导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题

1、导数中的不等式证明命题角度1构造函数【典例1】已知函数fx1,g(x)xae-x-e1bx,若曲线yfx与曲线ygx的一个公共点是xA1,1,且在点A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)证明：当x1时，fxg(x)命题角度2放缩法【典例2】已知函数f(x)(xb)(ea)(b0),在(1,f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a,b;(2)若m2f(x)mxx.【典例3】已知函数fxxInxax0时，若关于x的不等式fx0恒成立，求a的取值范围;,2n1nLlnnn1n223N时,证明：2771n21n3【典例4】已知函数工2lnx2fxxe(1)求函数fx的单调区间;(

2、2)证明：当x0时,都有fxln命题角度3切线法【典例5】已知函数fxexx2.(1)求曲线fx在x1处的切线方程；px(2)求证：当x0时，e_21lnx1.x命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例6】若x,a,b均为任意实数，且2222一，a2b31,则xalnxb的取小值为A.3V5B.18C.3质1D.196立【变式训练】Jxa2ex2启2a2,其中e2.71828,则D的最小值为A.2B.3C.21A.3122【能力提升】对于任意b0,aR,不等式ba2lnba1m2m恒成立，则实数m的最大值为A.eB.2C.eA.3命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例7】(2018年安庆

3、市二模)已知函数fxx2axblnx,曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y2x.(1)求实数a,b的值；(2)设Fxfxx2mxmR,x1,x20%x2分别是函数Fx的两个零点，求证：Fx1x20.【典例8已知函数fxex,gxax2bx,a,b(1)当b0时，方程fxgx0在区间0,(2)当ab0时，设x1,x2是函数FxfxR.上有两个不同的实数根，求a的取值范围;gx两个不同的极值点，【典例9】已知函数fxexax有两个极值点x1,x2(e为自然对数的底数).(1)求实数a的取值范围；(2)求证：fx1fx22.【典例10】已知函数fxx2xa2有零点X,x2,函数gxx2a1x2有零

4、点x4，且x3xx4x2,则实数a的取值范围是99A.2B.044C.2,0D.1,命题角度5函数凹凸性的应用【典例11】已知函数fxx1lnx,曲线f(x)在x1处的切线方程为yaxb.(2)求证：1n2回16(1)求证：x1时，fxaxb；2,nlnn2222一n3n【典例12】已知函数fxxlnxax1,aR.(1)当x0时，若关于x的不等式fx0恒成立，求a的取值范围;(2)当x1,时，证明：吆lnxx2x.e【典例13】已知函数fx2axxxlnx,gx-(1)若fxgx在1,上恒成立，求实数a的取值范围;(2)求证:d1d2n-1212L12e.n1n1n1【典例14函数fxlnx

5、1ax的图像与直线y2x相切.(1)求a的值；、-2n!(2)证明：对于任意正整数n,nnen1-nne2.n!【典例15】已知函数fx(xb)(exa)(b0)在(i,f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a,b;m(12e)x2x111e(2)若方程f(x)m有两个实数根x1,x2,且x1x2,证明:导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度构造函数命题角度放缩法命题角度切线法命题角度二元或多元不等式的证明思路命题角度函数凹凸性的应用

6、命题角度1构造函数【典例1】已知函数fxInx,、1,g(x)xae1bx,若曲线yfx与曲线ygx的一个公共点是A1,1,且在点A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)证明：当x1时,g(x)【解析】(1)a1；(2)g(x)g(x)Inx0,Inx1Inx2xg(x)Inx-2""x因为xInx-2""x°,所以hx在1.单调递增,0,Inxexxe所以当x1时,xg(x)【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明命题角度2放缩法【典例2】

