2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题

1、2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题、填空题1 .设全集 U 1,2,3,4,5,若a A 1,2, 4,则集合 A【答案】3,5.【解析】直接求根据euA 1,2,4求出集合A即可.【详解】 解：因为全集 U 1,2,3,4,5若6 A 1,2,4,则集合A 3,5.故答案为：3,5.【点睛】本题考查补集的运算，是基础题2.已经复数z满足（z 2）i 1 i（i是虚数单位），则复数z的模是【答案】.10【解析】【详解】Q(z 2)i 1 i ,z32 U 3 i, ii府,故答案为Tic.3.已知一组数据a1，a2,a3,an的平均数为a,极差为d,方差为S2 ,则数据1

2、的方差为2a1 1, 2a2 1, 2a3 1 ,，2小【答案】4S2【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差 是原来数据的平方倍，得到结果.【详解】解：:数据4e2自，an的方差为S2数据 2ai1, 2a21, 2a3 1,，2an1的方差是S2224S2,故答案为：4S2.【点睛】 此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系.4 .如图是一个算法的伪代码，具输出的结果为STForf From 1 To 10 Step I*-5+5 小+I)End ForPrintS10【答案】1011- ,11【解析】由题设提供的算法流程图可知：S12 2 3

3、110 1111 111011 '10，其应填答案10 . 115 .从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数中奇数的个数为【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从 0、2中选一个数字0,则0只能排在十位； 从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位，由此可得结论.解：从 0、2中 选一个数字0,则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，2共有A3 =6种；从0、2中选一个数字2,则2排在十包，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 履=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 &=6种；故共有3&am

4、p;=18种，故答案为18.【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键226 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C:2 % 1a 0,b 0的离心率为 a bM ,则双曲线C的渐近线方程为.【答案】y 3x【解析】由双曲线的离心率为屈，可以得到- '而，再根据a2 b2 c2求出 aa,b的关系，从而得出渐近线的方程.【详解】22解：因为双曲线C:今与1 a 0,b 0的离心率为 屈,a b所以ca2故 cy 10 , a又因为a2 b2 c2 ,2 ,2,2b所以10 ,即b2 9 ,即b 3, aaa所以双曲线的渐近线y 3x.【点睛】本

5、题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出a,b的关系，从而解决问题.7.将函数f(x)的图象向右平移对个单位后得到函数y 4sin 2x噂的图象，则 63f 4为【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移6个单位后得到函数y 4sin 2x f的图象，即将函 数y 4sin 2x 的图象 向左平移f个单位得 336一 -_， 一、TT一一一 一y=4sin2 ( x+ f)=4sin2x ，所以 f -f =4sin 4 .6342故答案为：4.【考点】三角 函数的图象平移.8 .设定义在R上的奇函数f(x)在区间0,)上是单调减函数，且f x2 3x f(2) 0,

6、则实数x的取值范围是【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数 f(x)在R上为减函数， 则f x2 3x f (2) 0可以转化为x2 3x 2,解可得x的取值范围，即可得答 案.【详解】解：根据题意，f(x)是在R上的奇函数，且在区间0,)上是单调减函数，则其在区间(，0)上递减，则函数f(x)在R上为减函数，-222_2_f x 3x f (2) 0 f x 3x f(2) f (x 3x) f( 2) x 3x 2, 解得：1x2;即实数x的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2).【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域

7、上的 单调性.39 .在锐角三角形ABC中sin A 3, tan(A B)(,则3tan C的值为.53【答案】79【解析】由题意可得tanA,进而可得tanB,而tanC tan(A B),由两角和与 差的正切公式可得.【详解】解：;在锐角三角形ABC 中 sin Acos A1 sin2 Atan Asin Acos AtanBtanA(AB)tan Atan(A B)1 tan Atan(AB)tanCtan(A B)tanA tan B1 tan AtanB341 341393 134 ©1313793tanC7913-9，故答案为：79.【点睛】本题考查两角和与差的正切公

