自控—李忠国2

1、2.1 2.1 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程2.3 2.3 传递函数传递函数2.4 2.4 系统的方框图和信号流图系统的方框图和信号流图End End 本章作业本章作业2.2 2.2 拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换2.5 2.5 控制系统传递函数推导举例控制系统传递函数推导举例 1.1.定义定义：数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，他揭示了系统结构及其参数与性能之间之间关系的数学表达式，他揭示了系统结构及其参数与性能之间的内在关系。的内在关系。 2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数

2、学模型，是分析和设计控制系统的首要工作建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。征，研究其内在的共性运动规律。最简单一个模型：弹簧模型 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规

3、律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。（船舶抗爆炸冲击试验）数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。3.3.建模方法建模方法 微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图）传递函数（或结构图） 频率特性频率特性 状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型） 4.4.常用数学模型常用数学模型2. 1 .1微分方程的列写微分方程的列写 q微分方程的列写步骤微

4、分方程的列写步骤 1）确定系统的输入、输出变量；（电压、电流、电阻关系）确定系统的输入、输出变量；（电压、电流、电阻关系） 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；物理定理写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式。）变换成标准形式。 任何机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。可以应用牛顿定律来建立数学模型，即微分方程。1.机械系统机械系统 质量mfm(t)参考点x (t)v (

5、t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 数学模型 弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 数学模型是位移，考虑一端固定的情况 阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章 数学模型q 机械平移系统)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t

6、)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响（上课时间计算）汽车振动)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。第二章 数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数。 )()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCiq 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 数学

7、模型q 机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ 旋转体转动惯量；K 扭转刚度系数；C 粘性阻尼系数柔性轴第二章 数学模型齿轮传动，对其隔离体分析)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo第二章 数学模型换为直线弹簧理解无法对小齿轮列出方程，为什么？2. 电气系统电气系统 电阻)()(tRitu电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章 数学模型 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 电感dttdiLtu)()(Li(t)u

8、(t)第二章 数学模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C无源电路网络第二章 数学模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo第二章 数学模型dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()()()(0)(21titituaq 有源电路网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()

9、()(tudttduRCio即：第二章 数学模型 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础； 第二章 数学模型)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为

10、系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。 第二章 数学模型)()()(tututudtdRCioo)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 数学模型用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足

11、叠加原理。q 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 第二章 数学模型3.流体系统流体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱体截面积；第二章 数学模型描述输入q和液面高度之间的关系)()()(tqtHtHdtdAi上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。 ：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数。第二章 数学模型线性化：在一定条件下作某种近似或

12、缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。q 线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 数学模型作业作业2P72第二章习题第二章习题2-1 c，f2-2（本题暂不要求消去中间变量（本题暂不要求消去中间变量X1）作业不能抄袭，不能抄标准答案！作业不能抄袭，不能抄标准答案！ 拉普拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一

13、种有效而重要的工具。 拉普拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。2.2 拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换复数l 拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：0)(limtfett则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；0)()()(dtetftfLsFst第二章 数学模型实数0dtest称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为

14、F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。第二章 数学模型0)()()(dtetftfLsFst积分下限为0l 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 数学模型思考：0时刻加上220V电压，该输入信号的拉氏变换是什么？0)()()(dtetftfLsFstq 指数函数atetf)(（a为常数）指数函数0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 数学模型注意符号)0)(Re(101 )(1)(10ss

15、esdtettLststq 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 数学模型0)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj从而：22cossstL同理：第二章 数学模型tjtjtjtjeeteejt21cos21sinC-S-W)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatatq 单位脉冲函数(t) 0tf(t)单位脉冲函数1)0(1lim)0(0)

16、(0tttt且)1 (1lim 1lim1lim)(00000sststesdtedtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：1lim)(0setL所以：第二章 数学模型脉冲函数区别：与积分变量无关的视为常数严格来讲此处不对q 单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 数学模型q 单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到

17、。 第二章 数学模型注意1/2l 拉氏变换积分下限的说明拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0还是0+，并相应记为：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 数学模型l 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章 数学模型 实微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL第二

18、章 数学模型)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章 数学模型)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+) f(0)，则：)0()()()0()()(f

19、ssFdttdfLfssFdttdfL第二章 数学模型 复微分定理 ), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn若Lf(t)=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：第二章 数学模型0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL 积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：若f(0+) f(0)，则：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 数学模型0)()0(),0()()(t

20、tfffssFdttdfL)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：当初始条件为零时：第二章 数学模型)(tf先微分再积分，按公式其拉氏变换仍然为)(sF)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL1/s为积分符号 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 数学模型 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 数

21、学模型 初值定理 )(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 第二章 数学模型 终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：)(limtft存在。则：)(lim)()(lim0ssFftfst终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。系统稳定性要求 卷积定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t0时， f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第

22、二章 数学模型 时间比例尺的改变0constant)(aasaFatfL例：11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLat第二章 数学模型回顾0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。l拉氏反变换定义拉氏反变换定义课本P338查表l 求解拉氏反变换的部分分式法求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) +

23、 f2(t) + + fn(t)第二章 数学模型)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，-p1，-p2，-pn为方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。 第二章 数学模型 F(s)只含有不同的实数极点niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(式中，Ai为常数，

24、称为s = -pi极点处的留数。nitpiniiiieApsALsFL1111)(于是：第二章 数学模型)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat例例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA第二章 数学模型)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat54) 3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLt

25、ftt215431158131)(ssssF即：第二章 数学模型)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat F(s)含有共轭复数极点 nnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)()(pspspspsAsApspssF或或假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章 数学模型niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(注意，此时F(s)也可分解为下列形

