矩阵论_第1_2章_线性空间与线性变换 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮

1、矩阵论by 张亮Email: Tel:bout textbook教材： 矩阵分析简明教程，曾祥金，张亮，科学出版社，2010参考文献： 矩阵分析，Horn R A著，杨奇 译，机械工业出版社 高等工程数学，于寅，华中理工大学，1995A short historySuch is the advantage of a well-constructed language that its simplified notation often becomes the sourse of profund theories.-P.S. Laplace这就是结构好的语言的好处，它的

2、简化简化的记法的记法常常是深奥理论的源泉.A short history4000年前，Babylonians已经会解决22的线性方程组200 B.C. 九章解决了33的线性方程组自此之后发展缓慢！A short history：遇到障碍言辞数学符号数学丢番图(Diophantus of Alexandria), 约250A.C. 代数学之父 上帝让他的童年时代占一生的六分之一，又过了一生的十二分之一，他开始长胡子，再过一生的七分之一，上帝为他点燃婚礼的烛光，婚后第五年，赐给他一个儿子。天哪，这真是一个晚生的孩子，孩子活到他父亲一半的年龄时，残酷的命运之神就把他带走了；他花了四年的时间用数的科学

3、抚慰自己的悲伤，之后也就去世了。A short history：开始发展符号数学韦达(Viete, 1540-1603), 引入符号 笛卡尔(Descartes, 1596-1650), 解析几何，方法论，我思故我在 费马(Fermat, 1601-1665), 解析几何，数论，微积分，费马猜想 牛顿(Newton,1643-1727) 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716) .科学加速发展！A short history：线性方程组的解1693，Leibniz创造了行列式；1760，Cramer提出Cramer法则；1815，Cauchy(1789-1857)第一次系统定义行列式；1

4、811，Gauss(1777-1855)提出高斯消元法； A short history：matrix，创始人Arthur Cayley (1821-1895) 17岁入剑桥大学三一学院 20岁写了13篇文章，明确一生的研究方向 28岁入律师行，做了14年律师，其后入剑桥大学主要贡献：矩阵论，代数不变量，高维几何（相对论的理论基础之一）James Joseph Sylvester (1814-1897) 15岁入皇家学院，17岁剑桥大学；曾任保险精算 62岁入约翰. 霍普金斯大学；创立美国数学杂志（Mathematics Magazine） 南丁格尔，喜欢诗歌、发明数学名词 矩阵理论论的应用C

5、ayley正在为未来的一代物理学家锻造武器- Tait 量子力学的最佳语言Matlab=Matrix Liboratory 几乎所有的工程数学、科学计算 预备知识：线性代数1. 矩阵的运算；逆矩阵；2. 线性方程组的Gauss消元；3. 矩阵的秩；4. n维向量。：5413 nR 3120A22111A11013A37342A41 ,.,n21nnnnC),.,(),.,(2121,.,21n,.,n21X).(n21Y).(n21 ,.,21nnnnnC),.,(),.,(212100120110130030002137 :： 。M=X ： AX=b、 ： VWWWWWW212121 ： d

6、im（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1 W2）=0 W1 W2=0： 若若 dim（W1 W2）=0 ，则和为直和，则和为直和 W=W 1W2=W1 W2， ： 设在设在Rnn中，子空间中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 证明证明Rnn=W1 W2。（i） ATaaaTaaaTaaaTVVTnnnnnnnnnnnnn),.,(),.,(.,.,21212211222211221221111121记为的一组基。是上的线性变换，是线性空间设T的矩阵的矩阵, 0|,1011221122211211RxxxxxxxXVBij线性空间VXBXXBXTTT ,)

7、(两组基两组基 1， 2，, n ， 1， 2，, n ， （ 1 2 n）=（ 1 2 n ）CT（ 1 2 n ）=（ 1 2 n）AT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）B B=C1AC123 nmijnmijnjiijijbBaAbaBA)(,)( ,),(1,nTnTnTnnRyyYxxXYXyxyxyxYX),.,(,),.,(.),(112211nnynxyxyxYX.2),(22111 ),(),(设设 1， 2，, n 是内积空间是内积空间V的基，的基， ， V，则有，则有 =x1 1x2 2x n n = 1 2 nX； =y1 1y2 2y n n= 1 2 nY ， = =Y HAX， n1in1jjiji),(yx定义内积定义内积 在一个基在一个基 1， 2， n 中定义内积中定义内积 定义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A 。 度度量量矩矩阵阵 A ji0ji1F n),(),( ,432),0| ),(4321432144332211314321yyyyYxxxxXyxyxyxyxYXWxxxxx