7、已知函数f(x)(xb)(exa)(b0),在(1,f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a,b;(2)若m0,证明：f(x)mx2x.【解析】(1)a1,b1;(2)由(1)可知f(x)(x1)(ex1),f(0)0,f10,由m0,可得xmx2x,令g(x)x1ex1x,则g(x)x2ex2,当x2时，g(x)x2ex220,当x2时，设h(x)g(x)x2ex2,则h(x)x3ex0,故函数g(x)在2,上单调递增，又g(0)0,所以当x,0时，g(x)0,当x0,时，g(x)0,所以函数g(x)在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，故g(x)g(0)0,即x1ex1

8、xmx2x.故f(x)mx2x.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3】已知函数fxxlnxax1,aR.(1)当x0时，若关于x的不等式fx0恒成立，求a的取值范围；(2)当nN*时，证明：一ln22ln2-Lln2口2n42nn1【解析】(1)1,;(2)设数列an,bn的前n项的和分别为&一,二,则2n4n1,S1n由于an二SnSn1n,解得a,2,同理，bnn所以只需证明an,2n1.lnbnn所以1时，有xlnxx1,即lnxn1一1,则lnUn2n1Innnn121所以,223,2n111

9、ln2lnLln-2n2n2再证明£上二一1一，亦即lnUnnn1n.n1n所以只需证因为lnnnn=1现证明21nxxx1.x所以函数hx在1,上单调递减,所以当n1n2x1时，2lnx1,x-恒成立,所以对数列an,ln2*，0n分别求前n项的和,分别视为两个数列的前【典例4】已知函数n22令hx2lnxxxx2nln2InLIn2n42n【思路总结】待证数列不等式的一端是n项之和（或积）的结构，另一端含有变量n时，可以将它们n项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系2lnx2fxxe（1）求函数fx的单调区间;(2)证明：当x0时，都有fxlnx1

10、【解析】(1)fx21xxlnxxxe0,x1时,x0,xlnx0,所以x0,f1时，10,xlnx0,所以gx0,fx0,所以函数fx0,1上单调递增，在1,上单调递减;(2)要证明fx22lnx1ft,即证eexxlnxInx令gx1*此*,贝19*1lnx-1.1.当0xr时，gx0,nxf时,ee所以函数gx在0,4上单调递增，在e上单调递减,所以1xxlnx1口.e要证1xxlnxlnx1只需再证lnx1x即可.易证lnxx1,当且仅当x1时取等号(证明略)，所以01n所以曲线fx在x1处的切线方程为ye2x1e1,即ye2x1;-10-当xln2时，g当xln2时，gx所以函数,l

11、n2上单调递减,在ln2,上单调递增,gxminln2fIn2所以函数x2在0,上单调递增,由于曲线1处的切线方程为y2x1,f1e1,可猜测函数fx的图象恒在切线先证明当x0时,ex2xe2,hln2时，hx0,当xln2时，h所以hx在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增,3e0,h10,0ln21,所以所以存在%0,ln2,使得hx°所以当0,x0U1,时，hxx0,1时,所以h在0,%上单调递增，在%,1上单调递减，在1,上单调递增.因为h0,当且仅当x1时取等号,所以当0时，exx2e2变形可得ex2ex1x,又由于xlnx1,当且仅当x1时取等号（证明略），2ex1

12、.lnx1,当且仅当x1时取等号【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题命题角度4二元或多元不等式的解证思路-11-【典例6】若x,a,b均为任意实数，且2一.22.,一，.1,则xalnxb的取小值为【解析】由于a,b均为任意实数，且【变式训练】设D.xa*2ex2,aa2,其中e2.71828,则D的最小值为A.3在B.18C.3j21D.1967222-.、.a2b31,所以动点Pa,b到定点C2,3的距离为定值1,亦即动点Pa,b的轨迹是以C2,3为圆心，半径r1的圆，A.壶B.而C.五1解析由于Jxa2ex2a2表示

13、点的轨A.31Px,ex与点Qa,2Va之间的距离|PQ|,而点Px,ex迹是曲线yex,点Qa,2Va的轨迹是曲线y22故xalnxb的取小值为3M2119642.正确答案为D【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题4xy0,如图所示，又点Qa,24到直线x0的距离为a,自然想到转化为动点Q到抛物线准线x1的距离，结合抛物线的概念可得D-xa2ex2.a2a2PQ|qh|1PQQF1,所以D|pq|QF11PF1,当且仅当P,Q,F共线,-12-又以F为圆心作半径为r的圆与yex相切，切点是

