观测误差的基本知识第3讲

1、五 算术平均值及其中误差 在一定的观测条件下，对未知量观测了n次，观 测值为Li(I=1,2n), 求该量的最或然值未知量的真值为X)2 , 1(niXLii将上式相加nXL )0,(nnnLxnnLX当其中平均值XxnLnnlimlim所以：nLnLnLxn21各观测值的中误差均为m2222222111mnmnmnmxn项nmmx六 同精度观测值的中误差nm同精度观测值中误差的计算公式：)2 , 1(niXLii由于X往往是未知数，所以一般不能用上式计算中误差引进改正数)2 , 1(niLxvvii)2,1()(niXxvii上式分别自乘并求和 2)()(2XxnXxvvv 2)(2xXxv

2、nvvn全式除以n对改正数定义式求和 0LnLnLnxv nXxnxnnLXniXLxii所以得：由)2, 1(nmnnnnnnnx221312122222122212)(2nmnvvn2因此 nmnvvm221nvvm同精度观测值中误差计算式:算术平均值中误差计算式:)1(nnvvnmmx. 2222xxxmnmm所以因为编号L(m)v(mm)vv1148.064 -2.66.82148.0583.4 11.63148.063 -1.62.64148.062 -0.60.45148.0601.42.0 x=vvv148.061023mm精度评定mx= 1.1 mm2.4m=例6-7 对某段距

3、离进行了5次同精度测量，观测值列于下表中，求这段距离最或然值，观测值中误差及最或然值中误差七 广义算术平均值及权广义算术平均值 对某量进行了n次等精度观测 211112121,nnnnnllllll1111211111niinlnlllnL2211112212211njjnnnnlnlllnL设观测值的中误差为m 则：2121nmmnmmLL当 时， 精度不等，用不等精度的L求最或然值21nn21, LL 22222221222122112111212121LLLLnjjniimmmmLmmLmmnnLnLnnnllnlx将上式 换成另一常数2m2令22iimp212211ppLpLpx(权的

4、定义式)nLLL21,nppp21, PpLpppLpLpLpxnnn212211观测值权最或然值：当nppp21即为等精度观测， 最或然值： nLpLLLpxn) 111 ()(21权当 时 所以 是权等于1的观测值中误差im1ip等于1的权称 单位权单位权 ，权为1的观测值称 单位权观测值单位权观测值为单位权观测值的中误差，称 单位权中误差单位权中误差求权公式 22iimp), 2 , 1(ni 是常数， 2222122222212211:1:1:nnnmmmmmmppp 权权反映了观测值之间相互精度关系。就计算p值来说，不在乎本身数值的大小，而在于确定它们之间的比例关系。 可以是同一个量

5、的观测中误差，也可以是不同量的观测中误差，即权可以反映同一个量的若干观测值之间精度高低，也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。im例6-8已知 的中误差 ， 中误差 ， 的中误差 ，求各观测值的权。 1Lmmm31mmm42mmm53解：设 mmm311)3()3(222121mp16943222222mp25953222323mp这时2591691321ppp定权时,也可以令（一个中误差为1mm的虚拟观测值为单位权观测值）2L3Lmm191)3(1222121mp16141222222mp25151222323mp25116191321ppp这时: : :321321pppppp1L（ 单

6、位权观测值）例6一9 按同精度丈量三条边长，得：.6,4,3321kmskmskms试定这三条边长的权。解：每公里的丈量中误差设为 kmkmkmmsmmsmmsm332211ikmkmiismmsp2223 . 2 . 1i令cmkm2iiscp )3 , 2 , 1( i同精度丈量时，边长的权与边长成反比。同精度丈量时，边长的权与边长成反比。326414434332211scpscpscp丈量 公里距离的权为单位权，其中误差为单位权中误差。kmm设C=4则2s则：例6-10图示有一个结点的水准网, A,B,C,D的高程为已知，高差为h1,h2,h3,h4 ，水准测量等级相同，路线长S1=4k