8、式，属中档题.N*)且a2 11.则现的值10 .已知Sn为数歹Ian的前n项和Sn na 3n(n 1)(n【答案】5【解析】由Sn nan 3n(n 1)(n N*),且a? 11.取n 2即可得出.【详解】解：: Sn nan 3n(n 1)(n N*),且 a2 11 .a a22 a2 6 ,艮口 a1 a2 6 5 .故答案为：5.【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题.x+ y一x- y11 .设正实数x, y?两足xy二,则实数x的最小值为.【答案】、2 1.x+ y .22.【解析】由正实数x, y酒足xy=,化为xy 1 x y x 0 ,可得x- y2 22x24x

9、2 0y1y2x2 1xyy21 00,计算即可.【详解】解：由正实数y满足xy =x+ yx-化为xy20,x2 24x2x4 6x2 1 0* y2解得x 2 1 .因此实数x的最小值为近1.故答案为：短1.【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、 根与系数的关系、一元二次不等式 的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.12 .如图正四棱柱ABCD ABCQ1的体积为27,点E, F分别为棱B1BQ1C上的点（异于端点）且EF/BC ,则四棱锥A AEFD的体积为【答案】91【解析】由Va AED VE AiAD 鼻 S AAD AB,由此能求出四棱锥 A AEFD的体积.

10、3【详解】解：连接DE ,AB二.正四棱柱ABCD ABCiDi的体积为27,点E, F分别为棱BiB,CiC上的点（异于端点），且EF/BC,VA1 AEDVai FED ,/iii、,9VAi AEDVEAAD- SAiADAB-' SAiADDiAB二 VABCDAiCi Di二3662四棱锥A AEFD的体积 V aefd 9 .故答案为：9.【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题.rrr rrr r,r 入i r , r 入i3.已知向量a,b,c满足a b c 0且a与b的夹角的正切为

11、一,b与c的夹角 2. i r 一.rr 的正切为-，|b| 2 ,则a c的值为35uurr uuirr uuurii【解析】可设ABa,BCb,CAc,由题意可得tanB ,tanC-,由两角和23的正切公式，可得tanA,再由同角的基本关系式可得sinB,sinC ,再由正弦定理可得AB, AG由数量积的定义即可得到所求值.【详解】r uuuc,由题意可得tanB1,tan C 2则 tan A tan(BC)tan B tan C1 tan BtanC1,uuu uur r uuu 解：可设 AB a,BC b,CA即为A 135 ,又B,C为锐角，sin2 B2 、 cos B( s

12、in B,cosB5明寸sin B5同理可得sinC10，由正弦定理可得2sin135r|c|35r|a|10即有r uur|c|a | cos452.1052.52522.554故答案为：-5【点睛】本题考查向量的数量积的定义,考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题.14.已知 f(x) m(x 2m)(xm 3),g(x) 2x 2,若同时满足条件：x R, f (x) 0 或 g(x) 0； x (, 4), f(x)g(x) 0.则 m 的取值范围是【答案】m 4, 2【解析】根据g(x) 2x 2 0可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x

13、)在x 1是必须是f(x) 0,当m=Q0寸，f (x) 0不能彳OU f(x)在x 1时f(x) 0,所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故 m<0,且此时21x1 2m 1 m -个根为x1 2m&m 3,为保证条件成立，只需o 2 ,x2 m 3 14m 4和大前提m<M交集2果为4 m 0;又由于条件2的限制，可分析得出在x ( , 4), f(x)恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比xx2两个根中较小的来的大，当 m ( 1,0)时，m 34,解得交集为空，舍.当m=-1时，两个根同为 2 4,舍.当m ( 4, 1)时，

14、2m 4,解得m 2 ,综上所述，m (4, 2).【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大 小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨 论思想.二、解答题_ uur uuu uuu15.已知 ABC的面积为9由，且AC (AB CB) 18,向量Ur口m (tan A tan B,sin 2C)和向重 n (1,cos AcosB)是共线向重(1)求角C;(2)求ABC的边长c.【答案】(1) C (2) 3.63【解析】(1)利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C;r uuur uuuuuuuuir

