2020-2021学年北京大兴区第一中学高二第一学期期中考试数学试题

1、A. 45B. 60C. 902.已知向量 a 0,1,1 , b i, 2,1 .若a b与3A. 2B.2C. 10D.10北京大兴区第一中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试题一、单选题（共40分）1 .经过A（ 2,0）, B（ 5,3）两点的直线的倾斜角是（）D. 1352,m, 4平行，则实数 m的值是（）3.若向量AB 1,2,3 , AC 3,2,1，则平面ABC的一个法向量为（A.1,2, 1 B, 1,2,1C.1,2, 1 D,1,2,14.无论m取何值，直线3m 1 x4m 1 y 12m 1 0都恒过一个定点，则定点的坐标为（A. ( 8,9) B, (

2、9, 8)C. (15, 14)D. ( 14,15)5 .如图在一个120的二面角的棱上有两点 A, B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB J2 ,AC 1 , BD 2,则 CD 的长为（）.A. 2B. 3 C. 273D. 46 .已知直线l的方向向量为»,平面的法向量为n,则“mn 0”是“ l/ ”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7 .古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点Fi, F2均在x轴上，C的面

3、积为2 J3/，且短轴长为2/3,则C的标准方程为（）22x 2XA .y 1 B.1232222C.左工1 D. 2工1431638 .已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面,一 41且PA 4PB xPC -DB ,则实数x的值为（）36B.C.229.设椭圆x2与1(aa bb 0）的左、右焦点分别为aFi( c,0), F2(c,0)，点 N(c,)在椭圆的外2部，点M是椭圆上的动点，满足 MFi| |MN2 F1F2恒成立,则椭圆离心率e的取值范围是A-（。，看）巳年）2 5C(箕)5D- (6,1)10.过圆C:（X-2） 2+（y-2） 2=4

4、的圆心，作直线分别交x, y正半轴于点A,B, 4AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 Si + Siv = Sn + S-则这样的直线AB有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条二、填空题（共25分）211 .椭圆二 y21的焦距为412.已知圆的方程是x2y2 1 ,则经过圆上一点M -,- 的切线方程是2213.在正方体ABCD A1BQ1D1中，则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为 14.在空间中，四条不共线的向量OA、OB、OC、OD两两间的夹角均为则cos 的大小为15.如图，在四棱锥P- ABCD中，侧面为正三角形，底面AKCD是边长为 2的正方形，侧面

5、已4 底面31为底面刀内的一个动点，且满足 MP = A/C ,则点在正方形上15CD内的轨迹的长度为 三、解答题(共85分)16 .已知 ABC的三个顶点 A(3,7), B( 2,5), C( 3, 5),点D为AC的中点.(1)求点D的坐标；(2)求直线BD的方程.(3)求，ABD的面积.17 .已知圆 C : x2 y2 4x 2y 3 0和点 M(0, 8),(1)判断点M与圆C的位置关系(2)过点M作一条直线与圆C交于A, B两点，且| AB| 4,求直线AB的方程；(3)过点M作圆C的切线，切点为E,F ,求ef所在的直线方程.18、已知焦点在x轴上的椭圆，左右焦点分别为E,F2

6、,上顶点为B,且三角形F1F2B为等腰直角三角形，过F2斜率为1的直线l交椭圆与E,F两点。(1)求椭圆的离心率；(2)若|EF| 8,求椭圆标准方程。319 .如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长都是 1,且它们彼此的夹角都是60 , M为AiCi与BQ的交点.若ab a，AD b，AA1 c,设平面ABC的法向量n a yb zC(1)用a, b, C表示BM ； (2)求n及n的长度；(3)求点M到平面ABC的距离20 .如图,四棱锥S ABCD的侧面SAD是正三角形,AB/CD ,且AB AD , AB 2CD 4, E 是 SB 中点.(1)求

7、证：CE/平面SAD;(2)若平面SAD 平面ABCD ,且SB 4y2，求平面EAC与平面ACB夹角的余弦值. ，八，、. 121、设A,B两点的坐标分别为(2,0),(2,0)直线AE,BE相交于点E ,且它们的斜率之积为，直线l方4程：x 4 ,直线AE,BE与直线l分别相交于 M, N两点，AN交轨迹E与点F(1)求点E的轨迹方程。(2)求证：M,B,F三点共线(3)求证：以MN为直径的圆过定点。参考答案1D 2A 3c 4A 5B 6B 7c 8A 9D 10B11 2 3 12 x y 2 0 13 6 14 -1 15 . 5 3316 解：(1)设 D (x, y),ntt 3

