2020-2021学年贵州省遵义市航天高级中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

1、2020-2021学年贵州省遵义市航天高级中学高二上学期第一次月考数学试题、单选题1.若直线经过 A（1,0）, B 4,J3两点，则直线 AB的倾斜角为（）A. 30B.【答案】A【解析】【详解】试题分析：式的直线AB的斜率kAB【考点】1、直线的斜率公式;45C. 60设直线 AB的倾斜角为页_0巫，所以tan4 132、直线的倾斜角.D. 120(0180 ),由两点斜率公,30 ,故选 A.32.过点P 1,3 ,且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为（A. 2x y 1 0B. 2xy5 0 C.x 2y 5 0【解析】根据所求直线垂直于直线 x 2y 3 0,设其方程为2x y

2、m 0,然后将点P 1,3代入求解.【详解】因为所求直线垂直于直线 x 2y 3 0,所以设其方程为2x y m 0,又因为直线过点P 1,3 ,所以2 13m 0,解得m 5所以直线方程为：2x y 5 0故选：B【点睛】本题主要考查两直线的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题3,已知m, n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. m , n , m , n |m II nC. m , m n n |D . n II mi, n m【答案】D【解析】【详解】若a/ 3, m a, m &则m, n可能平行也可能异面，故 B错误；若m ±

3、a, m±n,则n/ a或n a,故C错误；若mn a, m / 3, n / 3,由于 m, n不一定相交,故all 3也不一定成立，故 A错误；若m/n, n± a,根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m± a,故D正确.4 .已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S,底面周长为C,则圆柱的体积为（）C34 SB.C3C.CSD.CS4【答案】D【解析】 先利用圆柱的底面半径、圆柱的高表示 S、C以及体积，再化简求三者关系即得结果.【详解】设圆柱的底面半径为r、圆柱的高为h ,2 rh, C 2 r, h , r Cr2h,C、2 SSC(r) C厂故选：D【点睛】本

4、题考查圆柱体积、侧面积，考查基本分析求解能力，属基础题5 .若直线（a 2）x （1 a）y 3与直线（a 1）x （2a 3）y 2 。互相垂直，则a等于（）A. 1B. -1C. ±1D. -2【答案】C【解析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可.解：当a 1时，利用直线的方程分别化为:5 y 2 0 ,此时两条直线相互垂直.如果a3 ,两条直线的方程分别为 x 5y20与5x32；a 0,当a 1时，此两条直线的斜率分别为a 12a 3;两条直线相互垂直,（产式1 a综上可知：a)1 ,化为 a 12a 31 .本题考查了相互垂

5、直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法,属于基础题.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（C. 6D. 3【解析】【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为V12 412 2 3本题选择D选项.7.在正方体ABCDAB1clD1 中,E,F分别为AB,AD的中点，则异面直线 B1c与EF所成角的大小为（A. 30B. 45C. 60D. 90【解析】利用平行的传递性得出 EF/D1B1 ,得出异面直线BQ与EF所成角为DiBiC ,再由aBCDi为等边三角形，确定异面直线 BiC与EF所成角.【详解】如下图所示，连接 B

6、D,BiDi,DiCvEF/DB,DB/D1B1 ,EF/D1B1则异面直线BiC与EF所成角为 ABCv D1B1 BQ DiC ,即BCDi为等边三角形D1B1c 60故选：C【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题8 .若P是&ABC所在平面外点，PA , PB , PC两两垂直，且PO 平面ABC于点O, 则。是ABC的（）A .内心B.外心C.重心D.垂心【答案】D【解析】点P为ABC所在平面外一点，PO 平面ABC,垂足为O,连结OA并延长, 交BC与D连结BO并延长，交AC于E,求证BE AC、AD BC ,即可求得答案.【详解】£B连结OA并延长交B

7、C与D ,连结BO并延长交AC于E,PA PB, PA PC, PB PC PPA 面 PBC又BC 面 PBCPA BC,丁 PO 面 ABCPO BCBC 面 PAO,故 AO BC,即 AD BC同理：BE AC;根据三角形垂心定义可知 ：。是ABC的垂心.故选：D.【点睛】本题根据线面垂直判断三角形的垂心，解题关键是掌握线面垂直判断定理和三角形垂心的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.9 .由直线y x 2上的点向圆(x 4)2 (y 2)2 1引切线，则切线长的最小值为()A.历B. 731C. 472D.底【答案】B【解析】 过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切