14、Px,e,此时的公切线与半径垂直,xexe1，x1即x0,所以PFmin金,故Dmin&1.正确答案为C【能力提升】对于任意b0,aR,不等式2lnba1m恒成立，则实数m的最大值为A.VeB.2C.eA.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例71（2018年安庆市二模）已知函数2xaxblnx,曲线x在点1,f1处的切线方程为y2x.(1)求实数a,b的值;(2)mxmR,Xi,X20XiX2分别是函数Fx的两个零点，求证:FX1X20.【解析】（1)1,b1；(2)fxxlnx因为Xi,X2分别是函数Fx的两个零点，所以Xi两式相减,lnXilnX2X2lnx1,，lnx2FX

15、1X2Xi_1_,X1X2X2lnXilnX2XiX2XiX2要证明F0,只需证1nxi1n”思路一：因为XiX2,只需证xX20,1,即证21nt令ht2ln所以函数h0,1XiX2xX1X2lnXilnX2X1X2,X1X2ln上X20.上单调递减,即证2lnt1t0.t由上述分析可知Fx1x20.-13-X1,“转化为t的函数，常把X1,x2的关【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把系变形为齐次式，设t9,tX2ln上,tX2X1X2,tex1x2等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法思路二：因为0x1x2,只需证1nxilnx20,X2设Qxlnxlnx2x20xX

16、2XX2XXX2t2.x1xX2X2X2；X2XxX22x2xx所以函数Qx在0,x2上单调递减，QxQx20,即证_2X2.X2X2Xxxlnxlnx2X2rrz,X2X由上述分析可知FX1X；0.【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于Xi（或X2）的一元函数来处理.应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明.此乃主元法.思路三：要证明F标0,只需证1nx11nx2-=.,XX2XX2即证设hx号x0,贝UhxxX2房,由对数平均数易得.lnXilnX2【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对

17、数，转化为对数【知识拓展】对于a0,b0,ab,则ab2式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法ba屈，其中ba称之为对数平均数.简证lnblnalnblna如下：不妨设baxx,只需证明土土2lnxQ即可,即2lnx吃（下略）.x1x【典例8已知函数fxx2e,gxaxbx,a,bR.（1）当b0时，方程fxgx0在区间0,上有两个不同的实数根，求a的取值范围;（2）当ab0时，设x,X2是函数Fxfxgx两个不同的极值点,证明：立广1n2a.【解析】（1）因为fxgx0,所以exax20,即Xa旦a2，X所以hx在0,2上单调递减，在2,上单调递增,-14

18、-要使方程fxgx0时,0在区间0,时，hx上有两个不同的实数根，则故a的取值范围是【一题多解】本题也可以变形为axX，转化为过原点的直线yXax与函数y3图象有两个交x(2)由题意，fx因为x,x2是函数Fxgx两个不同的极值点,Fx10,FX2,xi2axiX20,e2ax2两式相减得2aX1x2eeX1X2要证辽上2X1X2In2a,即证明X1X2e"2a,只需证e2X1eXiX2X1X2X1X2J,即e=e1,X2X1X2亦即XiX1X2-2-X1X2eeX.-2令X1X22只需证当t0时，不等式2tet2te易证所以2tet2te2e2t2ett1e,，,0上单调递减,Qt

19、Q00,即2tete2t10.综上所述,七也In2a成立.【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征,适当变形为两个变量之差(或比值)的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题【典例9已知函数fxexax有两个极值点。x(e为自然对数的底数).(1)求实数a的取值范围;点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点x2x(2)求证:fXiX2解析：(1)由于f12-X2aX-15-eaxax,Fxe2axa，令gxex10,解得x0.所以当x,0时，gx0；当x0,时，gx0.所以gxming01a.当a1时，gxfx0,所以函数fx单调递增，没有