8、375则 x 0, y 1 ,22.点D的坐标为(0, 1).5 1(2) 直线BD的斜率为k 2 .2 0直线 BD 的方程为：y - 1=- 2 (x-0),即 2x+y-1=0.(3) BD J 2 0 25 1 2 26,.A到直线BD的距离为d2 3 7 11127522 125112.5一 2v5 12 .251.AB曲面积为 S. ABD1 BD d八 ABD 一217解：(1)点M坐标代入圆方程得:64 0 16 3 45 0,所以点M 在圆外(2)圆 C:(x 2)2 (y 1)2 8,则圆心 C(2, 1),半径 r 2正，若直线AB的斜率存在，设直线 AB: y 8 kx

9、,即 kx y 8 0,d 12kl8| ,(2,2)2 22k 45,k2 12845此时，直线AB方程为x y 8 0；28若直线AB的斜率不存在，则直线 AB : x 0,代入y2 2y 3 0得y1 1,y23,此日AB 4 ,合乎题意.综上所求直线AB的方程为：x 0或45x 28y 224 0；(3)以CM为直径的圆的方程 x x 2 y 1 y 80,即：x2 y2 2x 9y 8 0 ,；x2 y2 4x 2y 3 0,.7y 11 0.-得2x 7y 11 0,因此，直线 EF的方程为2x18解：(1)在等腰直角三角形 F1F2B中，F1F2 庭B ,即.2a 2c，所以e彳

10、(2)由(1)设 F2(c,0), E(x1,y1) , F(x2,y2)22得椭圆方程为 J 12c c直线i方程：y x c,与椭圆方程联立，消元得:3x2 4cx 0解得：毛0, x24c所以 EFk21|x2 为 |= 1 1 甘 0|3得 ilc 8 c ,23322所以椭圆方程为-y- 142一- 1 L _ _ 1 _ _19 解：(1) BMBA1 AM c a - a b21(2)由题息知a b b c c a - 由得:11一 y -z220解得:y 1,z|n|a2 b2 9c2 2ab 6a c 6c b = 6(3)因为AM / /平面ABC ,所以点M到平面ABC的

11、距离等于点 A到平面ABC的距离11叵工J2 2 3I 6|n|6 T20解：(1)取SA勺中点F ,连接EF ,因为E是SB中点, 所以 EF/AB,且 AB 2EF,又因为 AB/ CD, AB 2CD,所以 EF D DC , EF DC ,即四边形EFDC是平行四边形，所以 EC / FD ,又因为EC 平面SAD, FD 平面SAD,所以CE /平面SAD；(2)方法一：取AD中点O,连接SO, BO,因为SAD是正三角形，所以SO AD,因为平面SAD 平面ABCD, AB AD所以SO 平面ABCD , AB 平面ABCD ,所以AB SA,故 SA 'SB2 AB2 4

12、,以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则 O(0,0,0),A(0, 2,0) , B(4, 2,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , S(0,0,2 .3) , E(2, 1, 3),所以 CE (0, 3, 3), CA ( 2, 4,0),设平面ACE的法向量为m (x,y,z),则3y 显 0, 2x 4y 0,令 y 1得 m (2,1,73),易知平面ACB的法向量为n (0,0,1),m n .36cos m, n=,|m|n| 2、24所以平面EAC与平面ACB夹角的余弦值为21解：(1)设E(x,y),由题意kAE六(x 2)kBE82)由已知有_y_x 2yx-21 (x42)2化简得24(2)令x1(x2)AE方程为：y得点 M (4,6 k)k(x2),( k0)由y2 x£幻消元得:4y 4(1224k )x16k16k2显然由 xaxe0恒成立216k4 日2-,上 xA1 4k2,得:xe8k221 4k代入直线l方程得yE4k1 4k2又因为B(2,0),所以:kBE14k所以直线BE为：y得点N(4,14k(x)2k2)kAN12k联立方程L(x 2)消去x得:所以Vf12k4y2(36k21)y212ky 012k36k2 1xf272k2