8、线，切线长最小.【详解】圆心A(4, 2),半彳5 r 1，圆心到直线的距离 d4 2 2,24、2则切线长的最小值 =(4%2)2 1231【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题.10.曲线 y -1 +v4-x2 ( x2,2 )与直线y k x 24有两个公共点时，则实数k的取值范围是()0,152B.1,一C.,12D.9 3 , 、12 4【解析】易知曲线y -1 + 4-x2表示以0,1为圆心，以2为半径的半圆，直线y k x 24过定点A 2,4 ,然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数 形结合法求解.【详解】曲线y -1 +J4-x2变形为y =1 +

9、V4_x2x2 + y_1 2 = 4 y21表示以0,1为圆心，以2为半径的半圆，直线y k x 24过定点A 2,4 ,在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示:3 2kl1 k2一一 55.,2- -24 '2 ,斛得 k ，即 kAC，又 kAB1212由图知：当曲线y 1十x2 (x 2,2 )与直线y k x 24有两个公共点时:5.3kACk kAB ,即 k 124故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.11.已知定义在R上的函数f X满足f X 1f X ,且当 x 1,1时,x f x kx若在区间1,3内，

10、方程g x0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是（B.0，2C.即可f根据ff X可得X是周期为2的函数，再由当x1,1 时,X 一个周期的图象,进而可得X在区间1,3内的图象，再利用y f (x)与y k（X 1）图象有4个交点,数形结合即可得实数k的取值范围.因为f，所以ff X，可彳导f X是周期为2的函数,若在区间1,3内,方程g X 0有4个不相等实根,则方程f(X)在区间1,3内有4个不相等实根,等价于y f(x)与 yk(X1）图象有4个不同的交点,因为当X 1,1 时，f2X ,所以f X图象如图所不:【答案】CC.112Oi与圆O2为截面的球的表面积为(【解析】设球心为O

11、,连接O1P , O2P ,则O ,O1 , O2 , P四点共圆，且OP为所1- 1把3,1代入y k(x 1)得k 4,数形结合得实数k的取值范围是0，4故选：c【点睛】本题主要考查了函数周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，采用了数形结合的思想，属于中档题.12 .如图，在120,二面角1 内半径为1的圆Oi与半径为2的圆O2分别在半平面448D.3在圆的直径，也为球的半径.在三角形O1PO2中，由余弦定理得出 oq2 J7,再由正弦定理求出OP .利用球表面积公式计算.【详解】 设球心为O,连接O1P , O2P,则O,。1,。2, P四点共圆，且OP为球的半径.根据球的截面圆的性

12、质，OO1, OO2可知 O1PO2为二面角l 的平面角，O1PO2 120 ,从而，O1OO2 60 ,在三角形O1PO2中，由余弦定理得 OO2 J7,再由正弦定理得OPsinO1OO2球的表面积S 4 R2 41123O1O2本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考 查化归与转化思想.综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较 高，属于难题.13.已知底面边长为1,侧棱长为72的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. 32-B. 4C. 2D.33【答案】D【解析】 试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体

13、对角线，故2R 抑 12 (72)2 2，即得R 1，所以该球的体积V 4 R2 - 12 4'/33：故选D.【考点】正四棱柱的几何特征；球的体积 .二、填空题14,直线3x 4y k 0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k .【答案】24【解析】令x 0表示出y ,得到直线的纵截距.令 y 0表示出X,得到直线的横截距.根据题意列方程求解.【详解】k令x 0解得：y ，令y4k 24.【点睛】本题主要考查了直线的截距问题,线的纵截距.令y 0解出xk，一口0解得x3,由题意得：直线方程Ax By C 0得到直线的横截距.k k3 4 2,解得:令x 0解出y,得到直15 .四边形A

14、BCD的直观图是一个底角为 45,腰和上底均为1的等腰梯形A B C D ,那么四边形ABCD的面积为.【答案】22【解析】根据四边形ABCD的直观图是一个底角为 45,腰和上底均为1的等腰梯形可得原图是上底为1,下底为1 J2 ,高为2的直角梯形，即可求出原图四边形 ABCD的面积.【详解】由题意知直观图如图:AD 1, DC 1 , DAB45.，过点D作D OAB于点O,所以AO所以A B原图如图:AB 1 AD 2, CD 1,所以梯形ABCD面积为1 1衣2 2 J2 ,【点睛】 本题主要考查了斜二测画法作图规则，属于逆用题型16 .如图，在矩形ABCD中，AB 22, BC 2 ,

