西南交通大学大学物理CH05-2

1、12 5.2 角动量的时间变化率角动量的时间变化率 力矩力矩1、质点角动量的时间变化率质点角动量的时间变化率tprptrprttLdddd)(ddddprLFrtprtLvmvpvptrdddd0dd质点位矢质点位矢合力合力rmFMr3FrM服从右手螺旋法则组成的平面和垂直于方向：大小：FrFrFdsin定义：定义：2 2、力矩、力矩1) 1) 对参考点的力矩对参考点的力矩大小：大小：FrtLddFdrFFrsin方向：服从右手螺旋法则方向：服从右手螺旋法则rFodm42) 2) 对轴的力矩对轴的力矩FrM第一项第一项/1FrM方向垂直于轴，其效果是改方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴

2、问题中，变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。与轴承约束力矩平衡。第二项第二项FrMz方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：称为力对轴的矩，表为代数量：FrMzFromzFrFrFFr/)(/FFzMd5FrM 合外力矩：合外力矩：prL ，角动量：，角动量：M 和和L都是相对都是相对惯性系中同一定点惯性系中同一定点定义的。定义的。 21tttMd d冲量矩，力矩的时间积累。冲量矩，力矩的时间积累。质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时间的质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时间

3、的变化率变化率tLMd dd d 积分形式：积分形式：1221LLtMtt d d63、质点系角动量的时间变化率质点系角动量的时间变化率对对 个质点个质点 组成的质点系，由组成的质点系，由NNmmm,21tLFrMdd可得可得内外内外内外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111两边求和得两边求和得iiiiiiMMtLLt内外dddd70 iiM内内外外外外iiFrMtL idd外外外外iiFrMtL idd质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和和 ( (合外力矩合外力矩 ) )注意：注意： 1.1.合外力矩合外力

4、矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。而非合力的力矩。外外M2.2.质点系内力矩的作用：质点系内力矩的作用：不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在系内各质点间的分配。系内各质点间的分配。83.3.定轴刚体定轴刚体比较比较JMamFz由由外MtLddJtJJttLMzzdd)(ddddJmrLiiiz2得得J是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。m是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因zMF改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因JMz刚体定

5、轴转动定律刚体定轴转动定律9一、角动量守恒定律一、角动量守恒定律恒量时恒量时恒量时zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：对定轴转动刚体，当对定轴转动刚体，当0轴M时，时，恒量轴L由角动量定理：由角动量定理：当当时，时，0外ML恒矢量恒矢量研究对象：质点系研究对象：质点系0ddtLM外10角动量守恒定律：角动量守恒定律： 当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外力矩当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将不随时为零时，该质点系相对于该定点的角动量将不随时间改变间改变 内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内

6、力矩等于零，对总角动量无影响。力矩等于零，对总角动量无影响。质点系的质点系的角动量守恒定律角动量守恒定律 若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩为若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变，零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量的大小和方向都保持不变。即角动量的大小和方向都保持不变。11例例: : 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为 ，一轻绳，一轻绳两边分别系两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不伸两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，

7、求滑轮转动角速度随时间变化的规律。速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。m1m2mr2m1mrm已知已知0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度12解：解：在地面参考系中，分别以在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。和刚体定轴转动定律建立方程。mmm,211T1agm1以向下为正方向以向下为正方向2a2Tgm2以向上为正方向以向上为正方向思考：思考：?2121TTaa ) 1 (:11111amTgmm)2(:22222amgmTm13r+1T2TNmg以顺时针方向

8、为正方向以顺时针方向为正方向四个未知数：四个未知数：三个方程三个方程 ？,2121TTaaa绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)4(ra 解得解得rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210) 3(21221mrJrTrTm：滑轮14 如图示，两物体质量分别为如图示，两物体质量分别为 和和 ，滑轮质量，滑轮质量为为 ，半径为，半径为 。已知。已知 与桌面间的滑动摩擦系与桌面间的滑动摩擦系数为数为 ，求，求 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。 1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面参考系中，选取在

