《指数函数·幂函数·对数函数增长的比较》

1、nyxxyalogayx例题：例题：例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投资方案选择原则：(1) 比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回

2、报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。多，我们就在那段时间选择该方案。(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)方案一

3、：每天回报方案一：每天回报40元；元； y=40 (xN*)三种方案的回报情况x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案一最多：

4、天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？画画图图累积回报表累积回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论结论 投资投资16天，应选择第一种投资方案；投资天，应选择第一种投资方案；投资

5、7天，应选择第一或二种投资方案；投资天，应选择第一或二种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资天，应选择第二种投资方案；投资11天（含天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。天）以上，应选择第三种投资方案。 问题提出问题提出 1.1.指数函数指数函数y=ay=ax x (a (a1)1)，对数函数，对数函数 y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n (n (n0)0)在区在区间（间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 2.2.利用这三类函数模型解决实际问利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样题，其增长速度

6、是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？认识这种差异呢？ 探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异 对于函数模型对于函数模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, y=log, y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. y=logy=log2x xy=xy=x2y=2y=2xx x思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表, , 这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4

7、850.4850 0-0.737-0.73711.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.3610.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5163.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.6y=2xy=x2y=log2x思考思考2:2:对于函数模型对于函数模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，观察下列，观察下列自变量与函数值对应表：自变量与函数值对应表： 当当x x0 0时，你估计函数时，你估计函

8、数y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的图象共的图象共有几个交点？有几个交点？ 思考思考3:3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象何？请画出其大致图象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考4:4:根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21 1和和n n0 0，在区间，在区间(0,+(0,+) )上上a ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? a ax x是否恒小于是否恒小于x xn n? ?思考思考2:2:

9、当当a a1 1，n n0 0时，在区间时，在区间(0,+(0,+) )上上, a, ax x与与x xn n的大小关系应如何阐述？的大小关系应如何阐述？ 思考思考3:3:一般地，指数函数一般地，指数函数y=ay=ax x (a(a1)1)和幂函和幂函数数y=xy=xn n(n(n0)0)在区间在区间(0,+(0,+) )上，其增长的快上，其增长的快慢情况是如何变化的？慢情况是如何变化的？思考思考4:4:对任意给定的对任意给定的a a1 1和和n n0 0，在区间，在区间 (0,+)(0,+)上上,log,loga ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? log? loga ax x是否是

10、否恒小于恒小于x xn n? ?思考思考5:5:随着随着x x的增大的增大,log,loga ax x增长速度的快慢增长速度的快慢程度如何变化程度如何变化? x? xn n增长速度的快慢程度如何增长速度的快慢程度如何变化？变化？思考思考6:6:当当x x充分大时充分大时,log,loga ax(ax(a1)1)与与x xn n (n(n0)0)谁的增长速度相对较快？谁的增长速度相对较快？思考思考7:7:一般地，对数函数一般地，对数函数y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂和幂函数函数y=xy=xn n(n(n0) 0) 在区间在区间(0,+)(0,+)上，其增长的上，其增长的快慢情

11、况是如何变化的？快慢情况是如何变化的？xyo1y=log=logax xy=x=xn思考思考8:8:对于指数函数对于指数函数y=ay=ax x(a(a1)1)，对数函数，对数函数 y=logy=loga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n(n(n0)0)，总存在一，总存在一个个x x0 0，使，使x xx x0 0时时,a,ax x,log,loga ax,xx,xn n三者的大小关系三者的大小关系如何？如何？思考思考9:9:指数函数指数函数y=ay=ax x (0(0a a1)1)，对数函数，对数函数y=logy=loga ax(0 x(0a a1)1)和幂函数和幂函数y=xy=xn n(n(n1)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。(2)、随着、随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越的增长速度越来越快，会远远大于快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。(3)、随着、随着x的增大，的增大， y=logax (a1)的增长速度越来的增长速度越来越慢，会远远小于越慢，会远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，