小波变换与小波滤波

1、小波变换与小波滤波小波变换与小波滤波2基本思想： 将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加。缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。傅立叶变换傅立叶变换34典型的地震记录 5实际采集的地震信号实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息6789101112131415 连续小波变换（连续小波变换（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale pos

2、itionf tscale positionCt dt表示小波变换是表示小波变换是信号信号f f( (x x) )与与被缩放和平移被缩放和平移的的小波函数小波函数()()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。之积在信号存在的整个期间里求和的结果。1.4 1.4 连续小波变换连续小波变换CWTCWT的的变换结果变换结果是许多是许多小波系数小波系数C C，这些系数是缩放因，这些系数是缩放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函数。）的函数。 16 基本小波函数()的缩放和平移操作 (1) (1) 缩放缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则

3、小波越窄小波的缩放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.2517(2) (2) 平移平移。小波的延迟或超前。在数学上小波的延迟或超前。在数学上, ,函数函数f f( (t t) )延延迟迟k k的表达式为的表达式为f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k) 基本小波函数()的缩放和平移操作18192021小波尺度和信号频率的关系小波尺度和信号频率的关系小尺度小尺度 信号的高频信号的高频大尺度大尺度 信号的低频信号的低频22

4、 在在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数系数，其计算量相当大，将产生，其计算量相当大，将产生惊人的数据量惊人的数据量，而且，而且有有许多数据是无用许多数据是无用的。的。1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）如果如果缩放因子和平移参数都选择为缩放因子和平移参数都选择为2 2j j（j j00且为且为整数）的倍数整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，来进行计算， 就会使分析的就会使分析的数据量大大减少数据量大大减少。23使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为使用这样的缩放因子和平

5、移参数的小波变换称为双尺度小波变换（双尺度小波变换（Dyadic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它，它是是离散小波变换离散小波变换（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一种形式。）的一种形式。1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 24 执行离散小波变换的执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器有效方法是使用滤波器， 该方法是该方法是MallatMallat于

6、于19881988年提出的，称为年提出的，称为MallatMallat算法算法( (马马拉拉) )。这种方法实际上是一种信号分解的方法，。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数在数字信号处理中常称为字信号处理中常称为双通道子带编码双通道子带编码。 1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）25一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations）另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）26实际应用中，实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的信号的低频分

7、量往往是最重要的，而高频分量只，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）27图图 多级信号分解示意图多级信号分解示意图（a a） 信号分解；信号分解； (b) (b) 小波分树；小波分树； （c c）小波分解树）小波分解树 28在使用滤波器对真实的数字信

8、号进行变换时，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是得到的数据将是原始数据的两倍原始数据的两倍。 根据根据尼奎斯特尼奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采样定理就采样定理就提出了降采样的方提出了降采样的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数离散小波变换的系数(coefficient)(coefficient)分别用分别用cDcD和和cAcA表示表示 1.6 1.6 离散小波变换（离散小波变换（DWTDWT）29 将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需

9、要把要根据需要把信号恢复出来信号恢复出来，也就是利用信号的小波，也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称为分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构小波重构（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做小波合成或叫做小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthesis）。）。1.7 1.7 小波重构小波重构 这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做这 一 合 成 过 程 的 数 学 运 算 叫 做 逆 离 散 小 波 变 换逆 离 散 小 波 变 换（Inverse Discrete W

10、avelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 30小波重构算法示意图 SHLHL1.7 1.7 小波重构小波重构 31 (1) (1) 重构近似信号与细节信号重构近似信号与细节信号由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的的近似值近似值或或细节值细节值，这时只要近似系数或细节系数置，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。为零即可。 1.7 1.7 小波重构小波重构 32

11、重构近似和细节信号示意（a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 A1HL1000个 样 点0约 500个 0cA1约 500个 近 似 分 量(a)D1HL1000个 样 点(b)约 500个 0约 500个 近 似 分 量0cD11.7 1.7 小波重构小波重构 33 (2)多层重构重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信号可用A1D1S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构图: 1.7 1.7 小波重构小波重构 34重构过程为：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D11.7 1.7 小波重构小波重构 应用之一：小波分析信号去噪中的应用应用之