9、地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： 1m2m练习练习152m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+列方程如下：列方程如下：ramrrTTamgmTamTgm22122211121)(可求解可求解16例例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，已知：两平行圆柱在水平面内转动，求：接触且无相对滑动时求：接触且无相对滑动时202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.1217解一：解一：因摩擦力为内力，外力过轴因摩擦力为内力，外力过轴 ，

10、外力矩为零，则：，外力矩为零，则：J1 + J2 系统角动量守恒系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正：，以顺时针方向为正： 12211202101JJJJ接触点无相对滑动：接触点无相对滑动： 22211RR又：又： 3212111RmJ 4212222RmJ 联立联立1、2、3、4式求解，对不对？式求解，对不对？ o1.o2.12问题：问题：(1) 式中各角量是否对同轴而言？式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是否守恒？18问题：问题： (1) 式中各角量是否对同轴而言？式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是

11、否守恒？分别以分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：为研究对象，受力如图：o2F2o1.F1f1f20 )2(0 ) 1 (1221FFMoMo为轴为轴系统角动量不守恒！系统角动量不守恒！19解二：解二：分别对分别对m1 , m2 用角动量定理列方程用角动量定理列方程设：设：f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正以顺时针方向为正m1对对o1 轴：轴：211211101111,dRmJJJtfRm2对对o2 轴：轴：222212202222,dRmJJJtfR接触点：接触点：2211RRo2F2o1.F1f1f21220联立各式解得：联立各式解得：221202210112121202

12、210111RmmRmRmRmmRmRm21解一解一：m 和和 m 2 系统动量守恒系统动量守恒 m v 0 = (m + m 2 ) v解二解二： m 和和 (m + m 2 )系统动量守恒系统动量守恒m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v解三解三：m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 2v以上解法对不对？以上解法对不对？m2m1m0v2L2LA例例. 已知：已知：轻杆，轻杆，m 1 = m , m 2 = 4m , 油灰球油灰球 m， m 以速度以速度v 0 撞击撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞，发生完全非弹性碰撞 求：求：撞后撞后m 2的速率的速率 v ?

13、22因为相撞时轴因为相撞时轴A作用力不能忽略作用力不能忽略不计，故不计，故系统动量不守恒系统动量不守恒。因为重力、轴作用力过轴，对轴因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故力矩为零，故系统角动量守恒系统角动量守恒。由此列出以下方程：由此列出以下方程：LvmvmmmvLL212220或：或： vvLmmmmLLLL202021222022;得：得：90vv m2m1m2L2LNyNxA23注意：区分两类冲击摆注意：区分两类冲击摆 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 对对 o 点：点： ， 守恒守恒m v 0 l = ( m + M ) v

14、 l0ML质点质点 定轴刚体定轴刚体（不能简化为质点）（不能简化为质点）0volmMFyFx(2)轴作用力不能忽略，动量不守恒，轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒轴合力矩为零，角动量守恒lvMlmllmv23120(1)olmM0v质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力24回顾作业回顾作业P.85 4 -8vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0点角动量守恒对系统不守恒系统轴轴mMFO250轴FA、B、C系统系统 不守恒；不守恒；p0轴MA、B、C系统对系统对 o 轴角动量守恒轴角动量守恒vRmmmRvmmcBABA1回顾作业回顾作业P85 4 -9C

15、BNxNyAo26练习：练习：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，绳秒，绳不可伸长。求不可伸长。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?哪些物理量守恒？请列方程。哪些物理量守恒？请列方程。解解：m、M系统水平方向动量守恒（系统水平方向动量守恒（F x =0)竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）对对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）点轴角动量守恒（外力矩和为零）omMv300vvMmmv0030sin或：或：00090sin30sinlMmvlmvv = 4 ms-1得：得：27解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒

16、对棒对O的角动量守恒的角动量守恒思考：思考：碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L=? 碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 =？L?例例 . 已知：已知：匀质细棒匀质细棒 m , 长长 2l ；在光滑水平面内；在光滑水平面内以以 v 0 平动，与支点平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。 求：求：碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的v0clBAl / 2l / 2 Om撞前：撞前：自旋轨LLL020lmvL(1)28(2) 各微元运动速度相同，但到各微元运动速度相同，但到O距离不等，距离不等，棒上段、下段对轴棒上段、下段对轴O角动量方向相反角动量方向相反设垂直向外为正方向，总角动量：

