2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月)数学(理)

1、保密吉林市普通中学201A 2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。注意事项：1,答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4 .作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字

2、笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1.已知集合 A -1,0,1,2, B x|y lg(1A. 2B. 1,0C. 1D. 1,0,1一，1.2.已知复数Z满足1 i ,则z = zA.B.11.i2 23.C.1.i2D.r已知向量a （,3,1), b（3,、，则向量b在向量a方向上的投影为4.已知m,n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件B. m / n,m , n是A. m / n,m ,n5.6.7.8.9.1

3、0.11.C. m n,m II ,n IID.n,m ,n一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.C.10 万83B.D.函数A.已知f(x) cos(2x）的对称轴不可能为B. x 一3C.f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f(x) 2x2,则 f(3)A. 18已知数列A.1318椭圆B.18A.150已知A.f (xC.an为等比数列,廿一右a6a7a826,B.1836C.1的焦点为/1 0.2a (2) ,bB.Fi,F2135log1 0.2,c2赵爽是我国古代数学家、介绍了 “勾股圆方图”，-2-1正视图侧视图俯视图64)f(x)；xD. x3 (0,2)时，D.

4、且 a5 a936,1则一a6a7a8139D.136，点P在椭圆上，若| PF2 |C. 120ab,则a,b,c的大小关系是B. c a b天文学家，大约公元又称“赵爽弦图”C. a c b角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（2,D.D.F1PF2的大/、为90222年，赵爽为周髀算经 （以弦为边长得到的正方形是由b c a一书作序时，4个全等的直1）,类比“赵爽弦图”，可类似地构造图（2）所示的图形，它是由 6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F 2F A ,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率A.2 /1313图1A图2BC.2.7

5、D.12.已知Fl,F2分别为双曲线C：2 x 2 a2yr 1的左、右焦点，点 P是其一条渐近线上一点, b且以F1F2为直径的圆经过点P,若 PF1F2的面积为 裂3 b2,则双曲线的离心率为 1 23A. 3B. 2C.、/5D. 3二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13 .二项式(2 x)5的展开式中x3的系数为(用数字作答) .14 .已知两圆相交于两点 A(a,3), B( 1,1),若两圆圆心都在直线 x y b 0上，则a b的 值是.15 .若点P(cos ,sin )在直线y 2x上，则cos(2)的值等于211-x 2 x16

6、. 已知数列an的前n项和Sn an且a1 一，设f (x) ex e 1 ,则44f(log2 a1) f (log2 a2) LL f (log2 a7)的值等于.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17： 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分17. (12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 73a b(sin C V3cosC).(1)求角B的大小；(2)若A , D为 ABC外一点，DB 2,CD 1,求四边形ABDC面积的最大值 318. (12 分)在全

7、面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期， 我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学 生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120分的占-8 ,统计成绩后得到如下 2 213列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足 5小时合计45(1)请完成上面2 2列联表；并判断是否有 99%勺把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”；(2) (I)按照分层抽样的方法， 在上述样

8、本中从分数不少于 120分和分数不足120分的 两组学生中抽取 9名学生，设抽到不足 120分且每周线上学习时间不足 5小时的人数是 X, 求X的分布列(概率用组合数算式表示) ；(n)若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.(下面的临界值表供参考)2P(K2 k。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.8282n(ad bc)(参考公式 K 其中n a b c d )(a b)(c d)(a c)(b d)19. (

9、12 分)1 _ _如图所不，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD , AD AB -CD, DAB 60，点 2E,F分别为CD, AP的中点.(1)证明：PC /面 BEF ;(2)若PA PD ,且PA PD ,面PAD 面ABCD ,求二面角F BE A的余弦20. (12 分)已知倾斜角为 一的直线经过抛物线 C : x2 2 py( p 0)的焦点F ,与抛物线C相交于A、 4B两点，且| AB | 8.(1)求抛物线C的方程；(2)设P为抛物线C上任意一点(异于顶点)，过P做倾斜角互补的两条直线11、12,交抛物线C于另两点C、D ,记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线C

10、D的倾斜角为，求证： 与互补.21. (12 分)已知函数 f(x) ln x ax2 (a b 1)x b 1(a,b R).(1)若a 0 ,试讨论f (x)的单调性；(2)若0 a 2,b 1 ,实数Xi,X2为方程f (x) m ax2的两不等实根，一 11求证：一 一 4 2a.Xi X2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x3cos （为参数），以原点O为极 y sin点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（ ） 2.6（1）求曲线C

11、i的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（2）设A,B为曲线C1上位于第一，二象限的两个动点， 且 AOB ,射线OA,OB交2曲线C2分别于D,C ,求 AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23. (10 分)111已知a,b,c均为正实数，函数 f(x) | x 2| |x -2 | 七的最小值为1.a2b24c2证明：(1) a2 b2 4c2 9；(2)1ab12bc12ac吉林市普通中学201A 2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准、选择题123456789101112BBADADCACBDB、填空题13. - 40;14. -1; 15.4