12、一：小波分析信号去噪中的应用主要内容主要内容心电信号的噪声特点小波分析与传统信号处理方法的比较小波去噪的基本原理小波去噪的基本步骤小波去噪中的阈值函数和阈值的选取小波去噪中小波函数的选择去噪效果的评价程序说明总结心电信号（ECG）是典型的强噪声的非平稳的随机信号。正常心电信号的频率范围在0.01 Hz-100Hz之间，而90%的ECG频谱能量又集中在0.25 H z-35H z之间。在心电信号的采集和A/ D 转换过程中,心电信号不可避免地受到各种类型的噪声干扰,概括起来主要包括以下三类噪声:一、心电信号的噪声特点一、心电信号的噪声特点一、心电信号的噪声特点一、心电信号的噪声特点（1）由于电源

13、磁场作用于心电图机与人体之间的环形电路所致的50 Hz/ 60 Hz 工频干扰;（2）由于病人肌肉紧张产生的肌电干扰;（3）由于病人呼吸运动或者由电极电极皮肤之间界面阻抗所致的频响,一般小于1 Hz 的基线漂移； 这些噪声干扰与心电信号混杂,引起心电信号的畸变,使整个心电信号波形模糊不清,对随后的信号分析处理,尤其是计算机自动识别诊断造成误判和漏判,因此,心电信号的消噪有重要的意义。一、心电信号的噪声特点一、心电信号的噪声特点00.511.522.533.544.55-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8128 1111111811111111111111111111111

14、111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Time / sVoltage / mVECG signal 100.dat二、小波分析的去噪原理二、小波分析的去噪原理)(*)()(tetfts1_, 1 , 0nt在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型可表示为：其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， 为噪声标准偏差。二、小波分析的去噪原理二、小波分析的去噪原理 有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。而噪声信号通常

15、表现为高频信号。 利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。 基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。（即对较小的小波系数置为，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达到消噪的目的。CD3CD2CA3CA2sCA1CD1小波分解的结构示意图小波分解系数示意图三、小波分解示意图：四、一维信号利用小波除噪的步骤四、一维信号利用小波除噪的步骤1.小波变换去噪的流程示意图：预处理小波变换多尺度分解各尺度小波系数除噪小波逆变换重构信号除噪后的信号含噪信号小波除噪的具体步骤：(1) 对

16、含噪信号进行预处理,并进行小波分解。选择小波确定分解的层数N,然后对信号s进行N层分解。四、一维信号利用小波除噪的步骤四、一维信号利用小波除噪的步骤(2) 小波分解的高频系数的阈值量化。对第一层到第N层高频系数，选择软阈值或硬阈值量化处理。() 一维小波重构。根据小波分解的第N层低频系数和第一层到第N层的高频系数，进行一维重构。 在上面的步骤中，最为关键的就是如何选取阈值和如何阈值量化，从某种意义上讲，它直接影响信号去噪的质量。信号去噪：信号去噪：在小波变换域上进行阀值处理。多层小波分解阀值操作多层小波重构五、阈值函数和阈值的选取五、阈值函数和阈值的选取阈值函数阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。

17、为阈值。阈值后的小波系数，为小波系数，设ww(1).硬阈值(hard threshol ding)当小波系数的绝对值大于等于给定阈值时，保持不变，而小于时，令其为。即：五、阈值函数和阈值的选取五、阈值函数和阈值的选取(2).软阈值(soft threshol ding)当小波系数的绝对值大于等于给定的阈值时，令其值为减去阈值；而小于时，令其为即：采用这种阈值方法去噪在实际应用中，已取得了较好的效果，但也存在着一些潜在的缺点，如硬阈值在阈值点不连续，重构可能产生一些震荡；软阈值连续，但估计的小波系数和分解的小波系数有恒定的偏差，直接影响重构信号对真实信号的逼近程度五、阈值函数和阈值的选取五、阈值

18、函数和阈值的选取阈值的选取 阈值的选择是小波去噪和收缩最关键的一步，在去噪过程中阈值起着决定性的作用：如果太小，施加阈值后小波系数包含太多的噪声分量，达不到去噪效果；反之，则去除了有用部分，使信号失真。阈值选择方案及对应的MATLAB命令(1) 固定阈值(sqtwolog)选取的算法是：五、阈值函数和阈值的选取五、阈值函数和阈值的选取 (2) Stein无偏似然估计阈值(rigrsure)对于给定一个阈值t，得到它的似然估计，再将非似然的t最小化，就得到了所选的阈值。(3) 启发式阈值(heursure)它是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择，如果信噪比很小时，无偏似然估计的误差交大，此

