2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题数学(理)

1、安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。全卷?黄分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1 .答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。2 .答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 .答第II卷时，必须使用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 4 .考试结

2、束，务必将试题卷和答题卡一并上交。1已知公式：台体体积公式 V =&(&+S2+，SSJh其中S1, S2, h分别表木台体的上底面积，下底面积，高。第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .复数z满足(1 2i)z =4 + 3i(i为虚数单位)，则复数z的模等于A. -5 B. .5 C. 2 .5 D. 4.52 .已知全集为R,集合A= 2, 1, 0, 1, 2, BnqxlWc。!，则aPKojB)的元素个数为 I x+2 JA.1B.2C.3D.43 .已知函数f(x)在

3、区间(a, b)上可导，则“函数 f(x)在区间(a , b)上有最小值”是"存在X0 (a , b),满足f ' (x 0)=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4 .2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到3927的圆周率是3927。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，125035522给出不足近似值 3.1415926和过剩近似值 3.1

4、415927 ,还得到两个近似分数值，密率 和约率一。大1137约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为J9.8684 (=3.14140096)。在这4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是A.笙B. 355C.12501135.已知函数是奇函数 y = f(x)22D.7+ x2,且、,9.8684=1,则 f( -1) =A. -3 B. -1C.0D.2,一 ， 一、一一, n ：. 16.已知数列an的通项为an =,n - k对任意nCN*,都有an>a5,则正数k的取值范围是A.k<5B.k>5C.4<k<5 D.5<k<67.

5、如图所示的程序输出的结果为95040 ,则判断框中应填否sumwni ' i蜡邺uig/A.i <8? B.i >8? C.i <7? D.i>7?上的图象是8.函数 f(x) =cos2x + 2sinx 在兀，兀ABC所成一个直二面角D.9.在矩形 ABC邛,AB= 4BC= 3沿AC将矩形B- AC- D,则四面体ABCD勺外接球的体积为A.吟 B.12125兀9C.除 D.6125兀310.已知正数a,-19b 满足 a+b+-= 10 ,则a ba + b的最小值是A.2B.3C.4D.5111.点P(x, y)是曲线C: y =(x >0)上的

6、一个动点，曲线 C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于 A, B x两点，点O是坐标原点，|PA| = |PB| ;4OAB的面积为定值；曲线 C上存在两点 M, N使得OMN等边三角形；曲线 C上存在两点M, N使得4OM渥等腰直角三角形，其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.412.若平面向量满足a, b, c 满足 |a| =3, |b| =2, |c| =1,且(a+b) c=a b+ 1,则 |a - b| 的最大值为A.372-1B.3 衣 + 1C.2 邪-1D.2 黎废 + 1第II卷注意事项：第II卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。二

7、、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。13.若a, 3为锐角，且满足cosa = ,cos(a +P) = 3,则sin 3的值是。5514 .黎曼函数(Riemannfunction )是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在0,1上，其定义为：I-,当x = q(p,浦B是正整数，9是不可以再约分的真分数)R(x)=ppp，若函数f(x)是定义在 R上的0,当x =0,1或者0,1上的无理数103奇函数，且 f(x) +f(2 -x) =0,当 xC 0 , 1时，f(x) = R(x),则 f( ) + f (一)=o31015 .

8、如图，正方体4BCD- Ai BCD的一个截面经过顶点A, C及棱AiBi上一点K,其将正方体分成体积比为2: 1的两部分，则AK的值为KB116 .等腰 ABC中AB= AC,三角形面积 S等于2,则腰AC上中线BD的最小值等于 。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。17 .(本小题满分10分)已知正数数列an满足a=1, Sn=nA。(I)求an的通项公式和 S;人 Sn(II)令 bn =(其中 n! =1X 2X 3X-X n),数列bn的前 n项和为 Tn,证明：1WT<2。 n!18 .(本小题满分12

9、分)如图，在多面体 ABCD- A1BC1D中，侧棱 AA, BB, CC, DD都和平面 ABC四直,AD/BC, AB= BC= CD=BB=DD=2, AA = AD= 4, CC=1。口、BC(I)证明：平面 BiCiDL平面 ABBA;(II)求直线BC和平面BiCiD所成角的正弦值。19.(本小题满分12分) ABC内角A, B, C的对边为a, b, c,设A= 2B, CD平分/ ACB交AB于点D。(I)证明：a2b2=bc;(II) 若 a=6, b=4,求 CD的长。20 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) = lnx , g(x) =kx。(I)当x>1时，