12、 ； 16. 75三、解答题17.解：(1) Q J3a b(sinC J3cosC),由正弦定理得：3sinA sinB(sinC 、.3cosC)由sin(B C) sin Bsin C 73sin BcosC, 即73cosBsinC sin Bsin C3 分Q sin C 0, cos B sin B 即 tan B EQB (0, ), B 一3-6分(2)在 VBCD 中，BD 2,CD 1 BC2 12 22 2 1 2 cosD 5 4cosD又A 一,则VABC为等边三角形，Svabc 312BC sin 233 cos D8分sin D ，一1 _一 一又 Svbdc-

13、BD DC sin D2Sabcd53 sin D . 3 cos D45.32sin( D )43105,-5. 3时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为 2 .641218.解:(1)分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足 5小时101626合计2520453-2Q K245(15 16 10 4)7.29 6.63599%的把握认为“高学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”25 20 19 26, ., 一 20(2) (I)由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取9 -204人45X的可能取值为0, 1,2,3,4.P(XC40

14、)寸，P(XC20C3C11) c；c16，p(xC20力C2G262) C20P(XC1C33) C4416 , P(X 4)C20G46C40(II从全校不少于120分的学生中随机抽取此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.610设从全校不少于120分的学生中随机抽取2520人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为 YB(20,0.6),故 E(Y) 20 0.6 12D(Y) 20 0.6 (1 0.6) 4.8 12分19.解“(1)证明：连接AC交BE于H,连接FHQ AB CE, HAB HCE, BHA CHAABH 且 CEHAH CH FH PPC 2分Q FH

15、面 FBE , PC 面 FBEPC P面 FBE(2)取 AD 中点。，连 PO , OB .由 PA PD, PO ADQ 面 PAD 面 ABCDPO 面 ABCD ,又由 DAB 600,ADABOB AD以OA,OB,OP分另1J为X,Y,Z轴如图所示空间直角坐标系设 AD 2,则 A(1,0,0), B(0j3,0) , D( 1,0,0) , P(0,0,1), F(1,0,-)22uuuEBuuruur 1 一 1DA (2,0,0) BF (2,凡)LTn1(0,0,1)为面BEA的一个法向量设面uuFBE的法向量为n2(X0,y0,Z0)，依题意,uur EB uur BF

16、uuuu12x0-X03y02令V。urJ3,解得uruuZ0uuuu6.n2(0/3,6)10cos： ni ,n2n1_6_ 2、39、3913因为二面角为锐角，故其余弦值为2.39131220.解:(1)由题意设直线 AB的方程为y令 A(xi,y1)、B(X2,y2),联立x5得y2py3py2p4yy23p,根据抛物线的定义得AByiy2P 4p,又AB8,4P8, P故所求抛物线方程为4y(2)依题意，设2P(X0,x422C(Xc,争，D(Xd，Xd)设11的方程为2Xo y 7k(x Xo),与 x2 4y 联立, 一 2 消去y得x24kx 4kx0 x0 0XoXc4k ,

17、同理 x0 xD 4kxCxD2xo ,直线CD的斜率Kcd2Xi_1，、=(XC XD )4(X2 Xi) 41Xo -102切线l的斜率Kl yKiKcd0 ,得与互补1221.解:(1)依题意x 0 ,当a0时,f (x)(b 1)当b1时，f (x) 0恒成立，此时f(x)在定义域上单调递增;当b,411时，若x 0,b 1f (x) 0故此时f(x)的单调增、减区间分别为031b-l,(2)方法1:由f (x)2八m ax 得 ln x (a2)x 2令 g(x)In x(a2)x 2 ,则 g(x1)g(x2) m依题意有ln x1(a2)x1In x2 (a2)x2Inx22xx

18、1x21 要证x1x24 2a,只需证xx2x1x22(2a)21nx x1x1x2(不妨设x1%),即证乂2x210x1令 x2 t(tx11)g(t)2ln t1 -t t, Qg(t)1 t2(11)2 0g(t)在(1,)单调递减,g(t) g(1) 0,从而有4 2a12方法2:由f(x)2八m ax 得 ln x(a 2)x 2 m令 g(x) In x (a 2)x 2 ,则 g(x1) g(x2)x1x2g (x)(2 a)1 一，当 x (0,)Hg(x) 0,2 a1故 g(x)在(0,-2 ax (7，2 a)上单调递增，在(,2 apt g (x) 0 ,)上单调递减,不妨设x1x2,则0 x111要证一一4 2a,只需证x1Xi X2故只需证gNx2g()，(4 2a)x2 1即证g（X2）g(410令 h(x)g(x)贝U h(x)g (x)2gg (4 2a x 1x(4 2a) x1)1 (2 a