非线性有限元及弹塑性力学讲解

1、2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作1其他数值方法简单介绍其他数值方法简单介绍加权余量法加权余量法半解析法半解析法样条有限元法样条有限元法边界单元法边界单元法2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作2加权余量法加权余量法 前面介绍的固体力学有限元法，都是基于变前面介绍的固体力学有限元法，都是基于变分原理泛函的驻值来列式的。分原理泛函的驻值来列式的。 加权余量法直接从所需求解的微分方程和边加权余量法直接从所需求解的微分方程和边界条件出发，将所构造试函数代入微分方程和界条件出发，将所构造试函数代入微分方程和边界条件，一般它不是真实解。

2、边界条件，一般它不是真实解。 因此因此,将产生余将产生余量。量。 然后通过加权积分为零建立消除余量的条然后通过加权积分为零建立消除余量的条件，从而获得求解试函数中待定系数的方程。件，从而获得求解试函数中待定系数的方程。求得待定系数后，代回试函数即可得到问题的求得待定系数后，代回试函数即可得到问题的近似解。近似解。 显然，这对没有或难以建立能量积分显然，这对没有或难以建立能量积分的问题，是一种有效的数值方法。的问题，是一种有效的数值方法。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作3 根据余量的类型，可分为内部法（边界余量根据余量的类型，可分为内部法（边界余量为零）、为

3、零）、 根据权函数的不同，可分为子域法、根据权函数的不同，可分为子域法、 无论什么方法，建立试函数时应注意：无论什么方法，建立试函数时应注意： 试函数应由完备函数集的子集构成。试函数应由完备函数集的子集构成。 试函数应具有直到比加权积分表达式中最高试函数应具有直到比加权积分表达式中最高阶导数低一阶的连续性。阶导数低一阶的连续性。 试函数应与待解问题解析解或特解相关联。试函数应与待解问题解析解或特解相关联。如问题具有对称性，应充分利用。如问题具有对称性，应充分利用。 边界法（微分方程余量为零）和混合边界法（微分方程余量为零）和混合法（两类余量都不为零）。法（两类余量都不为零）。 配点配点(配配线

4、线)法、法、 最小二乘法、最小二乘法、 Galerkin法和矩法。法和矩法。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作4 当设整个求解域分成若干子域，全域试函数当设整个求解域分成若干子域，全域试函数由各子域试函数联合而得，对每一子域用由各子域试函数联合而得，对每一子域用Ga-lerkin法法(余量和基函数正交余量和基函数正交)分析。分析。 在在有限单元法及计算程序有限单元法及计算程序一书中，除简一书中，除简介加权余量的一般方法外，还通过温度场分析介加权余量的一般方法外，还通过温度场分析和广义协调元说明了加权余量有限元法。有兴和广义协调元说明了加权余量有限元法。有兴趣

5、的可自行查阅有关资料。趣的可自行查阅有关资料。 为降低子域为降低子域试函数的连续性要求，可象建立试函数的连续性要求，可象建立Herrmann泛泛函那样，用分部积分函那样，用分部积分(高斯公式高斯公式)进行处理。进行处理。 用用此思路即可从控制方程直接建立有限元列式，此思路即可从控制方程直接建立有限元列式，这就是加权余量有限元。这就是加权余量有限元。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作5半解析法半解析法 所谓半解析法是指，将解析解和有限元离散所谓半解析法是指，将解析解和有限元离散化思想相结合的数值方法。它不仅可大大减少化思想相结合的数值方法。它不仅可大大减少未知

6、量个数，还能大大提高计算精度。未知量个数，还能大大提高计算精度。 1. 有限条元法有限条元法 以板分析为例，该法基本思想是，将求解域以板分析为例，该法基本思想是，将求解域划分成若干狭长条带形划分成若干狭长条带形“单元单元”，单元位移场，单元位移场按分离变量法构造。即每一条带纵向按分离变量法构造。即每一条带纵向(长向长向)取取满足两端边界条件的正交函数满足两端边界条件的正交函数(一般为梁的振型一般为梁的振型函数函数)，条带窄边方向以节线，条带窄边方向以节线(无内节线时为条无内节线时为条带间公共边线带间公共边线)未知位移作参数由形函数构造。未知位移作参数由形函数构造。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔

