhhhA9Ex18. . 求经过求经过A( (0，1) )，B( (1，2) )，C( (2，3) )三个样三个样点的插值多项式点的插值多项式 Ex 19. 已知函数已知函数y = f(x)的数据如下表的数据如下表x 1 01y-101 y 0 确定三次插值多项式确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差及其插值误差R(x)210)4(3)(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR Ex20.求证求证:两点两点Hermite插值的误差插值的误差10Ex

8、21已知函数已知函数f(x) 在三个相异结点在三个相异结点 x0，x1，x2，处处的函数值的函数值 y0，y1，y2，且函数在点且函数在点x1处的导数值为处的导数值为m1，推导三次插值多项式推导三次插值多项式P(x)及其插值余项及其插值余项R(x)的表达式的表达式Ex 22. .已知实验数据如下已知实验数据如下： x 1 2 3 4 y 10 30 50 80求二次多项式拟合函数求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 23 利用数据表利用数据表 t2 1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求线性拟合函数求线性拟合函数P(t) = a0 + a1t 的常数项系数的常数项

9、系数a0。 11Ex24.推导左矩形求积公式推导左矩形求积公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba Ex25. 求复合中矩形公式求复合中矩形公式的截断误差的截断误差 10)5 . 0()(njbahjafhdxxfEx26.取取h=(b a)/3，令令x0= a，xj= a + jh （j =0，1，2，3）。）。利用两点插值公式求下面开型数值求积利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数公式的系数A1、A2 )()()(2211xfAxfAdxxfba 12Ex27.给定积分给定积分当要求误差小于当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时时用复合梯形公式计算时, 需要需要

10、计算多少次函数值？计算多少次函数值？ dxxex 31sinEx28. 验证验证，复合梯形公式与复合复合梯形公式与复合Simpson 公式之公式之间有如下关系间有如下关系43122mmmTTS Ex29.试推导数值微分公式试推导数值微分公式 )2()(8)(8)2(121)(00000hxfhxfhxfhxfhxf 的截断误差的截断误差。 13Ex31.证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程y=2a x试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明Ex30. . 设函数设函数f(x)在区间在区间a，b上具有五阶连续导函上具有五阶连

11、续导函数数。取取h=(b a)/n，令令x0= a，xj= a + jh。求证，下面求证，下面数值二阶导数的差分格式具有数值二阶导数的差分格式具有4 4阶精度阶精度 21111)()(2)()()(10)(121hxfxfxfxfxfxfjjjjjj Ex 32. Adamas公式求一阶常微分方程公式求一阶常微分方程，两步显格式两步显格式和隐格式和隐格式yn+2 = yn+1 + h3f(xn+1，yn+1) f(xn，yn)/2；yn+2=yn+1+h5f(xn+2, yn+2)+8f(xn+1, yn+1) f(xn, yn)/1214Ex33.初值问题有解初值问题有解y(x)=0.5a

12、x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明为欧拉方法得到的数值解，试证明y(xn) yn = 0.5 a h xnEx 34 将积分上限函数将积分上限函数 xdttxxf022)exp()exp()(转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二阶方法阶方法15设设f(x)C 2a，b，则带余项梯形公式可以表示为，则带余项梯形公式可以表示为 babadxxxfbfafabdxxf)()(21)()(2)(2 其中其中)()(2bxaxx 16第一章第一章 思考题思考题1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出

13、部分在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分数值分析课中主要讨论误差。数值分析课中主要讨论误差。 2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明子说明 第二章第二章 思考题思考题1.二分法收敛定理对于迭代数列的误差是如何估计的？二分法收敛定理对于迭代数列的误差是如何估计的？ 2.2.牛顿迭代法和割线法各有什么特点？牛顿迭代法和割线法各有什么特点？ 3.3.描述将牛顿迭代法推广到二元非线性方程组求解问描述将牛顿迭代法推广到二元非线性方程组求解问题的

14、算法，以手机定位问题为例子，写出数学描述和题的算法，以手机定位问题为例子，写出数学描述和求解方法。求解方法。 17第三章第三章 思考题思考题第四章第四章 思考题思考题高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需高斯消元法消元过程的目标是什么？消元过程需用多少次乘除法？有何数学理论支持用多少次乘除法？有何数学理论支持 解三对角方程组的消元过程有何特点？解三对角方程组的消元过程有何特点？ 矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数是如何定义的何定义的 解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组的直接法有何不同？的直接法有

15、何不同？ 解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向量序列的误差是如何估计的？量序列的误差是如何估计的？ 迭代法求解线性方程组的本质是什么？迭代法求解线性方程组的本质是什么？ 18第五章第五章 思考题思考题第六章第六章 思考题思考题代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ Runge反例主要说明一个什么样的问题？反例主要说明一个什么样的问题？ 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数有何特点？有何特点？ 曲线拟合的最小二乘法有何特点？曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？ 19第七章第七章 思考题思考题第八章第八章 思考题思考题插值型求积公式有何特点？插值型求积公