第27章《相似》导学案

1、【新人教】九年级数学相似导学案班级：姓名：27.1 图形的相似1、自主探究:1、请观察下列几幅图片，你能发现些什么?各组图形，它们的形状。2、总结相似图形的概念。 叫做相似图形3、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗)二、探究1:.如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（总结:形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形或 而得到的。【巩固一下】1 .如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？答:2 .如图，图形af中，哪些是与图形（1）或（2）相似的？3、下列说法正确的是（）A、小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似B、

2、商店新买来的一副三角板是相似的C、所有的课本都是相似的. D4、观察下列图形，指出哪些是相似图形:探究2:1 、线段AB C加图所示，分别测量出两条线段的长度：AB= ,CD= 。这两条线段的比是： 。A B cd【归纳】：1、两条线段的比，就是两条线段长度的比。2 、在两条线段a与b的比刍中，“a”叫做比的前项，“b”叫做比的后项。b3 、成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如a 9 （即：a:b=c:d ）,我们就说这四条线段是成比例线段， 简称比例线段.b d2、（1） 一张桌面的长a 1.25m,宽b 0.75m,那么长与宽的比是 。（

3、2）如果a 125cm, b 75cm,那么长与宽的比是 。（3）如果a 1250mm, b 750mm ,那么长与宽的比是 。【总结】：（1）线段的比是一个没有单位的正数；两条线段的比与所采用的长度单位无关， 但在计算时要注意统一单位；（2）四条线段a、b、c、d成比例，记作a &或a : b c : db d三、讨论交流：1、比例式：形如a _c或a : b c : d的式子叫做比例式。其中a、d叫做比例式的 b db、c叫做比例式的。汇2 、比例式的性质：（1）基本性质：a 1d= 。即：两内项之积等于 之积。b d（2） a c b （该性质称为反比性质）。 b da（3） a c=

4、S ； 圣 。（该性质称为合比性质）。b dbb（4） a - - m k acem o （该性质称为等比性质）。b d f nb d f n四、课堂检测1 、已知：一张地图的比例尺是 1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为 3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约是多少 km分析：根据比例尺=图上距离，可求出北京到上海的实际距离.2 、如图，请测量出图中两个形似的长方形的长和宽（1）（小）长是 cm,宽是 cm （大）长是 cm 宽是 cm（3）你由上述的计算，能得到什么结论?（小）3、若aCC1 ,则 a ce=.bdf2 b df4、AB两地的实际距离为2500m在一张平面

5、图上的距离是 5 cm,那么这张平面地图的比 例尺是多少？27.1 图形的相似2、自主探究：1 、图中的B是由正 ABC放大后得到的，观察测量这两个图形，它们对应的角有什么关系？对应的边又有什么关系呢?2、对于图中两个正六边形，它们对应的角有什么关系？对应的边又有什么关系呢？【总结归纳】两个边数相同的多边形，如果它们的各组角分别对应,那么这两个多边形叫做相似多边形。即：;A A； BBi； CC1AB BC ACA1B1 B1C1 A1C1ABC和ABC 1相似二、探究：如图，左边格点图中有一个四边形，请在 右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形（建议画大小不一样的四边形）测量两个四边形的

6、各个角的大小以及各边的大小可发即：/ A=Z各组对应边缈寸应角。即. AB_ BC_ CD_ AD_0.()()()()【归纳总结】相似多边形的性质:1 、相似多边形的对应角,对应边的比即：: ABC和 ABC 1相似Ai；Bi； CABBCAC2 、相似比：相似多边形的比称为相似比.J t 1V问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：qL）工。口【注意】（1）相似比是具有一定的顺序性和对应性的。如一B CJAABC的相似比是指A BAB; AABC与八A B的相似比是指 AB: A B（2）两个全等图形的相似比为 ;反之,相似比为 的两个相似图形是全等形。三、讨论交流：例1、下列

7、说法正确的是（）A .所有的平行四边形都相似B .所有的矩形都相似C .所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似例2、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角 和 的大小和EH勺长度x .四、课堂检测：二1、 ABC与DEF相似，且相似比是2,则DEF与ABC与的相瞅比是（）A . 2B .3C .2 D ,43259 :叠净 J2、下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边 三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形.A. 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个3、如图所示的两个五边形相似，求未知边

8、 a、b、c、d的长度.4、已知四边形ABC前四边形A1B1C1D相似，四边形ABCD勺最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形 ABCD的最短边的长是6cm,哪幺四边除A；B1GD中最 长的边长是多少？ 工 5、如图，AB / EF / CD , CD 4, AB 9,若梯形 CDEF 与梯形 Feab 相似；求EF的长.6、如图，一个矩形 ABCD的长AD acm,宽AB bcm, E,F分别是AD,BC的中点,连接E,F ,当所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似时，求a: b的化7、已知四边形ABCD与四边形ABC Qi相似，且AB ： BQ : CQ :7:8:11:14