7、滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作6 因任意函数均可按正交完备的函数集展开，因任意函数均可按正交完备的函数集展开，因此理论上说，只要问题可分离变量，长向的因此理论上说，只要问题可分离变量，长向的级数取得足够多，就可保证位移延长向趋于精级数取得足够多，就可保证位移延长向趋于精确解，这样就使问题减少了一维，使未知量得确解，这样就使问题减少了一维，使未知量得以减少。以减少。 此外，由于长边方向函数的正交性，可使级此外，由于长边方向函数的正交性，可使级数及其导数项的一些积分为零，对一些问题最数及其导数项的一些积分为零，对一些问题最终变成对级数每一项分别计算后叠加，自然这终变成对级数每一项分别计算

8、后叠加，自然这又将使工作量减少，提高解算效率。又将使工作量减少，提高解算效率。 2. 组合条元法组合条元法 有限条元法有如下局限性：有限条元法有如下局限性：2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作7 1）长向不能连接单元或其他条元；）长向不能连接单元或其他条元； 2）为保证节线位移连续性，长向边界必须）为保证节线位移连续性，长向边界必须一致；一致； 为克服这些不足，同时又保留条元的优点，为克服这些不足，同时又保留条元的优点，发展了这种组合条元。发展了这种组合条元。 其基本思路为：其基本思路为： 3）长向边界条件可有多种不同组合，导致）长向边界条件可有多种不同组合，

9、导致计算程序繁杂。计算程序繁杂。 条带长向短边上象有限元一样放置有结点；条带长向短边上象有限元一样放置有结点； 节线位移按两步法构造：先由结点位移参数节线位移按两步法构造：先由结点位移参数象有限元一样插值构造；后在不改变结点位移象有限元一样插值构造；后在不改变结点位移参数含义条件下，象条元法一样用级数修正。参数含义条件下，象条元法一样用级数修正。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作8 象条元法一样，在节线位移基础上构造位移象条元法一样，在节线位移基础上构造位移场。场。 3. 有限元线法有限元线法 基于如此思路，曾用于分析平面、板壳静动基于如此思路，曾用于分析平

10、面、板壳静动力问题，应力蒙皮线性、非线性问题等。力问题，应力蒙皮线性、非线性问题等。 在在有限单元法及计算程序有限单元法及计算程序一书中，以平一书中，以平面问题为例简单介绍了这种方法。想更多了解面问题为例简单介绍了这种方法。想更多了解的可查阅的可查阅The Finite Element Method of Lines Theory and Application(袁驷著袁驷著) 还联还联合应用有限单元、组合条元和无限元研究过路合应用有限单元、组合条元和无限元研究过路面力学问题。证明了方法的有效和可靠性。面力学问题。证明了方法的有效和可靠性。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制

11、作王焕定教授制作9 象条元法、组合条元法一样，也是按分离变象条元法、组合条元法一样，也是按分离变量思想构造位移场，但设节线位移是未知的量思想构造位移场，但设节线位移是未知的(待待定的定的)。 4. 超级单元法超级单元法 这是用于复杂结构分析的一种近似方法，其这是用于复杂结构分析的一种近似方法，其思路是：思路是： 由此位移场用虚位移原理列式的结果，得到由此位移场用虚位移原理列式的结果，得到的是关于节线位移的常微分方程组。在对边界的是关于节线位移的常微分方程组。在对边界(包括节线搭接包括节线搭接)进行适当处理后，借助常微分进行适当处理后，借助常微分方程组求解器，由求解常微分方程得到节线位方程组求解

12、器，由求解常微分方程得到节线位移函数，从而得到问题的解答。无疑这一方法移函数，从而得到问题的解答。无疑这一方法精度高于前两种。但其解算效率取决于求解器。精度高于前两种。但其解算效率取决于求解器。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作10 设由多种构件组成的复杂结构，其整体变形设由多种构件组成的复杂结构，其整体变形(位移位移)象一实体物体，当将结构划分成若干个象一实体物体，当将结构划分成若干个实体超级单元后，超级单元的位移场根据具体实体超级单元后，超级单元的位移场根据具体问题可象一般有限元一样建立。问题可象一般有限元一样建立。 但这个超级元并非实际存在，其力学特性