20、极值点；当a1时，gxmin1a0,且当x时，gx;当x时，gx此时，gxfxexxa有两个零点x,x2,不妨设xx2,则k0x2,1，所以函数fxe-xax有两个极值点时，头数a的取值氾围是1,；2fx有两个零点，亦即函数yex与直线yxa有两个交点，如图所示，显然实数a的取值范围是1,【答案速得】函数fx有两个极值点实质上就是其导数,0上单调递减.(2)由(1)知，x,x2为gx0的两个实数根,卜面先证Xx20,只需证gx2gx10.由于gx2ex2x2a0,得aex2x2,所以gx2ex2x2aex2ex22x2.1x设hxee2xx。，贝Uhxe20,e所以hx在0,上单调递减，所以h

21、xh00,hx2gx20,所以Kx20.由于函数fx在xb0上也单调递减，所以fx1fx2要证fx1fx2即证ex2ex2x2设函数kxexe设xkxex所以x在0,所以kx在0,故当x0,时，所以fx2fx22,只需证fx2?0.xx22,x0,ex2x,则x上单调递增，x上单调递增，kxxx2eex20,2,亦即fx1ffx22,，贝Ukxexex2x.exex20,00,即kx0.k00.则ex2ex2x220,x22.【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移,依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的xx20,如果

22、“脑中有形',如图所示，并不难得出-16-命题角度5函数凹凸性的应用【典例10】已知函数fxx2xa2有零点X1,x2,函数gxx2a1x2有零点x3,x4,且A.C.X4x2,则实数a的取值范围是2,0D.解析：思路1:因为结合函数图象，则gX1B.1,fX1X1,如图所示,gx2fx2a1x2a1x20,若a0,则X11,不适合题意,则a0；当a0时,X120,即a2,1X2,所以f1所以实数a的取值范围是2,0.正确答案为C【评注】同理，gX3X3a1X30a1X3,gX4X4a1X40a1X42,所以实数a的取值范围是2,0.思路2:因为函数fa2有零点x,x2,所以x22a的

23、解分别为X1,X2因为函数gxa1x2有零点X3,X4,所以x2x2aX的解分别为X3,若a0,如图，总有X1X3,不适合题意;a1,a22a9亦即14a_92令hxx2x若a0,如图，总有X3X,欲使X4X2所以-.4a9aa22a9,即0v：4a9a.a22a9,两边平方，化简可得44r"91,所以a2.所以实数a的取值范围是2,0.正确答案为C思路3:因为函数fxx2xa2有零点x1,”,所以x2x2a的解分别为xbX2,因为函数gxx2a1x2有零点x3,x4,-17-2所以x1a的解分别为X3,X4,X令hxx2x2,uxx21,两个函数的交点的坐标分别为1,0,1,2,2

24、,0,如图所示，X结合函数图象，欲使X3X1X4X2,则2a0,所以实数a的取值范围是2,0.正确答案为C思路4:(特例法)令a2,则函数fxx2x有零点X1=0,X21,函数gxx2x2有零点x32,x41,此时满足x3x1<x4x2,因此排除B;再令a1,则函数fxx2x1有零点x=,X2-,函数gxx22有零点22X3短,X4夜，此时满足X3mX1=S5<X4戊X235,因此排除A,D;22所以实数a的取值范围是2,0.正确答案为C命题角度5函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自

25、然、过程简洁的图解【知识拓展】一般地，对于函数f(X)的定义域内某个区间D上的不同的任意两个自变量的值x1,x2,总有f(广)"'"(心(当且仅当X1=X2时，取等号)，则函数f(X)在D上是凸函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.f(X)0,则f(x)单调递减，f(x)在D上为凸函数；X1f(x1)f(x2)八总有f(±2)12(当且仅当X1=X2时，取等号)，则函数f(X)在D上是凹函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方f(x)0,则f(x)单调递增，f(x)在D上为凹函数【