19、时，采用固定阈值。令：五、阈值函数和阈值的选取五、阈值函数和阈值的选取进行比较，如果时采用固定阈值，反之，选择无偏似然估计。(4) 极大极小阈值(minimaxi)它的原理是令估计的最大风险最小化，其阈值选取的算法是：六六、小波函数的选择小波函数的选择小波变换不象傅里叶变换是由正弦函数唯一决定的，小波基可以有很多种，不同的小波适合不同的信号去噪，对于确定的信号，如果小波选择不当，去噪结果可能相差很远，还有可能丢失有用的信息。面对各种小波，到底选择哪一种来处理心电信号才能满足医疗上的需要，必须经过大量的仿真研究结果来进行筛选 。根据大量文献记录B样条函数适合心电去噪：样条函数是一种非紧支撑正交的

20、对称小波，有较高的光滑性，频率特性好，分频能力强，频带相干小的特性。六六、小波函数的选择小波函数的选择在信号处理中小波的作用是带通滤波器，且对称和反对称性分别等价为线性相位和广义线性相位。我们知道，当一个带通滤波器不是线性相位或广义线性相位时，它将使通过的信号产生畸变。从理论和实际应用的观点出发，具有紧支集的小波是最富吸引力的。 B样条是一类基本的样条函数，而它的支撑区是最小的所以，B样条小波是一种合适的选择。七七、小波去噪效果评价小波去噪效果评价式中yi表示标准原始信号, xi 表示经处理后的估计信号。其中，SNR越大越好, MSE 越小越好。八八、小波去噪程序小波去噪程序输出评价结果及去噪

21、后的心电信号去噪效果的评价根据选取的阈值去噪及重构求各层的阈值提取各尺度小波系数对被选的心电信号进行小波分解选取其中一个导联的数据调用心电数据开始去噪程序流程图八、小波去噪程序%应用db5作为小波函数进行3层分解%利用无偏似然估计阈值%对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理clear;clcload(D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat);E=M(:,2);E=E;n=size(E);s=E(1:2000);%小波分解C L=wavedec(E,3,db5);% 从c中提取尺度3下的近似小波系数cA3=appcoef(C,L,db5,3

22、);%从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数cD1=detcoef(C,L,1);cD2=detcoef(C,L,2);cD3=detcoef(C,L,3);八八、小波去噪程序小波去噪程序%使用stein的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值%cD1,cD2,cD3为各层小波系数， %rigrsure为无偏似然估计阈值类型thr1=thselect(cD1,rigrsure);thr2=thselect(cD2,rigrsure);thr3=thselect(cD3,rigrsure);%各层的阈值TR=thr1,thr2,thr3;%s为软阈值;h硬阈值。SORH=s;%-去噪-%XC为

23、去噪后信号%CXC,LXC为的小波分解结构%PERF0和PERF2是恢复和压缩的范数百分比。%lvd为允许设置各层的阈值,%gbl为固定阈值。%3为阈值的长度XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2=wdencmp(lvd,E, .db5,3,TR,SORH);八八、小波去噪程序小波去噪程序%-去噪效果衡量（SNR越大效果越好,%MSE越小越好）-%选取信号的长度。N=n(2);x=E;y=XC;F=0;M=0;for ii=1:N m(ii)=(x(ii)-y(ii)2; t(ii)=y(ii)2; f(ii)=t(ii)/m(ii); F=F+f(ii); M=M+m(ii);end;

24、八八、小波去噪程序小波去噪程序SNR=10*log10(F);MSE=M/N;SM=SNR/MSE;%对比原始信号和除噪后的信号subplot(2,1,1);plot(s(1:1000);title(原始信号)subplot(2,1,2);plot(XC(1:1000);title(除噪后的信号)SNR,MSE程序运行结果：TR = 0.0708 0.3636 1.0552SNR = 121.6977MSE = 0.0024九九、总结：总结：通过一些仿真结果来看，选择不同的小波函数和不同的阈值，去噪的效果相差甚远。选择db5小波，默认阈值对心电去噪处理效果较好。该程序与前一程序的不同之处主要是

25、表现在阈值的选取上。程序的不同之处与仿真结果九、总结：%-使 用 阈 值 法 去 噪 -%利 用 ddencmp得 到 除 噪 的 默 认 参 数%thr,分 别 表 示 是 阈 值%sorh软 阈 值 (或 硬 阈 值 )%keepapp允 许 用 户 保 存 的 低 频 系 数%den,wv,E分 别 为 降 噪 (cmp表 示 压 缩 )%小 波 (wp小 波 包 ),和 降 噪 信 号 .thr,sorh,keepapp=ddencmp(den,wv,E);%去 噪clean=wdencmp(gbl,C,L,db5,3,thr,sorh,keepapp);%gbl为 所 有 的 级 次 都 选 择 相 同 的 阈 值