9、,若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长.| 一 一27.2.1相似三角形的判定一、自主探究：1、两个边数相同的多边形，如果它们的各组角分别对应 ，各组边对应那么这两个多边形叫做相似多边形。2 、相似多边形的对应角 ,对应边的比.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.即：在4ABC与B C,如果/A=/ A , ZB=Z B , ZC=Z C ,且 2AB_ 空 _C k我们就说ABC与乙A B柢似，记作AABC s NA B ,Ck就是它们的相似比. 反之如果ABCs/XA b ,C贝（J 有/A=, /B=, /C=,且-AB- -BI -CA-3 、如果相似比k 1,

10、则AABC NA B C【注意】：（1）用符号“s”表示相似三角形时，对应顶点必须写在 。（2）相似比是带有顺序性和对应性的：当4ABC与八A B相似比为k时，匕A B修zABC的相似比为、探究1： 1、如图，任意画两条直线li、J再画三条与li、I2相交的平行线13、14、15分别量度I3、15在li上截得的两条线段AB, BC和在12上截得的两条线段DE, EF的长度.（用“、V、，填空）但 里，里 匹，生DFBC EF ABBC ABACde-eF , dEdF ,AC DF BCEF1112/AD132、任意平移15后，上述各式任然（“成立”或“不成立”【归纳总结】：平行线分线段成比例

11、定理 两条直线被一组平行线所截，所得的E 14F 15F【及时巩固】：如图，（1）若 AE/ BK/ CF,贝U:线段AB(2)AC若 AB=3cm BC=5cm EK=4cnp 求 FK的长。探究2: （1）如图，如果11、12两条直线相交,交点A刚落到%上,则:ADABAEAC,所得的（2）如图，如果11、12两条直线相交,线段交点A刚落到14上，则：/任AB AC【归纳总结】：平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或截其他两边的延长线） 三、课堂检测：1、如图，在 ABC中，DE/ BG AC=4 , AB=3 EC=1.求 AD和 BD.2、如图， AB&AAE

12、D,其中DE/ BC,找出对应角并写出对应边的比例式.3、如图, AB&AADEE其中/ ADEW B,找出对应角并写出对应边的比例式.sL二27.2.1相似三角形的判定2一、自主探究：1、判断两个三角形全等的方法有： 。2、怎样的两个三角形相似？ 即：在ABC和ABC 1中v ZA=Z A, /B=/ B, /C=/ C1,且 2AB_ . ABCs ABC 1A1B1二、探究： 如图，在？ABC中，DX E分别是AB AC上的两点，且DE/ BC.?ADEf ?ABCffi似吗？为什么?【归纳总结】：三角形相似的判定定理（预备定理）：平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与

13、上相似。三、课堂检测：,1、下列各组三角形一定相似的是（）/A、两个直角三角形 B、两个钝角三角形 C、两个等腰三角形 D、两个等边三角形2、如图，DE/ BG EF/ AB,则图中相似三角形一共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对3、如图，AB/ EF/ CD图中共有 对相似三角形，分别是： 4、如图，在 UABCDfr, EF/ AB, DE:EA=2:3 , EF=4 求 CD的长.5、如图，DE/ BG (1)如果 AD=2 DB=3 求 DE:BC的值;(2)如果 AD=8 DB=12 AC=15 DE=7 求 AE和 BC的长.6、如图，在？ABC 中，DE/ BG AD=CE

14、AE=1 cm,BD=3 cm,BC=5 cm求 DE 的长.7、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 5米的位置上，求球拍击球的 高度h.（设网球是直线运动）27.2.1 相似三角形的判定3一、回顾复习：三角形相似的判定定理（预备定理）：平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 相似。即：在？ABC 中，v DE/BG :? ADE s ?abc二、探究探究1:如图，在 ABC和 ABC中，巫 BC- -CA- , ABC与 ABC相似吗?A B B C C A为什么？【归纳总结】三角形相似的判定定理1: 三组边对应成比例的两个三角形.即：在 ABC和 ABC

15、中,ABA BBC CAB C C A ABC sABC探究2:如图，在ABABC 和 ABC 中，-ABCAC A,/ A=/ A： ABC 与 A B C 相似吗?为什么?【归纳总结】三角形相似的判定定理2:两组边对应成比例，而且夹角相等的两个三角形 AB AB ABAB ACAC即：在ABC和ABC中，或：或：三、讨论交流：例 根据下歹I条件，判断？ABC与？DEF(1) AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm.CA, /A=/ A . ABCs ABC CA型BCBCBC/ B=/ B/ C=/ CABCs ABC是否相似，并说明理由:(2) /A=120 ,AB=7 cm,A