26、典例11已知函数fXX1lnx,曲线yf(x)在x1处的切线方程为(1)求证：x1时，fxaxb；(2)求证:ln2ln71nn22.Q16n3【解析】(1)函数fx的定义域为0,lnx-18-又f12,f10,所以该切线方程为y2x11lnx2x2x1,1时,所以g1,上单调递增,所以1,上单调递增,所以ax所以所以由（1）知:lnn222二一n3nnlnk222k2k3化简可得nlnk22,n1时，xInx1Ink2k231【方法归纳】本题fxx1lnxx1Inx0,说明函数x1lnxx1为凹函数，因此有x1lnx2x1.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第(2)小题的解决而服务的，

27、呈现“层层递进”的特点【典例12】已知函数fxxlnxax1,aR.x0时，若关于x的不等式fx0恒成立,求a的取值范围;x1,时，证明：eXx1lnxx2x.e,1一一lnx-恒成立,x所以ux在0,1上单调递减，在1,上单调递增,-19-所以ux的最小值为uxmin所以a1,即a1,故a的取值范围是1,；（2）有（1）知a1时，有xlnxx1,所以inx.x要证eA_linx,可证上上x1,只需证ex1x,eex易证exx1（证明略），所以ex1x；要证inxx2x,可证inxx1,易证inxx1（证明略），由于x1,x10,所以x1xx1x2x,所以inxx2x,综上所述，当x1,时，证

28、明：3口inxx2x.e【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法【典例13】已知函数fx（1）若fxgx在1,上恒成立，求实数a的取值范围;（2）求证：1一二1一Jl1jve.n1n1n12axxax1【斛析】（1）fxgx等价于xinx0,即xinx0,22ax11a2ax记hxinx，贝Uhx，2x22x当a0时，hx0,hx在1,上单调递增，由h10,hxh10,所以xhx0,即fxgx不恒成立；当0a2时，21,x1,2时，hx0,hx单调递增，fxgx不恒成

29、立；aa当a2时，x1,hx0,hx在1,上单调递减，hxh10,所以xhx0,即fxgx恒成立；故fxgx在1,上恒成立，实数a的取值范围是2,;-20-(2)当a2时,gx在1,上成立，即Inxx1,1,2,L所以nInk1In所以【方法归纳】当a2时,在函数yInx的图象的上方，【典例14】函数fxIn(1)求a的值;yInx,由于y所以Inxx1.0,上单调递减，所以yInx为凸函数，则切线x1ax的图像与直线2x相切.(2)证明：对于任意正整数2n!n!设直线y2x与曲线yfx相切于点Pxo,y。.依题意得:y02x0y°In%ax。Inx01x01x0x010,*)In所

30、以，当0时,0,x单调递增；当x0时，gx0,gx单调递减.当x0时，g取得最小值g00,所以gx故方程(*)的解为x00,此时a1.-21-n（2）要证明nnen!即证nn只需证efn1In一nn2InnnnInn由（1）知,即ln1因此In1一nIn上式累加得：lnIn1要证明_2nJn!即证只需证n_JUlnnn1e-,nInn,nInnnnnLInn2令hxInx所以当x0时,0,单调递减；当1x0时,0,hx单调递增.当x0时，hx取得最大值0,由Inx1x得:1ln1一nInIn上式累加得:In综上，nne2n!n!【审题点津】第（2）小题待证不等式的证明途径只有从第（1)小题的探究切线的过程中挖掘，这是切线放缩法的拓展运用【典例15】已知函数fx(xb)(exa)(b0)在(1,f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a,b;（2）若方程f（x）m有两个实数根x,x2，且xx2,证明：x2x1m(12e)1e【解析】（1）ab1;-22-(2)由(1)可知f(x)x1ex1,f(0)0,f(1)0,f(x)x2ex1,1设f(x)在1,0处的切线万程为h(x),易得h(x)-1x1,e1令F(x)f(x)h(x),F(x)x1e11x1,e1则F(x)x2ee当x2时，F