10、比较f(x)与2(xD的大小; x 1(II)若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点A(xb y。, B(x2, vL ,证明:x1x2>e2。21 .(本小题满分12分)如图在四棱锥 P ABC邛，侧棱 PA1底面 ABCD AD/BC, AB±AD, PA= AB= BC= 3, AD= 2,点 M在棱 PB上，且 BM= ,2 o(I)证明：AM平面PCD(II)求平面AM四平面PCD所成锐二面角的余弦值。22 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) = exx 1, g(x) =xln(x +1),(I)当x>0时，证明f(x) g(x)恒成立；2(II)当

11、x>0时，若f(x) >k - g(x)恒成立，求实数 k的取值范围。数学参考答案(理科)工【解析】开区间上最小值 定是极小衽，作数等于0.反过来不成立.10771551?4.解析】-31416，一=3,141532 . =3 142S-7- -，廊而？=3 14140096故选 B. 125011375一 1 解析】/(1) + 1 =-(/(-1) + !)-所以/(J)=T.注【解析】4 = 上匚=1*红1.由it是正数及反比例函数的单调性知5-比 <。且6-#>0.故逸D. n-k n-k7. 1解析】sum = 12x11x10x9x4 = 95040 +判断

12、框在i=l"LlS”都满足条件.i = 7不斶足,故选E庄E解析】,6 = 1.仆令一5*故选M9.【解析】球心是且c的中点，五=三.v=-=-jt 12L=12Lt选。 233861。.【解析】Ht o + 6 = Jr+ = 10 jt tx10 x) (a4-5)( + ) JO + + > 10 + 5-9 -16a b'a i If a11所以丁一10工+15£0=>24h58,所以1+匕的最小依是21t=/5=彳时取得）n E解析】设点与/），切线F方程为尸=-2工十二.所以用工为一。演。一3点 “J4 Xi/取与是融中点.43=2,命题门）

13、（2）都正确.过廨点作假斜角等于心和75的2条射线与曲线的交点为M.N.由对称怦如&。讨丫是等边三角胆，命题（3）正扃.过原点作2条夹角等T 4T的射线与曲线的交点为M N为直线OM的帧斜角从90-减少到45,的过程中.也的值从变化到。.在这个过程中必然存在空的酰为拒和迈的时刻，此时占QHV是等腰直 ONON2角二角形，命题（4）正确，12.【解析】解h而一次=京+兴-汇5=13-tS，由题设标=&+各W1司片+各国T=G+£|T*所以 SG + 12，| 出 +S三0 +3 4 M，b = li + 2ab 得沁后） < 12 -所以2后 < a*b &

14、lt; 2-/ .囚此.a-b =V13- <715 + 43=3+1 易见等号可曝取得，故逸D.解2:由题设2-2） = 0.布矩形乩BC©中.取三生/三2,五7=1,根据矩形性质产工+四2如2+期,可得户口 = 26，所U而一否!-|同8m2，1+1,当F点在8 上等号成立.:血胃=5in（£T 4严）一0=血（£? + 歹）8£疗 一 CO5（a +产）如 CT =14售案】-卫t解析】由超设奇函数,00关于直线H-1对称，所以照敷是周期函数，且最小止周期T-4,所以 /13)+/() = /(-)+ = -/(-)+=-+ 3 L0 3 1

15、03 103 1073015.【答案】叵【解析】设正方伟棱长为1.始知裁面/CM是等腰柿形，延 2x1长两JK相交FF点.电到三八可再取三当扈三其、"F三7一Sf,1棱1-JC-其台次_+的体积展十（1*口6)=1(1 + 1+13) = 1 .所以VJ所以於="%=苧 粉苧，看二与 眄原由*陶性质克接喇解析Z由三梗台体积公式计算也行.设法同解析1，三棱台上底面积是;小,下底面积为;.高等于1 ,所以解得工=痔1.后同解法i.1141&【答案】JJ【解析】s -,ACA-AS1 fiA = 2 *所以乂*=，/£尸=22inAsin J光 Aj根据余弦定理