26、式：由于p1、p2为共轭复数，因此， A1和A2也为共轭复数。ipsiipssFA)()(第二章 数学模型例例：求的原函数。) 1(1)(2sssssF解解：1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss第二章 数学模型0, 123)(2321)(21212121AAAAAA即：所以：11)(2sssssF2223211sss第二章 数学模型2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat22222321212321211ssss2222232123312321211ssss第二章 数

27、学模型2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat查拉氏变换表得：tetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet第二章 数学模型2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat例例：求的原函数。10,)2()(222nnnssssF解解：)1)(1()(222nnnnnssssF21nd令：，则： sAjsjsAsAjsjsssFdndndndnn3212)()()(第二章 数学模型dndnjsjsnAsAs212根据：dndnnjAAAj1212有：dndnjAAAj121即：n

28、ddnnAAAAA2; 121121由上式两边实部和虚部分别相等，得：第二章 数学模型21ndsAjsjsAsAjsjssdndndndnn3212)()(2222)()(1)(dnndnnsssssF1022223sssAnnn而：sjsjsssFdndnn1)(2)(所以：22222)(1)(1dnddnnssss2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat结合位移定理21ndsAjsjsAsAjsjssdndndndnn3212)()(tetetfdtdtnnsin1cos1)(2查拉氏变换表得：cos,sin1221 arctg令，即：0),sin(11)(2ttet

29、fdtn于是：0,sincos11122ttteddtn第二章 数学模型22222)(1)(1dnddnnssss2222)(sin,)(cosasteLasasteLatat F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA第二章 数学模型0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1

30、(10110pspssFdsdrArrrr第二章 数学模型tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：第二章 数学模型)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA例例：求的原函数。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA第二章 数学模型21)

31、 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：第二章 数学模型tpnnentpsL0)!1()(1101l 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第二章 数学模型 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()

32、0()()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 数学模型)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 数学模型0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfLstLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5

33、()()65(2从而：第二章 数学模型)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo61065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 数学模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章 数学

34、模型零状态响应零输入响应323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXoooq 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见：第二章 数学模型作业P72：2-3（3, 8, 13） 2-4 (2, 3) l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数 第二章 数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量

35、的拉氏变换之比。 零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；第二章 数学模型 传递函数求解示例 q 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：第二章 数学模型q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUs

36、RCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：第二章 数学模型 传递函数的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：第二章 数学模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)

37、()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。l 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 特征方程第二章 数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时： G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 第二章 数学模型 零点和极点 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-

38、pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。第二章 数学模型 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j第二章 数学模型l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递

39、关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 第二章 数学模型 典型环节示例 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。第二章 数学模型KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(第二章 数学模型q 惯性环节 )()(

40、)(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关。T越大，响应速度越慢。式中，K环节增益（放大系数）；)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmioooxo(t)0fi(t)KC第二章 数学模型q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传递函数为：式中，微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。第二章 数学模型dttdKtuito)()(sKssUsGt

41、io)()()(如：测速发电机uo(t) i (t)测 速 发 电 机式中， Kt为电机常数。 无负载时：第二章 数学模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 第二章 数学模型微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。第二章 数学模型q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。

42、tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：式中，T积分环节的时间常数。第二章 数学模型积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。第二章 数学模型液压缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(第二章 数学模型q 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXs

43、XsGio传递函数：)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo第二章 数学模型式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，01 K比例系数TsssGnnnn1,2)(222振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。12)()()(22TssTKsXsXsGio第二章 数学模型q 二阶微分环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分环节，01 K比例系数 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio运动方程：12)(22ssKsG传递函数：具有一对共轭复根时

44、才称为二阶微分环节，否则认为是两个一阶微分的串联。12)()()(22TssTKsXsXsGio第二章 数学模型q 延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；)()(txtxio运动方程：sesG)(传递函数：式中，为纯延迟时间。 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内, 没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：)()(sFetfLs)()(asFtfeLat第二章 数学模型ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量vLththio)()(作业p73： 26 210 （d） 实验课联系第二章 数学模型l 系统方

45、框图系统方框图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。第二章 数学模型 方框图的结构要素 q 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s), x(t)信号线第二章 数学模型q 信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)第二章 数学模型q 函数方框(环节) G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方

46、框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 传递函数的图解表示。第二章 数学模型q 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) 第二章 数学模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。 第二章 数学模型R1Cs1求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号

47、线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。 第二章 数学模型 系统方框图的建立 q 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 的因果关系（输入/输出）。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件的方框图连接起来，得到系统 的方框图。 第二章 数学模型q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络 无源RC网络 )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏变换得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi尽可能用输入、输出、单一变

48、量表示第二章 数学模型从而可得系统各方框单元及其方框图。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)第二章 数学模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图 机械系统 第二章 数学模型m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC第二章 数学模型)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(2

49、2txKtfoKm1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0 xo(t)0第二章 数学模型)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoK先找左边有输入的式子第二章 数学模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)()()(1

50、)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi第二章 数学模型221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK)()()()()(1)()()()()()()()()()(1

51、)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi第二章 数学模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图第二章 数学模型 系统方框图的简化 q 方框图的运算法则 串联连接 G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)第二章 数学模型 并联连接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s

52、)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)第二章 数学模型 反馈连接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG第二章 数学模型q 方框图的等效变换法则 求和点的移动 G(s)ABC求和点后移G(s)ABC求和点前移G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG第二章 数学模型 引出点的移动 引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA第二章 数学模型q 由方框图求系统传递函数 基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。 第二章 数学模型例：求下图所示系统的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A第二章 数学模型H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)解解：1、A点前移；第二章 数学模型2、消去H2(s)G3(s)反馈回路)()()(1)(2322sHsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G