清华微积分(高等数学)课件第十三讲 不定积分(一)

1、2022-4-291P129 习题习题5.2 1(1). 6. 9.P133 习题习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).作作 业业预习：预习：P135P1351411412022-4-292第十三讲第十三讲 不定积分（一）不定积分（一）一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念二、基本积分表二、基本积分表三、凑微分法三、凑微分法2022-4-293一、原函数与不定积分概念一、原函数与不定积分概念（1 1） 从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方

2、等，都是互逆的运算。乘方与开方等，都是互逆的运算。 微分运算是对一个可导函数求导数。微分运算是对一个可导函数求导数。微分运算的逆运算是什麽？微分运算的逆运算是什麽？问题：问题：).()(),(),(xfxFxFxf的的导导函函数数正正是是使使要要求求这这样样一一个个函函数数已已知知函函数数这就是求原函数和不定积分的运算。这就是求原函数和不定积分的运算。2022-4-294)()(?)(),(tStvtvtSS 求求导导数数：要要求求瞬瞬时时速速度度已已知知运运动动规规律律（2 2） 从物理问题看从物理问题看)()(),(:?)(),(:tvtStStSStv 使使求求原原函函数数要要求求运运动

3、动规规律律已已知知瞬瞬时时速速度度反反问问题题2022-4-295.)()()()()()(,),(.)(上上的的一一个个原原函函数数在在是是则则称称或或都都有有使使可可导导函函数数若若另另有有一一个个上上有有定定义义在在区区间间设设IxfxFdxxfxdFxfxFIxxFIxf （一）原函数的定义（一）原函数的定义.),(3)()(123上上的的一一个个原原函函数数区区间间在在是是例例 xxfxxF.)1, 1(11)(arcsin)(22上上的的一一个个原原函函数数区区间间在在是是例例 xxfxxF2022-4-296关于原函数有两个理论问题关于原函数有两个理论问题: :（a a）原函数的

4、存在问题）原函数的存在问题.)(,)(上上存存在在原原函函数数在在区区间间则则上上连连续续在在区区间间若若函函数数IxfIxf结论结论: :（b b）原函数的结构问题）原函数的结构问题.3)(3)(,2323上上的的原原函函数数在在也也是是RxcxxcxRc 一个函数若存在一个原函数，一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。则它必有无穷多个原函数。2022-4-297IxxfxFCxF )()()(.,)()(,)()(为为任任意意常常数数其其中中原原函函数数的的全全体体是是则则原原函函数数上上的的一一个个在在区区间间是是若若CxfCxFIxfxF 定理定理1证证一一个个原原函函数

5、数上上的的在在是是）证证明明（IxfCxF)()(1 原原函函数数上上的的一一个个在在是是IxfCxF)()( 2022-4-298上上的的任任何何一一个个原原函函数数在在是是设设IxfxG)()(IxxfxfxFxGxFxG 0)()()()( )()(推推论论知知由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的IxCxFxG )()(IxCxFxG )()(即即的的形形式式都都可可以以表表示示为为上上的的任任意意一一个个原原函函数数在在）证证明明（CxFIxf )()(22022-4-299.)()(),()(上上的的不不定定积积分分在在区区间间称称为为其其原原函函数数的的全全体体则则上上存存在在

6、原原函函数数在在区区间间设设IxfCxFxFIxf CxFdxxf)()(积积分分常常数数积积分分号号（二）不定积分的定义（二）不定积分的定义记作记作:被积函数被积函数2022-4-2910CxFy )(积积分分曲曲线线族族xxyo积分曲线积分曲线)(xFy 积分曲线与积分曲线族积分曲线与积分曲线族2022-4-2911 0210cos)(2xCxxCxxg 00sin)(xxxxxf设设.)1, 0()()2()()()1(点点的的积积分分曲曲线线过过求求的的不不定定积积分分吗吗？是是问问：xfxfxg例例3解解不是！不是！处处不不连连续续在在点点因因为为0)( xxg(1)2022-4-2

7、912的的积积分分曲曲线线族族首首先先要要求求)()2(xf 0210cos)(221xCxxCxxG上上的的原原函函数数在在是是若若RxfxG)()(连连续续在在0)( xxG)0()(lim)(lim00GxGxGxx 121 CC 01210cos)(2xCxxCxxG分段积分，得分段积分，得2022-4-291301coslim)0(0 xxGx又又01121lim)0(20 xxGx0)0( GxxGxsin)(,0 时时当当)()(,),()(xfxGxG 且且上上可可导导在在于于是是 01210cos)(2xCxxCxdxxfxxGx )(,0时时当当2022-4-2914 01

8、210cos)(2xCxxCxxGy即即的的积积分分曲曲线线族族是是)(xf得得令令,1)0(,0 Gx0 C 01210cos)(2xxxxxFy点点的的积积分分曲曲线线过过是是)1, 0()(xf2022-4-2915)()()1(xfdxxf dxxfdxxfd)()( Cxfdxxf)()()2( Cxfxdf)()(（三）不定积分的性质（三）不定积分的性质 （1） 不定积分与微分互为逆运算不定积分与微分互为逆运算2022-4-2916 dxxgdxxgdxxgxf)()()()()3( dxxfkdxxkf)()()4(dxxfkxfk )()(2211 dxxfkdxxfk)()(