15、uuuuuruuur2(2)由 AC (ABCB)18得：AC(ABBC)AC18,进而利用ABC 的面 积为9石，及余弦定理可求 ABC的边长c .【详解】一 .，一 r一 r(1)因为向重 m (tan A tan B,sin 2C)和 n (1,cos Acos B)是共线向重，所以 cos AcosB(tan A tan B) sin 2C 0,即 sinAcosB cosAsin B 2sin CcosC 0 ,化简 sin C 2sin C cosC 0,即 sinC(1 2cosC) 0 .因为0 c ，所以sinC 0, 1- 从而 cosC , C . 23uuur uuin

16、 uuu (2) Q AC (AB CB) 18, uuur uuin uuuuur uuur uuir18 AC (AB CB) AC AC | AC |则|跑 | .W 3 J,于是 AC 3x2.因为VABC的面积为9点，1 所以一CA CBsinC 9 3,21即一3、,2CBsin 9 3 23解得CB 6.2在VABC中，由余弦定理得 AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC(3.2)2 (62)2 2 3 2 6 2 1 54 ,所以 AB .54 3.6 .【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确 运用正弦、余弦定理求出三角形的边.1

17、6.如图，四棱锥P ABCD勺底面为矩形，且AB=1，BO 1, E, F分别为AB, PC中点.(第16即)(1)求证：EF/平面PAD(2)若平面PACL平面ABCD求证：平面 PAC1平面PDE.【答案】证明：(1)方法一：取线段PD的中点M连结FMAM因为F为PC的中点，所以FM/ CD且FMh CD因为四边形ABC师矩形，E为AB的中点，所以 EA/ CD 且 EA= - CD所以FM/ EA 且F隹EA所以四边形AEF皿平行四边形.所以EF/ AM 5分又AM平面PAD EF平面PAD所以EF/平面PAD方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N,连结PN因为四边形ABCM矩形，所以

18、AD/ BC,所以/ Bg /ANE /CBP / NAE又 A已 EB,所以 CEB ANE/A 所以 CE= NE又F为PC的中点，所以EF/ NR 5分又NP平面PAD EF平面PAD所以EF/平面PAD 7 分方法三：取CD的中点Q连结FQ EQ在矩形ABC时,E为AB的中点，所以A已DQ且AE/ DQ所以四边形AEQ时平行四边形，所以EQ/ AD又AD平面PAD EQ平面PAD所以EQ/平面PAD2分因为Q, F分别为CD CP的中点，所以FQ/ PD又PD平面PAD FQ平面PAD所以FQ/平面PAD又FQ EQ平面EQF FCT E岸Q 所以平面EQF/平面PAD 5分因为EF平

19、面EQF所以EF/平面PAD 7分(2)设AG DE相交于G在矩形ABCDK因为AB= « BG E为AB的中点.所以DA=空 =1. AE DA又 / DAE= / CDA 所以4 DA曰 CDA 所以 / ADE= / DCA又/AD曰 /CDE= /ADC= 90° ,所以 / DCAb / CDE= 90° .由DGC勺内角和为180° ，得/ DG。900 .即DEL AC 10分因为平面PACL平面ABCD因为DE平面ABCD所以DE1平面PAC又DE平面PDE所以平面PACL平面PDE 14分【解析】略17.如图，OM ON>两条海岸

20、线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OMk的一个 码头.已知的“吸=5空Q到海岸线OM ON的距离分别为3仙了km.现要在海岸线ON±再建一个码头，使彳#在水上旅游直线 AB经过小岛Q.(1)求水上旅游线AB的长；(2)若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波 P,从水波生成 t h时的半径为二期记(a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以 1342km/h的速度自码头A开往码头B,问实数a在什么范围取值时，强水波不 会波及游轮的航行.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由条件建立直角坐标系较为方便表示： “叫 直线。* 迎的方程为吁一 3冗怎私3吸户口,由Q