16、C=14 cm.DE=12 cm,EF=18 cm,DF=24 cm./D=120 ,DE=3 cm,DF=6 cm.四、课堂检测：1、如果在 ABC 中 B 30 , AB 5cm, AC 4cm ,在 ABC中， b30, Ab 10cm , AC 8cm ,这两个三角形一定相似吗？为什么？2、如图， ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点, 求证： ABCs DEF.3、如图，P为正方形ABCDi BC上的点，且BP=3PC Q为DC的中点,求证： ADQ s QCP4、已知：如图，在四边形ABCDfr, B1CD, 2求AD的长.ACD , AB=66 BC=4 AC=52

17、7.2.2 相似三角形的判定4一、回顾复习：1、三角形相似的判定定理（预备定理）：平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 相似。三角形相似的判定定理1：三组边对应成比例的两个三角形 。三角形相似的判定定理2:两组边对应成比例，而且夹角相等的两个三角 形。2、如图， ABCK 点 DftAE,如果 ad 也，那么 ACDfzXAC ABABG目似吗？说明理由.二、探究1 :如图，在ABCf AA BC中，/A=/ A , / B=/ B那么 ABCf AA BC相似吗？为什么?【归纳总结】三角形相似的判定定理 3 :两组角对应相等的两个三角形三、讨论交流（展示点评）例1、如图，

18、ABC与ABD都是。的内接三角形，AC和BD相交于 点E,找出图中的一对相似三角形，并说明理由。例2、 弦ABF口CD1交于。Oft一点 P,求证:PA?PB=PCPD探究2 :已知：如图，在Rt ABC和Rt ABC中,CC90 , JABA BACAC求证：Rt ABCsRt abC【归纳总结】直角三角形相似的判定：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形 。四、课堂检测：1、(1)如图 1,点 DftABt,当/ =/时，ACWAAB(C (2)如图2,已知点EftACh,若点D在AB,则满足条件,就可以使 AD由原ZXABG目似。2、下列说法是否正确.(1)有一组锐角相等的两直角三角

19、形是相似三角形；(2)有一组角相等的两等腰三角形是相似三角形；(3)底角相等的两个等腰三角形相似。3、如图，在Rt ABC中，CD1斜边上的高， ACD和 CBD都与 ABC相似吗？证明你的 结论。【归纳】：直角三角形斜边上的高将其分成的两个小直角三角形 并且每个小直角三角形都与 相似。4、如图，/XABCK DE/BG EF/ AB,求证： ADE AEFC.5、已知：如图， ABC的高AD B豉于点F.求证： 工BF27.2.3 相似三角形的性质、自主探究（课前导学）相似多边形的性质：相似多边形的对应角 做相似多边形的相似三角形的对应角如图，/XABC AAEED 其中 / ADEW B,

20、 写出其余的对应角以及对应边的比例式.,对应边的比,这个比值叫、探究1 :如图，？ABCs?a，B，C相似比为k,它们对应高（对应边上的高）之比、对应中线（对应边上的中线）之比、对应角平分线（对应角的角平分线）之比、周长之比、面积之比 分别为多少？【归纳总结】相似三角形的性质：;周长之比等于相似三角形的对应角 ;所有对应线段之比都等于 面积之比等于探究2:如图，四边形ABCD与四边形A BC D相似，相似比为k, 求对角线BD与B D勺比值。【归纳总结】相似多边形的对应对角线之比等于三、讨论交流：如图，在 ABC和 DEF中，AB=2DE, AC=2DF, A D, ABC的周长为24,面积是

21、12能，求DEF的面积与周长？四、课堂检测：1、两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为（）A.75,115B.60,100C.85,125D.45,852、将一个三角形r扩大成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来 的（）A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍3、如果两个相似三角形对应高的比为1 ： 2 ,那么它们的相似比为 ,周长的比为,面积的比为.4、如图，在AABCftzDEF中,AB=2DE,AC=2DF/A=Z D, ABC勺周长是 24,面积是 18,求 DEF的周长和面积.5、某块地的平面