17、设垂直向外为正方向，总角动量：lmvxxxxLllmvllmv0210222302dd00lm2lxmxm2dddxxxvmLlmvddd200质元角动量：质元角动量：线密度：线密度：取质元：取质元：xdm-l/23l/20vO29撞后：撞后： 21272221212mlmlmJLl令令2012721mllmvLL得：得：lv76030刚体的转动刚体的转动习题课习题课一、基本要求一、基本要求1、掌握角位移、角速度和角加速度等物理量以及角量与线量的关系。2、理解力矩、转动惯量、角动量等物理概念，了解转动惯量计算的基本思路。3、掌握转动定律、功能原理、角动量定理和角动量守恒定律并能正确应用。二、基

18、本内容二、基本内容1 1、描述刚体转动的物理量、描述刚体转动的物理量2 2、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律角位移d角速度dtd与线量的关系rv r2rn角加速度dtd)dtvdmamF(dtdJJMsinrFM FrM力矩方向：右手法则dmrJ2转动惯量：3 3、刚体转动的功能原理、刚体转动的功能原理21222121JJdMW)mvmvrdFW(212221212iirmJ当 时0M常量JL4 4、刚体定轴转动角动量原理、刚体定轴转动角动量原理力矩的功dMW刚体定轴转动动能221J1212JJLLMdt)PPdtF(12dtdLM )dtPdF(或)P,F(常矢量0三、讨论三、讨论方法1、

19、质量为 ，长为 的细棒可绕 转动。由水平位置自由下落。求下落到竖直位置时的角速度。mlo由dtdJJMdddtdJcoslmg20202dJdcoslmg求出logm方法方法分别判断三种方法的正误分别判断三种方法的正误2212Jlmg求出2212cmvlmg求出cv又2lvc求出2 2、判断角动量是否守恒、判断角动量是否守恒（2）对定滑轮轴的角动量两半径不同圆轮，1轮转动，2轮静止今将两轮子靠拢，轮被带动而转动（1）圆锥摆（对 轴）小球质量为oo m重物、人质量均为 ，定滑轮质量不计，人向上爬行m（3）对轴 ，(或 )的角动量1o2ooovm1o2o X X 小结：刚体定轴转动中几个小结：刚体

20、定轴转动中几个应注意的问题。应注意的问题。（1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！（2）注意“转轴”（3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论四：计算四：计算解：分析受力：图示质点1m11111amcosgmsingmT质点2m2222amTgm1m2mr ,J1mNF1Tgm1rFRF2TP1T2m2Tgm21、斜面倾角为 ，质量分别为 和 物体经细绳联接绕过一定滑轮。定滑轮转动惯量为 ，半径为 。求 下落的加速度（设 与斜面的摩擦因数为 ）1m2mJr1m2m滑轮（刚体）解得讨论：是否有其它计算方法？JrTrT22)TT ,TT(1122联系量raa2122121221rJmm

21、cosgmsingmgmaa1mNF1Tgm1rFRF2TP1T2m2Tgm2功能关系！功能关系！解：分析系统机械能守恒( (为什么？为什么？) )2、光滑斜面倾角 ，一弹簧 (k)一端固定，另一端系一绳 绕过一定滑轮与物体 相连。 滑轮转动惯量为 ，半径为 。设开始时弹簧处于原长，物体由静止沿斜面下滑，求 下滑 时物体的速度为多大。mJRml222212121mvJklsinmgl则有Rv 且有mmlR,Jk解得22212121RJmklsinmglv3、一行星质量为 ，半径为 ，今有一飞船在相距行星为 时，飞船相对行星静止，同时发射一速度为 质量为 的仪器，发射角为 ，使仪器恰好略着行星表面着陆。求角 应为多大？着陆滑行的初速多大？（设 飞船质量）1mRRr400v2m2m2m0r0vvR1m解：分析解：分析（1）不计其它作用力，仪器 只处在行星的中心力场中， 则由仪器和行星组成的系统对行星中心的角动量守恒。所以得恒矢量 vmrvRm