15、点E为BC的中点，点F在边CD上，且DC “2DF,贝U aE.bf'的值是DC一一 一2-【解析】先表不出BF ( 1)AB AD和AE 2AB12-AD ,再求得AB 2，22AD BC4, AD AB0 ,最后求AE BF即可.解：因为点F在边CD上,且DC所以BFBA AD DFABAD(£1)AB因为点E为BC的中点,所以AEAB BEAB1 1AD2所以AE BF1AB -AD22 (y 1)ABAD(二2- 21)AB1 2-AD 2(11 二)AD AB24在矩形ABCD中，ABDAB90所以AB2 22ADBC4， ADAB所以AE BF(T21)AB1一2

16、 一AD21)所以AE BF故答案为：2.本题考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理、求平面向量的数量积， 是中档题.17 .已知六棱锥 P ABCDEF的底面是正六边形，PA 平面ABC , PA 2AB ,则下列结论正确的是 . PB AD ;平面PAB 平面ABC ;平面PAB 平面PAE ；直线BC/平面PAE;直线PD与平面ABC所成的角为45、【答案】【解析】若PB AD ,由PA 平面ABC ,得到PA AD ,则AD 平面PAB判 断；由PA 平面ABC,利用面面垂直的判定定理判断； 易得AB 平面PAE, 再利用面面垂直的判定定理判断；由直线 BC/AD ,易得BC/平面

17、PAD ,再由平 面PAD与平面PAE相交判断；根据 PA 平面ABC ,得到 PDA直线PD与平面 ABC所成的角，然后再由 PA 2AB求解判断.【详解】如图所示：若PB AD ,又PA平面ABC ,则PA AD, PA PB P ,所以AD平面PAB,则 AD BD,而 BAD 60，故错误；PA 平面ABC , PA 平面PAB ,所以平面PAB 平面ABC,故正确；因为PA 平面ABC,所以PA AB,又AB AE, AE PA A ,所以AB 平面FAE, AB平面FAB,所以 平面PAB 平面PAE,故正确；因为直线BC / /AD , BC 平面PAD, AD 平面PAD ,所

18、以BC/平面PAD ,显然BC与平面PAE不平行，故错误；因为PA 平面ABC,所以 PDA直线PD与平面ABC所成的角，又PA 2AB ,PAAD 2AB,所以tan PDA 1 ,则 PDA 45，故正确； AD故答案为：【点睛】本题主要考查线面，面面位置关系的判断，还考查转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.三、解答题18.图1是由矩形 ADEB.Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中BE BF ,将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG ,如图2.(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面;(2)证明：平面 ABC 平面BCGE.【答案】(1)证明见解析；(

19、2)证明见解析.【解析】(1)易得AD/BE, CG#BE,由平行关系的传递性得到 AD/CG,再利用平 面的基本性质证明.(2)由AB BE, AB BC,利用线面垂直的判定定理得到AB 平面BCGE,再利用面面垂直的判定定理证明.【详解】(1)由已知得 AD-BE, CG"BE,所以AD/CG,故AD, CG确定一个平面，从而A, C, G, D四点共面.(2)由已知得 AB BE, AB BC, BEBC B, 故AB 平面BCGE.又因为AB 平面ABC所以平面ABC 平面BCGE.【点睛】本题主要考查平面的基本性质和线面垂直、面面垂直的判定定理， 还考查了逻辑推理的能力，属

20、于中档题.19.已知圆 C:x2 y2 2y 4 0,直线 l : mx y 1 m 0.（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同两点 A, B,且AB 3/2,求直线l的方程.【答案】（1）直线与圆C相交；（2）彳丁 = 0或工一>一2 =0 .【解析】试题分析：（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交.（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可.试题解析：（1）将圆方程化为标准方程 x:+（y-l）2 = 5，所以圆C的圆心,半径 =,圆心匚（口）到直线mx-v + 1-mO的距离<14后，因此直线，与圆C1相交.