7、m,S2=2km,S3=2km, S4=3km.确定这四条水准路线的权。 1h2h3h4hABCDE解：设每公里水准测量中误差为kmmkmihmsmiikmkmiismmsp222令cmkm2iiscp 则：ni, 2 , 1每公里水准测量精度相等，水准路线观测高差的权与路线长成反比。每公里水准测量精度相等，水准路线观测高差的权与路线长成反比。iiihncpmnmi,站ni2 , 1水准测量中，按水准路线的测站数定权设 一测站高差中误差为站m各测站水准测量精度相等，水准路线观测高差的权与测站数成反比。各测站水准测量精度相等，水准路线观测高差的权与测站数成反比。例6一11 设对某角作三组同精度观

8、测，第一组测4测回，其算术平均值为 ；第二组测6测回，其算术平均值为 ；第三组测8测回，其算术平均值为 ；求 的权。123321,22222222,mnnmmpnmmiiiiii解：cnpcmii则：22令由不同观测个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权由不同观测个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。与观测值个数成正比。mc即：设：1864321ppp则：（取一测回观测值中误差为单位权中误差）在应用定权公式权时，在应用定权公式权时， C或或 C是可以任意设定的，但在一是可以任意设定的，但在一个平差问题中，只能设定一个个平差问题中，只能设定一个C或或 C的值。的值。观测值

9、函数的权设有独立观测值 ，它们的中误差为 ，权为 ，观测值函数为 。 求 的权。nLLL,21nmmm,21nppp,21nLLLfz21、z22222221221nxnxxzmxfmxfmxfmnnzpLfpLfpLfp22222212212pffpfpfpfpnnz11112222121按误差传播定理按权的定义式令iifLf例6-12 求广义算术平均值 的权ppLx 解： pLppLppLpppLxnn2211 nnppppppx2211 pppppppppppppppnnnx1111112122222121ppx广义算术平均值的权，等于观测值权之和广义算术平均值的权，等于观测值权之和将上

10、式全微分按权倒数传播律例6-13 设三角形三内角的观测值为 ，它们的精度相同，其权为 。设三角形闭合差 。观测角值经闭合差反号平均分配后，得 ， ， ，求 的权倒数 。 pppp180、333、ppp111和、解：已知 考虑 不是独立的观测量3,用 代入上式18031313218031全微分313132按权倒数传播律ppppp321911911941pp321pp321同理八 单位权中误差的计算公式等精度观测值中用 计算观测值中误差 1nvvmnm或在不等精度观测中先求单位权中误差 ，再得观测值中误差 iipm), 2 , 1(ni观测值： ； 权： ；中误差： ；真误差iLipimi计算一组

11、虚拟观测值)2, 1(nipLLiii1222222222iiiiiiiiiiLpppppmmpmpmi得：则：即由由此知， 为单位权观测值，其中误差为单位权中误差iLiL的真误差nipiii, 2 , 1npppnmnnLi2222211np用改正数 计算单位权中误差niXLLxviiii,2, 1v),2, 1(nivXxvxiiix为带权平均值 的真误差，将上式两边平凡并乘xip), 2 , 1(22nipvpvvppxixiiiiiiii求和ppvppvvxx22因为 将它乘以 后求和), 2 , 1(niLxviiip pLxppv0:pLppLppvppLX得顾及xxm又 222p

12、vvpppvvpmpvvpx22 pvvn则：1npvv例6-14 如图示，从已知水准点A、B、C、D经四条水准路线，求得E点的观测高差Hi及水准路线长度Si均列于表中。求E点的最或然高程及其中误差。1ABCDE234E点路线长V观测高程pvpvv备注(m)(km)(mm)48.75945.62.19920187=48.78432.83.05-16 -487582048.75840.32.48102526048.76751.41.95123mx=x=p=p v p vv6.548.7689.6701208P=100/Smmnpvv203412081单位权中误差：iiisscp100权：mppHx768.48E点或然高程： mmpmx5 . 667. 920E点或然高程中误差：例6-15 附合水准路线如图，求C，D，E各点的最或然高程。ABCDEAChACSDEhCDhCDSDESEBSEBh . .解 求E点高程 EBBEDECDACAEhHHh