21、到海岸线ON勺距离为亍km,得即均=入北F- ',解得益=再由两直线交点得岚一'9,利用两点间距离公式得AB = "一"铲”二 96t(2)由题意是一个不等式包成立问题：设 小时时,已F呼"?对f E2打恒成立游轮在线段 上的点 处，工而不等式包成立问题往 往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题:"口2什?48>2=24镉48°田为无轴，建立直角坐标系如图所示.则由题设得：的切，直线的方程为好一为加°)即然I _1冗由F 一丁，及得工。=3, .口3).直线4Q的方程为尸=_/一切，即j y三一 3月俨三一fi

22、=。，由=。得心=g.AB = J(-3-6)2 4P2 3 96( AB 9 42km”,即水上旅游线 的长为F/(2)设试验产生的强水波圆 ，由题意可得P (3, 9),生成 小时时，游轮在/I ff 厂1 /C = 1 82tfC 三 I 三 - C'i 1 Sr 1 Kr线段相上的点已处，则:.0 6-1舐网.强水波对E"；桓成立,不会波及游轮的航行即一 "=例一"儆7八”卡。时产式值成立，f丰8时，即£三色时,s<7法一卫一布伞且m=7九十四银f三白 aifj.?耳=7九十里一金上2473%f=4',当且仅当$,时等号成立

23、，所以，在< 24/5 - 48 rPC时 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行.【考点】函数实际应用，不等式包成立218.在平面直角坐标系xOy中已知椭圆E:： a21(a b30)过点1,-2 ,其左、右焦点分别为Fi、F2,离心率为 巨.2(1)求椭圆E的方程;(2)若A, B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足MBE于点P.,um uuur ,一(i )求证：op OM为止值；AB ,且M岐椭圆(ii )设PB与以PM为直径的圆的另一交点为 Q问：直线MQ1否过定点，并说明理由.【答案】(1)2T 1 (2)6证明见解析，定值为4(ii )直线MQ过定点 0(0,0).【解析】(

24、1)由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的a,b,c的关系,可得a,b,进而得到椭圆方程;(2) (i)设M 2,y° , P月,必，求得直线MA勺方程，代入椭圆方程，解得点P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证;(ii )直线MQM定点0(0, 0) .先求得PB的斜率，再由圆彻t质可得MQLPB,求出MQ勺斜率,再求直线MQ勺方程，即可得到定点.【详解】解：(1)32b2 *造21,且 c2a2 b2,a所以椭圆解得2 b2(2)设 M 2,yo , P Xi,yi易得直线MA的方程为：y Xx也， 4222 z , -2 r y； 8 y2 820,代入椭圆士

25、 L 1得，1X2号X4282由2x1,24 yo8y28Xi2 y2 8y2 8,从而yi8yoy0"-8，2,yo24 y。88y2,2 c2c4'yo 8yo8unr uuuu 所以示OP OM22 y0 8 8yo直线MQ过定点O(O,O),理由如下:8yoy； 82 y2 8yo 8由MQ PB得，kMQ号则MQ的方程为：y yo £(x 2),即y 号, 所以直线MQ过定点O(O,O).【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用， 注意联 立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直 线和圆的位置关系

26、，属于中档题.19 .已知数列an满足：ai a2 a3 k (常数k O),K anan 1*，一an an 2*an 1 n 3,n N .数列bn满足：bn n N .an 1an 1(1)求 b1, b2, b3, b4的值；(2)求出数列bn的通项公式；(3)问：数列an的每一项能否均为整数？若能，求出 k的所有可能值；若不能，请说明理由【答案】(1)blb32,b2b42； (2)bn4； (3) k 为 1,k2k 2k2时数列an是整数列.2【解析】1)经过计算可知：a4 k 1包k 2,a6 k 4 -,由数列bn潴 k一.an an 2足：bn (n=1, 2, 3, 4)