22、如图，/A=90 ,其比例尺为1 ： 2 000,根据图中标注的尺寸（单位:cm）,求这块地的实际周长和面积.6、如图，Rt zABC中，/ ACB=90 ,P为AB上一点,Q为BC上一点，且PQLABA BPQ勺面积等于四边形APQCH积的-,AB=5 cm,PB=2 cm,求ABC勺面积.7、在直角坐标系中，已知点A (-2, 0), B (0, 4), C (0, 3),过点C作直线交x轴于点D ,使得以D, O, C为顶点的三角形与 AO讨目似，求点D的坐标.课题27.2.2相似三角形应用举例1一、自主探究：1、相似三角形的性质：相似三角形的 。2、测量旗杆的高度：在旗杆影子的顶部立一

23、根标杆，借助太阳光线构造三角形，旗杆 AB的影长BD a米，标杆高FD m米，其影长DE b米，求旗杆AB的高。 分析：太阳光线是平行的= 90,Bs二、探究：1、据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔 影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，若木杆解：EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO2 、如图, 方案一：先从我们想要测量河两岸相对应两点 B点出发与AB成90角方向走A B之间的距离（即河宽），你有什么方法? 50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处

24、转90 ,沿CD方向再走17m到达D处，使得A O D在同一条直线上.那么A B之间的距离是多少?一OCC三、课堂检测：1、在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一栋高楼的影长为 90米，这栋高楼的高度为多少米？2、如图，为了测量水塘边 A、B两点之间的距离，在可以看到的 B的点E处，取AE BE延长线上的G D两点，使得CD/ AB,若测得 =5 m, AD= 15 m, ED=3 m,则A、B两点间的距离为多少？3 、如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点 A和点E,C、E、 点B、D分别在点E、A的正下方且 D B、C三点在同一条直线上，A三点在同一条直线上，B、C

25、相距30米，D B相距40米，乙楼高BE为15米，甲楼高AD为多少米（小明身高忽略不计）27.2.2相似三角形应用举例2一、自主探究：小明把手臂水平向前伸直，手持长为 a的小尺竖直，瞄准小尺的两端 E、F,不断调整站 立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部和顶部，如果小明的手臂长为 l=40 cm,小尺 的长a=20 cm,点D到旗杆底部的距离AD-40m,求旗杆的高度。A. 15mB. 60mC. 20mD.10.3m2、一斜坡长 高度为（）A 11A m770m它的高为5m,10B. m7将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的9C. - m7D.3 -m2二、探究：已知左、右

26、并排的两棵大树的高分别是 AB= 8 m和CD- 12 m,两树的根部的距离BD- 5 m 一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 ED从左向右前进，当他与左边较 低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？三、课堂检测：1 、已知一棵树的影长是 度是（）已知此人眼睛距地3 、如图，某测量工作人员与标杆顶端 F、电视塔顶端在同一直线上, 面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5,求电视塔的高ED4 、甲蹲在地上，乙站在甲和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼顶E,乙的头顶C及甲的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置B、D,然后测出两人之间的距离

27、BD=1.25 m,乙与楼之间的距离 DF=30（B、D F在一条直线上），乙的身高CD=1.6 m, 甲蹲地观测时，眼睛到地面的距离 AB=0.8 m,画出示意图，算出大楼的高度。B5 、如图，花丛中有一路灯杆 AB在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行 走到达G点，DG=5t,这时小明的影长GH5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的 高度（精确到0.1米）.27.3 位似1自主探究：图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连 线有什么特征？,而且对应顶点的连线【归纳总结】（1）位似图形：如果两个多边形不仅 那么这样的两个图形叫做位似图形

28、，这个点叫做.（两个位似图形的对应边_,这时的相似比又称 。）（2）掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是图形,而相似图形不一定是图形;两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧;利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.（3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .二、合作探究：1、如图，点。是 ABC外的一点，分别在射线 OA OB OC上取一点D E、F,使得迫 OE O匚3，连接DE EF、FD,所彳导 DEF与 ABC是否相似？说明理由。OA OB OCE【归纳】实际上 图形

29、。）?DEF是把？ABC&大了 3倍后的图形。（？ABC就是把？DEF缩小了 3倍后的2、把图中的四边形ABCDS小到原来的12三、课堂检测：1、如图， ABCt是位似图形，位似比为 2: 3,已知AB=48A 、6 B、5 C、9 D、32、四边形ABC前四边形A1BCQ是位似图形，点。是位似中心。如果 OA OA=1:3,那么AB: AiBi=3、如图，以O为位似中心，将 ABC放大为原来的两倍。则DE的长等于（）O4、画出所给图中的两个位似图形的位似中心.似2、自主探究:1、如图， ABC三个顶点坐标分别为 A(2,3) , B(2,1) , C(6,2)(1)将AABC向左平移三个单位得到 ABG,写出Ai、B、G三点的坐标;(2)写出 ABC关于x轴对称的 ABG三个顶点A2、B、G的坐标；(3)将 ABC绕点。旋转180得到A