21、0 - 1+1- 血 m=（2）设圆心到直线I的距离为d ,则目二二 丁，解得曲=士L二所求直线为工一 F 二 口或【考点】 直线与圆的位置关系.20 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC 45 ,AD AC 1 ,。为AC的中点，PO 平面ABCD , PD 2, M为PD的中点.（1）证明：PB/平面MAC ;（2）求直线 AM与平面ABCD所成角的正切值（3）求三棱锥B AMC的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) W5； (3)叵.524【解析】(1)连接BD, MO,在平行四边形 ABCD中，知PB/MO.,由此能够证明PB/ 平面ACM;(2)取DO

22、中点N,连接MN, AN,可知/ MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，解 三角形求正切值；(3)由题意Vb amcVm abc ,根据体积公式计算即可(1)连接BD, MO,在平行四边形 ABCD中，因为。为AC的中点，所以 。为BD的中点, 又M为PD的中点，所以PB/MO.因为PB?平面ACM , MO?平面ACM ,所以PB /平面ACM .(2)取DO中点N,连接MN.AN,因为M为PD的中点,所以 MN / PO,且 MN= -PO=1.2由POL平面 ABCD,得 MN,平面 ABCD,所以/ MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在 RtADAO 中，AD= 1, AO=,

23、24、55所以DO =也，从而AN= 1DO = 22在 RtAANM 中，tan/ MAN = MNAN即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为4.5(3) PO平面ABCD,M是PD的中点,M到平面ABCD的距离为-PO2又 AD AC 1, ADC 45,四边形 ABCD是平行四边形,S*A ABCSA ADC1 DO2PO VbAMCABC1 Sa ABC31PO 2不24本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题，仔细解答注意合理地转化空间问题为平面问题1 221.已知数列an的前n项和& - n kn , k N ,且&的最大

24、值为8.2(1)确定k的值并求数列an的通项公式；9 2a.一 一(2)求数列 9 2的前n项和Tn.2n一一9【答案】(1) k 4, %2【解析】(1)禾I用前n项和Snn 2n；(2) Tn 4 727T.1 21 n2 kn, k N ,且Sn的最大值为8先求出参数2k的值，然后求数列的通项公式;(2)利用乘公比错位相减求前n项礼(1) Sn1 2121 22n kn 2(n k) 2k ,开口向下得抛物线，又 n, k N1 . 21 . 2所以当n k时，(Sn)max 2k ,由题设2k 8,k N，故k 4；1 2得 Sn n 4n ；当 n 1 时，a1 S12当 n 2 时

25、，an Sn Sn 11 n2 4n 1(n 1)2 4(n 1) 9 nn ,所以an(2) an9 2an2n9- n2n2n故Tn1203222n 212Tn2222n 1由-11得：Tn2222二 2 2(1 2n 2n故Tnn 22n 1本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式,以及乘公比错位相减求和，属于中档题.22.如图，在四棱锥 E ABCD中，AB，平面BCE , CD，平面BCE ,BCE 120 .(1)求证：平面ADE 平面ABE;(2)求点C到平面EDB的距离;(3)求二面角C EB D的大小. 3【答案】(1)证明见解析；(2) 2 ； (3) 45.【解析

26、】(1)取AE、EB的中点G H ,连接DG、GH、HC ,结合题干可证 CH平面EBA,四边形CDGH为平行四边形，从而得证 DG平面EBA,进而得证;(2)采用等体积法，结合几何关系求出VD ECB 和 SA EDB '由VD ECBVC EBD联立即可因为n 1时，ai Si求解;(3)由定义法可证 DHC是二面角C EB D的平面角，结合几何关系即可求解【详解】(1)分别取AE、EB的中点G、H ,连接DG、GH、HC ,1. . GH 是 &EAB 的中位线，GH/AB,GH AB,2 EC CB，.二 CH EB ,又 AB 平面 EBC ,AB HC ,又.AB

27、EB B , . CH 平面 EBA,1 又 CD 平面 EBC,CD AB,2八八1. CD/AB,CD -AB , CD /GH ,CD GH,.四边形CDGH为平行四边形， CH /DG , DG 平面 EBA,又 DG 平面 ADE ,，平面ADE 平面EBA;(2) . EC CB 2, BCE 120：,CD 1,一 Sa ecb33,Vd ecb1 c一Saecb CD3又 ED BD 75, EB 273, DH1EB DH 拆, 2设C到平面EBD的距离为h ,1、. 6一VC EDB 二 SA EDB h _ h33即点C到平面EBD的距离为(3) DEB'AECB是等腰三角形,. . EB CH , EB DH DHC是二面角C EB D的平面角，又CH CD 1, DCH 90 ，.一 DHC 45 ,即二面角C