27、，从而可求匕也也，b4；an 1(2)由条件可知an 1an 2 k anan 1 .得an 2an 1 k an 1an ,两式相减整理得bn bn 2 ,从而可求数列bn的通项公式;(3)假设存在正数k,使得数列an的每一项均为整数，则由(2)可知:a2n 12 a2 n a2n 122k 1，由 a1 k Z , a6 k 4 Z,可求得 k 1,2 .证a2n 2；a2n 1a2nkk明k 1,2时，满足题意，说明k 1,2时，数列an是整数列.【详解】2(1)由已知可知：a4 k 1,a5 k 2,a6 k 4 一， k把数列an的项代入bn an an 2an 1.2k 1求得 b

28、1 b32, b2 b4；kr / k anan 1(2)由 an 1 (n 3,n N )an 2可知：an 1an 2 k anan 1 则：an 2an 1 k an1an -有：瑟2an 2即：bnbn 2b2n 1b2n 3b1a1 a3-丁 2, b2n b2n2b2a3a32k 1k ，bn（3）假设存在正数k使得数列an的每一项均为整数,4k 1 （1）；2k 2ka2n 1 2a2n a2n 1则由（2）可知：2k 1，a2n 2a2n 1 a2nk,_2一 ，由 ak Z,a6k 4 -Z,可知 k1,2.k2k 1当k 1时， 3为整数，利用a1,a2,a3 Z结合式可知

29、 斗 的每一项均为k整数；a2n 1 2a2n a2n 1当k 2时，变为5a2n 2a2n 1 a2n2用数学归纳法证明a2n1为偶数，a2n为整数.n 1时结论显然成立，假设n k时结论成立,这时a2n1为偶数，a2n为整数,故a2n 1 2a2n a2n 1为偶数，a2n 2为整数,n k 1时，命题成立.故数列an是整数列.综上所述k为1, 2时数列an是整数列.【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题.20 .设函数 f(x) (x a)ln x x a, a R.(1)若a 0求函数f(

30、x)的单调区间；(2)若a 0试判断函数f(x)在区间e2,e2内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a都存在实数t满足：对任意的x (t,t a),f(x) a 1 .【答案】(1)单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,). (2)见解析(3)证明见解析【解析】(1)求解f (x) lnx,利用f (x) 0,f (x) 0,解不等式求解单调递增区间，单调递减区问；.a ,(2) f (x) lnx ,其中 x 0, x再次构造函数令g(x) xln x a ,分析g(x)的零点情况.g (x) In x 1 ,1令g(x) 0,x 1,列表分析得出g(x)单调性，求其

31、最小值， e1_12_2. 一分类讨论求解若a 1,若1 a 各，若彳a 0,f(x)的单调性，ee eef(x)最大值，最小值，确定有无零点问题；(3)先猜想x (1,1 a), f(x) a 1包成立.1再运用导致判断证明.令G(x) ln x x 1,x 1,G (x) 1 0 ,求解最大值， x得出G(x) G0即可.【详解】(1)当 a 0时，f(x) xln x x , f (x) lnx,令f (x) 0 , x 1 ,列表分析x(0,1)1(1,)f (x)-0+f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,).(2) f (x) (x a)l

32、n x x a , f (x) In x ax ,其中 x 0,令g(x) xln x a ,分析g(x)的零点情况.g (x) In x 1“1令g (x) 0 , x -,列表分析 ex(0,1e)1e(1e,)g (x)-0+g(x)单调递减单调递增一、11g(x)min g(-) a,e e而 f (1) In1 ae 1 ae, f(e2)2 ae当a,0时，f在(e ,e )内有一个极值点.e(2 ae2)e e2a1-2f (e2) 2 下(2e2 a), e e1 a右 a 一则 f (x) In x - 0 , ex故f(x)在(e2,e2)内没有极值点；一 1211oo若

33、一 a 二，则 f(一) 1n- ae 0, f (e2)(2 ae2) 0eeee,212f (e2)2(2e2 a) 0e因此f (x)在(e 2,e2)有两个零点，“刈在e2,e2)内有两个极值点；2 一 1199右a 0 则 f (一) 1n - ae 0 , f (e )(2 ae ) 0 ,ee e,212f (e ) -(2e a) 0 , e因此f (x)在(e 2,e2)有一个零点，f(x)在(e 2,e2)内有一个极值点；1综上所述当a (, 1时，f(x)在(e2,e2)内没有极值点；e12(3)猜想：x (1,1 a),f (x) a 1包成立.当a -, 时，f(x)

