第七讲：数学归纳法2(教师)

1、第七讲：数学归纳法(2)例1、(1)设f(n)1皿彳、八1111*ntt.(nN),则233n1111123k3k13k2、111*(2)设f(n)1.n(nN)，则232f(k1)f(k)11(3)设f(n)1*222222n(n1)n2212，则f(1)1222126。例2、是否存在常数a、b、c使等式42anbnc对一切正整数n成立？证明你2222221(n1)2(n2).n(nn)的结论。解：分别用n1,2,3代入解方程组aabc0,16a4bc3,解得，b81a9bc18,c1440证明:(1当n1时，左边0,右边0,等式成立;假设nk时，等式成立，即1(k212)2(k222).k

2、(k2k2)1.4kk122,那(么当nk1时，44左边1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)21(k212)222(k2)k(k2k2)1(2k1)2(2k1).k(2k1)14121412k(k1)-k-k(2k1)(123k)k-k(2k1)44442-(k1)4(k1)等式也成立，44由(1)(2)得，等式对任意nN*都成立。例3、用数学归纳法证明：对于任意自然数n，11n2122n1能被133整除。证明：当n0时，112121133，所以11n2122n1能被133整除。(2)假设当nk(k0,kN)时命题成立，即11k2122k1能被133整除。

3、那么当nk1时，11(k1)2122(k1)1=1111k2122122k1k+22k+122k+12k+1=11(11+12)+121211X12=11(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133因为11k2122k1和133122k1都能被133整除，所以11-(11k+2+122k+1)+122k+1-133也能被133整除，即11(k12122(k11也能被133整除。根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.说明：第一步应验证n=0,而不是n=1.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设Rk)能被p整除，证F(

4、k+1)能被p整除，也可运用结论：“Rk+1)P(k)能被p整除Rk+1)能被p整除.”例4、用数学归纳法证明：an2(a1)2n1可以被(a2a1)整除(nN)。证明：(1)当n0时，2a(a1)12aa1可以被(a2a1)整除。假设nk时，命题成立，即ak2(a1)2k1可以被(a2a1)整除，那么当nk1时，ak3(a1)2(k1)1ak2a(a1)2(a1)2k1k2aa(a1)2k122k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak21(a1)2k1(a2a1)(a1)因为ak22k(a1)2k1和(2aa1)(a1)2k1都能被(a2a1)整除，所以ak3(a1)2(k1)1也

5、能被(a2a1)整除。由(1)(2)得，对任意nN*,an2(a1)2n1均能被(a2a1)整除。说明可以认为第一个例题是第二个例题的一个特例。练习：求证：46n5n19(nN*)能被20整除。证明:(1当n1时,61511940,能被20整除；假设nk(k1,kN*)时，命题成立，即46k5k19能被20整除；当nk1时,6k15k296(46k)5(5k1)9546k5k19(46k36)/*(46k5k19)20(6k5k)*/*或646k5k195(95n),再证明(95n)能被4整除*/只要能证明6k9能被5整除即可，6k的末尾数为66k9的末尾数为5当nk1时，命题成立。由(1)(

6、2)，该命题对任意nN*都成立。n2例5、在数列an中，a1,an2an1(n2,nN*)(1)求a2,a3,a4；(2)n(n1)猜想an,并证明你的猜想。(1)印1,a283，a323,a44聖,猜想an532n21,nn1N*（比较困难）证明略解法2、an2an21_1an11、2(an1-),n2nn1n1n1an是以a11-为首项，2为公比的等比数列n111213n1n21N*an2an32-,nn12n1例6、在数列an中，已知a1a?a3.an(2n1)an(nN*），求a2.a3.a4，猜测an；并证明你的猜测。n答案：1)ail,a2,a3,a4,猜测an-3153563(2

7、n1)(2n1)(2)(i)当n1时，a1-,符合条件，猜想成立；(21)(21)31(2k1)(2k1)'ann(2n1)an得,(ii)假设当nk时猜想成立，即ak那么当nk1时，由a1a2a3a1a2a3.akak1(k1)(2k1总心0)a1a2a3.akk(2k1)ak(k1)上两式相减得，ak1(k1)(2k1总1k(2k1)ak(k1),整理得，(2k23k)ak1k(2k1)ak(k1)k1猜想成立;2k12k111比ak1ak所以n2k32k3(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)由(i)(ii)得，猜想an(2n1)(2n1)川N*成立。2例7、是否存在等差数列b

8、n，使1b123b3.nbnn(n1)对任意nN*都成立？并证明你的结论。解法1、假设存在等差数列an使等式对任意nN*都成立，设bnknp(k,p为常数)，那么1b1(11)21b2b22(21)2，即(kkp4p)2(2kp)18'解得，pbn3n1;证明：427310n(3n1)n(n1)2,nN*;(略)解法2、1b2b23bs.nbnn(n1)2,n11b2b23b3.(n1)bn1(n1)n2,n2两式相减得，nbnn(n1)2(n1)n2bn3n1,n2;又当n1时,1b1(11)24,所以bn3n1,nN*.例&由下列各式:11131.237211111.223

9、1415你能得到怎样的一般结论？并证明。解(1)猜测：丄-.-,nN*232n121证明：(i)当n1时，左边1,右边-,猜想成立;2(ii)假设n12'那么当nk时猜想成立，即2k2k12k2k11k11T(kk-3丄)k12E2555555555555555F共2k项1-猜想也成立闵55552共55项5552f(1)122538.n(3n1)cn2n2(n1),nN*;,、123n23'n2n,nN*;2222222小2222,2n(2n21)(3)12.,n.3213,nN*;3332n(n1)(4)12.n2,nN*;(5)135246357.n(n2)(n14)n(n1)(n4)(n5),n4(6)是否存在常数a,b,c,使等式123252.212(2n1)2