9、2211综合综合(3)(4) （2） 线性运算性质线性运算性质2022-4-2917不定积分计算的基本思想：不定积分计算的基本思想： 求不定积分是求导的逆运算求不定积分是求导的逆运算 导数基本公式导数基本公式积分基本公式积分基本公式 微分法微分法积分法积分法 反想反想 逆运算逆运算 怎样计算不定积分？怎样计算不定积分？2022-4-2918 dxx )1( dxx1)2( xdxsin)3( xdxcos)4(Cx 11 )1( Cx lnCx cosCx sin二、基本积分表二、基本积分表2022-4-2919 dxax)5( dxex)6( xdx2sec)7( xdx2csc)8( sh

10、xdx)9( chxdx)10(Caax ln1Cex Cx tanCx cotCchx Cshx 2022-4-2920 dxxdxxdxxdxx222211)14(11)13(11)12(11)11(Cx arcsinCx arccosCx arctanCxarc cotCaxaaxdx arctan1)15(222022-4-2921Caxaxaaxdx ln21)18(22Caxxadx arcsin)16(22Cxaxxadx )ln()17(2222Cxxxdx csccotlncsc)20(Cxxxdx sectanlnsec)19(2022-4-2922 dxxxxx)1112

11、(423计计算算例例 dxxdxxdxxdxdxx231112原原式式421x 解解221x x x2 x1 C 2022-4-2923 dxxx112522计计算算例例dxxx 13)1(222原式原式dxxdx 11322Cxx arctan32解解2022-4-2924 dxxx22cossin16计算计算例例dxxxxx 2222cossincossin原原式式dxxdxx 22sin1cos1Cxx cottan解解2022-4-2925）（目目标标是是积积分分基基本本公公式式形形再再分分项项通通过过代代数数或或三三角角恒恒等等变变直直接接分分项项小小结结： xdxdxxx222ta

12、n)2()1(1)1(练练习习题题：dxxxxx )1()1(2222 dxx)1(sec22022-4-2926?5cos dxx问问：cxxdxdxx 5sin51)5(5cos515cosux 5视视cxdxx sincoscuduu sincos或或利用微分形式不变性利用微分形式不变性)5(5cos)5(sinxdxxd dxxd5)5( 2022-4-2927则则可可微微且且设设,)(,)()(xucuFduuf cxFdxxxf)()()( 三、凑微分法三、凑微分法定理定理1：（凑微分法）：（凑微分法）证证利用微分形式不变性利用微分形式不变性)()()(xdxFcxFd duuF)

13、( duuf)( dxxxf)()( 2022-4-2928 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(cuF )(cxF )( 凑微分凑微分怎样应用凑微分法怎样应用凑微分法 ？dxx)( 2022-4-2929dxx 5211例例)52(52151521xdxdxx duu 151CxCu 525252xu52 令令解解向哪个积分公式凑向哪个积分公式凑 ？cuduu 212022-4-2930 xdxtan2例例xdxxdxxxdxxsincos1cossintan duu 1CxCu coslnlnux cos令令解解2022-4-2931 xdxxdx32sin)2(;sin)1

14、(3例例dxxxdx 22cos1sin) 1 (2cxx 2sin412解解 )2(2cos4121xxddx xdxx sinsin2 xdx3sin)2( )(cos)cos1 (2xdxCxx 3cos31cos2022-4-2932 222222)3(;)2(;)1(4axdxxadxaxdx例例 )(1)()1(2222axaaxadaxdxcaxa arctan1解解 )1 (222axadxcaxaxdax arcsin)()(112 22)2(xadx2022-4-2933 22)3(axdx)(1)(121axdaxaxdaxa dxaxaxa)11(21 CaxaxaCa

15、xaxa ln21)ln(ln212022-4-2934 xxdx15例例 xxd12原原式式 xxd1)1(2Cx 14解解2022-4-2935dxxx 4cos42sin6例例dxxxx 4cos4cossin2原式原式 222)(cos4)(cosxxdCx )2cosarcsin(2解解2022-4-2936 xedx17例例dxeeedxexxxx 1111dxeedxxx 1 xxeedx1)1(解解Cexx )1ln(2022-4-2937 xdxcos8例例 xxddxxxdxx22sin1)(sincoscoscos1Cxx sin1sin1ln21Cxx cossin1l

16、n解解Cxx tansecln2022-4-2938)ln1 (ln112lnln1xdxx 原原式式dxxxx ln12ln9例例)ln1()ln1(21xdx 解解)ln1()ln1()12(ln21xdx Cxx 2123)ln1)(12(ln2)ln1(322022-4-2939dxxexxx )1()1(10例例dxxexeexxxx )1 () 1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1 ()(xxxxexexedCxexexx 1ln解解2022-4-2940)(baxdadx )(212xdxdx )(xxeddxe )(sincosxdxdx )cos(sinxdxdx )(ln1xddxx )(21xddxx )(arctan112xdd