34、在(e ,e )内有两个极值点； e e证明如下：1由(2)得 g(x)在(，)上单调递增，且 g(1) a 0,g(1 a) (1 a)ln(1 a) a. e1因为当x 1时，In x 1 (*),x1所以 g(1 a) (1 a)(1 ) a 0a 1故g（x）在（1,1 a）上存在唯一的零点，设为刈.由x（1,x。）Xo(Xo,1 a)f (x)-0+f(x)单调递减单调递增知 x (1,1 a), f(x) maxf(1), f(1 a).又 f(1 a) ln(1 a) 1,而 x 1 时，In x x 1(*),所以 f(1 a) (a 1) 1 1 a 1 f (1).即 x

35、(1,1 a) , f (x) a 1.所以对任意的正数a,都存在实数t 1,使对任意的x (t,t ),使 f (x) a 1 .补充证明(*):人111x 1令 F(x) 1nx - 1 , x 1. F (x) 2- 0 , xx x x所以F(x)在1,)上单调递增.1所以 x 1 时，F(x) F(1) 0 ,即 lnx 1 1. x补充证明(*). 一. _1令 G(x) ln x x 1 , x 1. G (x) - 1 0,x ，所以G(x)在1,)上单调递减.所以 x 1 时，G(x) G(1) 0 ,即 lnx x 1.【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用

36、导数解决函数的极值与最值 问题.求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数 的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合， 难度较大.21 .已知二阶矩阵总二I”耳，矩阵且属于特征值b=一 /的一个特征向量为叼=,属于特征值融=4的一个特征向量为% =:.求矩阵且.L 2【答案】A= 2 $【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 上【详解】由特征值、特征向量定义可知，月为=力见,同理可得了:？解得厘=因此矩阵,二，I 允十 2d = o./ J【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵， 只需运用定义得出方程组即可求出 结果，较为简单22.在

37、极坐标系中，已知A 1- ,B 9,-，线段AB的垂直平分线l与极轴交于 33点C ,求l的极坐标方程及 ABC的面积.【答案】l的极坐标方程及 cos 35, ABC的面积20百.【解析】将A 1- ,B 9,一转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 33的中点与直线AB的斜率，进而求出直线l在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点 C到直线AB的距离、线段AB的长度，从而 得出 ABC的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xoy在平面直角坐标系xoy 中,A 1- ,B 9,一)网”线段AB的中点为故线段AB中垂线的斜率为

38、1kAB所以AB的中垂线方程为:5.32Sx 5)32化简得：x 圣10 0所以极坐标方程为cos3 sin即 cos( ) 53，令 y 0,则 x 10,故在平面直角坐标系xoy中，C (10,0)点C到直线AR y显的距离为1073线段AB 8,故ABC的面积为S20,3.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题,解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题23.已知实数a,b满足a b 2,求证:22a2 2a b2 2b 4( a 2).【答案】证明见解析【解析】对a2 2a b2 2b进行转化，转化为含有|a b 2形式，然后通过不等关系得证.【详解

39、】解：因为|a b 2,所以 a2 2a b2 2b22_a b 2a 2ba b a b 2 a ba ba b 2a b|2a a b 2a b| 2a a b 22 2a 2 2 2 2a 4| 4 a 2 4 a| 2 ,得证.【点睛】 本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的 条件，考查了学生转化与化归的能力24.如图，在四棱锥P ABCD中，已知棱AB , AD , AP两两垂直，长度分别uur uuu为 1, 2, 2.若 DCAB (uuu uuin15R),且向量PC与BD夹角的余弦值为 L5 .15(1)求的值；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2； （2） .5【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴uuur uuur建立空间直角坐标系A xyz,写出PC, BD的坐标，根据空间向量夹角余弦公r式