2024-2025学年江苏省南京市高二上册期末数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期期末数学检测试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（）.A1 B.2. C.3 D.53.已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（）.A B. C. D.4.已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）.A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切5.数列满足，则数列的前8项和为（）.A.63 B.127 C.255 D.2566.已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（）．A B. C. D.47.已知函数，则的最大值为（）.A.2 B. C. D.8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（A. B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）.9.已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（）.A. B.C. D.10.已知数列的前项和为，下列命题正确的有（）.A.若为等差数列，则一定是等差数列B.若为等比数列，则一定是等比数列C.若，则一定是等比数列D.若，则一定是等比数列11.下列不等式恒成立的有（）.A.当时，B.当时，C.（其中，为自然对数的底数）D.当时，12.已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则值可能是（）.A.1 B.3 C.4 D.5三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为_________．14.已知在处取得极小值，则实数的值为_________．15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为____________.16.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则_______．四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.（1）求抛物线方程；（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.18.已知数列的前项和为，且_________.在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求证.19.已知函数（1）若，求函数的单调减区间；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.20.已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.（1）求直线的方程；（2）若直线与双曲线交于另一点求的面积.21.已知正项数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）若的前项和为，求.22.已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.2024-2025学年江苏省南京市高二上学期期末数学检测试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围.【详解】依题意，解得或故选：D2.已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（）.A.1 B.2. C.3 D.5【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差与首项的关系即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，整理得，则，所以的公比.故选：C3.已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（）.A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出与其垂直的直线方程.【详解】由，求导得，则切线的斜率为，因此过与垂直的直线斜率为1，方程为.故选：A4.已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）.A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切【正确答案】A【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出与的关系，判断出直线与圆的位置关系．【详解】因为点在圆外，所以可得，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．故选：A．5.数列满足，则数列的前8项和为（）.A.63 B.127 C.255 D.256【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出数列的特征，再利用等比数列前n项和公式计算即得.【详解】由，得，因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的前8项和为.故选：C6.已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（）．A. B. C. D.4【正确答案】C【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点到直线距离的最大值.【详解】依题意，所以，因为为的中点，所以，如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则圆心到直线的距离为，因为当且仅当三点共线时等号成立，所以，所以的最大值为.故选：C7.已知函数，则的最大值为（）.A.2 B. C. D.【正确答案】B【分析】求导，根据导函求解函数的单调性，即可求解最值.【详解】，由于，则，令,即，解得，,即，解得，因此在单调递增，在单调递减，故，故选：B8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解.【详解】由双曲线的定义可知得因，，设，则，，，为直角三角形，，即，，故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）.9.已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（）.A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标.【详解】椭圆的焦点，设，由为直角三角形，则直角可能为若为直角，则，由，得；若为直角，则，由，得；若为直角，则在圆上，由，解得，所以点坐标可能是AD.故选：AD10.已知数列的前项和为，下列命题正确的有（）.A.若为等差数列，则一定是等差数列B.若为等比数列，则一定是等比数列C.若，则一定是等比数列D.若，则一定是等比数列【正确答案】AC【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C.【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，则，同理可得，所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；对于C，由可得时，，相减可得（），由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．故选：AC．11.下列不等式恒成立的有（）.A.当时，B.当时，C.（其中，为自然对数的底数）D.当时，【正确答案】ABD【分析】分别构造，，，，即可利用导数求解单调性得解.【详解】对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确，对于B，设，则当时在1,+∞单调递减，当时，在0,1单调递增，故，故，B正确，对于C，令,，当在0,+∞单调递增，当在单调递减，所以，故，故C错误，对于D，令，则，故在1,+∞单调递增，故，故，D正确，故选：ABD12.已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（）.A.1 B.3 C.4 D.5【正确答案】CD【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可.【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1，过点作于，设点，，，，当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立，，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4，AB不可能，CD可能.故选：CD关键点点睛：关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为_________．【正确答案】【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由在椭圆上，得，解得，，则椭圆的焦点，，因此，当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点，所以的最大值为.故14.已知在处取得极小值，则实数的值为_________．【正确答案】1【分析】根据给定条件，求出导数进而求出值，再验证即可.【详解】由，求导得，由在处取得极小值，得，解得，此时，当时，，当且仅当时取等号，当时，，因此是函数的极小值点，所以.故115.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为____________.【正确答案】【分析】根据的关系即可作差求解.【详解】由可得，两式相减可得，当时，，故，故16.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则_______．【正确答案】【分析】设出方程，与抛物线方程联立，可得，横坐标的积，结合已知向量等式求解，的坐标，即可由面积公式求解.【详解】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为，联立，得．不妨设在第一象限，,，,，则，又，，即，联立，解得或（舍，则，即，进而可得所以解得，故四、解答题（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.（1）求抛物线方程；（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.【正确答案】（1）（2）分析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.【小问1详解】由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，即，所以抛物线方程：【小问2详解】联立直线和得，解得，，18.已知数列的前项和为，且_________.在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求证.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差．若选①，根据等差中项求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得；（2）利用裂项相消法求和得，即可求证.【小问1详解】由，得，得，所以数列为等差数列，公差．若选①，因为，所以，得，所以，，所以，若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以．若选③，因为，所以，所以，【小问2详解】，所以，又因为，所以．19.已知函数（1）若，求函数的单调减区间；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解不等式即得.（2）求出导数，由在上恒成立求解即得.【小问1详解】当时，，求导得，由，解得，所以函数的单调减区间为.【小问2详解】由函数，求导得，由在上单调递减，得，，函数在上单调递减，，于是，解得，所以实数的取值范围是.20.已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.（1）求直线的方程；（2）若直线与双曲线交于另一点求的面积.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）已知过A−2,0，讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时设直线的点斜式方程，由直线和圆相切得到圆心到直线的距离为半径，解出的值即可得到直线方程；（2）若直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，联立直线与双曲线方程得到点的纵坐标，由得到三角形的面积.【小问1详解】由知左顶点A−2,0，当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意；当直线斜率存在时，设即，由与圆相切得，解得或，所以直线的方程为或.【小问2详解】由知，所以渐近线斜率为，若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去；若直线的方程为，与双曲线有两个交点，联立消去并整理得，解得或，因为，所以，又因为，所以.21.已知正项数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）若的前项和为，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式；（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.【小问1详解】由，得，因为，所以，即，因为，所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）得，所以，所以，所以，所以.22.已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的