13、取但这个超级元并非实际存在，其力学特性取决于超级元所包含的具体构件。决于超级元所包含的具体构件。 由所有构件的力学特性获得超级元特性后，由所有构件的力学特性获得超级元特性后，即可按一般有限元方法分析超级元结构。即可按一般有限元方法分析超级元结构。 对超级元所包含的具体构件，其位移场不再对超级元所包含的具体构件，其位移场不再是独立的，这些构件单元的结点位移可根据结是独立的，这些构件单元的结点位移可根据结点坐标，由超级元的位移场确定。这样，就可点坐标，由超级元的位移场确定。这样，就可把构件的力学特性转换成超级元位移把构件的力学特性转换成超级元位移-力关系。力关系。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建

14、筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作11 求得超级元结点位移后，根据超级元位移场求得超级元结点位移后，根据超级元位移场所得到的构件单元结点位移，即可确定各构件所得到的构件单元结点位移，即可确定各构件的受力和变形。的受力和变形。 由此思路可见，超级元象子结构法，但又是由此思路可见，超级元象子结构法，但又是不一样的。子结构各构件的结点位移都是独立不一样的。子结构各构件的结点位移都是独立的未知量，只是分析时将内部自由度凝聚掉而的未知量，只是分析时将内部自由度凝聚掉而已。因此，它是已。因此，它是“精确的精确的”、有大量未知量的。、有大量未知量的。可超级元只有超级元结点的位移未知量，包含可超级元只有超级

15、元结点的位移未知量，包含在超级元内的构件结点不存在独立的未知位移，在超级元内的构件结点不存在独立的未知位移，因此它是一种可大量减少自由度的近似方法。因此它是一种可大量减少自由度的近似方法。 由于考虑了实际各构件的力学特性，因此分由于考虑了实际各构件的力学特性，因此分析大型复杂结构还是可得到满意结果的。析大型复杂结构还是可得到满意结果的。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作12样条有限元法样条有限元法 因为因为n次样条函数是具有次样条函数是具有n-1阶导数连续的阶导数连续的n次多项式，因此将其用于有限元分析，可提高次多项式，因此将其用于有限元分析，可提高计算精度

16、、减少计算工作量。计算精度、减少计算工作量。 用样条函数做结构分析有两种方式。用样条函数做结构分析有两种方式。 在在有限单元法及计算程序有限单元法及计算程序一书中，介绍一书中，介绍了梁、平面问题和薄板弯曲的样条单元。更多了梁、平面问题和薄板弯曲的样条单元。更多的内容可查阅龙驭球的内容可查阅龙驭球新型有限元引论新型有限元引论等。等。 其一是，其一是，用样条函数构造整体场变量，称为样条变分法。用样条函数构造整体场变量，称为样条变分法。另一是，用样条函数进行分区构造场变量，称另一是，用样条函数进行分区构造场变量，称为样条有限元法。为样条有限元法。 前者局限于解规则问题，后前者局限于解规则问题，后者则

17、象有限元一样，可解决各类工程问题。者则象有限元一样，可解决各类工程问题。2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作13 这里仅就四自由度二次样条梁单元为例加以这里仅就四自由度二次样条梁单元为例加以说明。说明。 四自由度二次样条梁四自由度二次样条梁单元如图所示。单元如图所示。 设挠度设挠度v在每段上为二次多项式在每段上为二次多项式1322l2l0121312),(11v),(22vxvlx, 因是二次样条，将单因是二次样条，将单元分成两段如图。元分成两段如图。六个待定系数由六个待定系数由1、2 位移条件和位移条件和 3 的连续条件的连续条件确定。从而可得到形函数表示的

18、位移模式。确定。从而可得到形函数表示的位移模式。 121 ( 21(0 )(26542321）ccccccxv221220111110)(NvNNvNxv2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作14 上式中的形函数都是二次样条函数，分别为上式中的形函数都是二次样条函数，分别为 将单元位移场写成如下矩阵标准形式将单元位移场写成如下矩阵标准形式 )1 (2212210Nexv N)( 121 ( 2)1 (21(0 2)32(2211）llN 11020NN 121 ( 2)341 (21(0 22221）llN其余工作就可完全按一般有限元分析步骤进行，其余工作就可完全按一般有限元分析步骤进行，从而建立样条有限单元的刚度方程。这里就不从而建立样条有限单元的刚度方程。这里就不再赘述了。再赘述了。合肥工业大学合肥工业大学沈鹏程教授沈鹏程教授写了一本基于多变写了一本基于多变量广义变分原理的量广义变分原理的多变量样条有限元法多变量样条有限元法有兴趣的可参考有兴趣的可参考2000.5哈尔滨建筑大学哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作王焕定教授制作15边界单元法边界单元法 边界单元法的基本思想是，将