16、 BDi=AR1 + W-2ABiD-ca&A = (5 - 4ms#初=Sill 乂所以 jBZ)2 sin +4co5a：< = V52)'+!sin(A + car) 5 s 叫得 BDA +16 > 5?解得出17 .【解析】门)由题设;-1时，3=8,一九L =/玛-(盟-1)、7，所以%=上：4_”2分 M 4-1jj - 1 a=2 1n - 312里乘或力迭代可得外:一;及“一rKr . 4分n + 1 n 舞一1 3?(? +1)?"1当h = 1时也符合,所以工=n3x = &= . 分打(号+1) rr+1 此卢二7二47&q

17、uot;4?)疗！ (n + L)n!打！ (n + l)?所以 71 = 2(1)4-)11-() = (1) < 2 S 分e '2!2! 3!、！ (w + 1)!(n + l)r”注意到外 >0所以图之三二】因此"42.10分18 .【解析】门)连接助，由超设典门叫，竭三即，所以四边形以就0D是平行四边形，所以由题设.四边形必8是等腰梯出，取一红r|J点E,ii接鼻E", 因为8<7 =诚=25。"应所以四边瑕BB越是平行四边形，BE = CD = 2V),AE = DEBE ,得到乙®> =*,因此 MJ.如.又

18、由题设,331r平EiABCn 吃上配卜又ABC降=8所以以D_平lilUB鸟4, 乂 BD 用0I己证所以耳鼻上平面工日”耳.而孙 C平面6£口，国此平而空却41平一面.近6分<2>以a为除点*建立如图所率的空间宜加坐标泵，得各点坐标即mOX以后L0，C#3OZX04QX4电6喙硼赤工£(招3d 日分所阮苹二 (022),跖=821，瓦瓦二("30).没平面用CR的法向量为u =出乂力,j?*&C =2yz = 0 Al !»«10分+,+,+,+ 12 分 "+ 令尸=1 =t =2工=由* n =(75-L2

19、) n耳 R = -Jix + 3 = 0所以宜线4c和平而用GA所成角的正弦值向8 =.禾木早与.<8- mV§ 419/解析】C>根据正弦定理： =车方=三士工b sinJf siriJfac所以or% =风/+/-*) P 整理得口=6工=bc .4分 由 得甲4、5根据角平分线定理彳二学.可得3 = 1跳) = 3； 哺分且D 以D4+>_苒 Q 4- v- -设口 = £, 4 ADC-£BDC = Th cqsZ4£IC+ cosZ5ZJC- - = Q. 10 分4r 5x解用工=3,所以粕平,分线CD的忆等J-* 125

20、?说明！第(1)小题用相似三角形证明给分，第C2)题也可以用面积比得划，过程正确均治满分.4八3D ,3(-1) 小一七此>020.【解析】(1)令* + 1工+ 1 - 小十U ,&分故人(工)在jt > 1时是增函数，归(#>>m1)=0即加工 >竺；4分r + 1(2)不妨设句七=则%>1.由题设In* =防占/=幅，所以=再+1ng =$ 1n/，Xj再+刁再.$2T)7山C1)的结论111年-yM12分巧 总+1 王+上所以x +1x+x 2(x -x )因此玉马 ,片InAj+hiT-,-x (k 七一山5)> -4 5 = 2用一

21、马可一巧 再+巧2L【解析】山氤，侧面我是等腰直招二处用* *能 PWgMNHBCPC心连接瓯因为跑=罐=型=%，PB 3 霹 BC 3所以加工2, 乂MM，甘仁拉)“乾.儿0 =，所以IUG = ND.四边形AMND是平行四边形，.<DN-兄 Wu平而HCD.所以乂H "平面尸CD . 4分(2)由打_1底1kHscD.可得乂，这13.所以乩8.4/)一.£?两两互相垂直，以工为原点，建立如图所示的筌间直痢坐标系,得各点坐标如下: 即也。匕。3弧。2吸心。/MGAD -6分'所以衣=仁0为太=8二0),设平面4W7的法向量为wr=(工打月，e m AM =2jt+j = 0w ,4、/ -W则 一,令x=L存尸=一】二=一人 所以团=(1.一1,一2), 8分”70工'm AC = 3x + 3y = 0/ 4 f. 向后为=(33取方= <02立没平面尸8的法向最为制=(孙凶凸)-歹尸则< ,令M =3得4 =工瓦=T.所以岸=(T32)，i口分m-AC