几何型综合题的解题策略

1、例谈几何型综合题的解题策略几何型综合题常以动态几何知识为背景，以考察数学知识、数学思想的综合运用能力为目标，所涉及的数学思想主要有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等。近年来，它常作为中考的压轴题出现。例题：（2007年上海中考25题）已知：/MAN=60Q点B是射线AM上的一点，AB=4（如图）.P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针排列），O是4BPQ的外心.（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在/MAN的平分线上;（2）当点P在射线AN上运动（点P与A不重合）时，AO与BP交于C,设AP=x,AC，AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的

2、定义域；（3）若点D是射线AN上，AD=2时，。I是ABD的内切圆，当BPQ的边BP或BQ与OI相切时，请直接写出点A到点O的距离.分析：这类试题一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究图形不确定性带来的分类讨论。我们一般可以采用化整为零、建立方程、分类讨论三个步骤，从复杂的背景中提取解题所需信息，使问题逐步解决。1、 化整为零要证AO平分/MAN,只要证明O至ijAM、AN的距离相等，故作OGLAM于G,OHXAN于H,故/GOH=120°。因此只要连结BO、PO,证/BOP=120°,把问题转化为研

3、究等边三角形外心的性质。这样，一个复杂的问题经过分拆，转化成我们熟悉的基本问题,从而寻找到解题的途经。解：连BO、PO,O是等边BPQ的外心BO=PO,/BOP=120°作OGXAM于G,OHXAN于H,故/GOH=120°，/BOG=/POH可证BOGAPOH,.OG=OHO在ZMAN的平分线上2、 建立方程建立几何图形间的数量关系，特别是动态几何图形间的数量关系，是这类试题的考察重点，函数关系式的建立实际上是探求两个变量y与x之间未知函数类型的函数问题，如果我们把函数理解为关于x、y的二元方程，不管是何种类型函数，都可以通过寻找y与x之间的等量关系，建立方程来解决。而建

4、立等量关系常见的途经有：比例线段、勾股定理、等积原理、线段和差等等。本题要建立y（ACAO）与乂（AP）之间的函数关系，就是建立y与x之间的方程,所涉及的线段有AC、AO、AP三条，因此常要寻找第四条线段，根据题意只有AB=4是已知线段，故可以优先考虑，因此只要证ABOsACP.解：/BAO=/OBP=30°,/ACP=/ABC+/BAC=/ABC+/OBC=/ABO又/BAO=/CAPABOACP,ABAO-=故y=4x（x>0）ACAP3、 分类讨论分类讨论是这类试题的重点内容之一，不仅考察数学知识的把握能力，还考察动态图形的认知能力，对同学来说，是难点之一。不过，分类讨论

5、也是有规律可循，比如这类试题所涉及的分类讨论知识主要是等腰三角形的底边不确定、直角三角形的直角不确定、图形的位置不确定（最常见是直线、射线与线段变化引起的）、相似三角形的对应边不确定等等。在分类讨论时首先要注意分类标准统一，其次要做到不重不漏。本题的第一小题、第二小题考察点P在射线AN上的运动，而第三小题则考察P在直线AN上的运动，由此带来分类讨论。解：AB=4,AD=2,/MAN=60°,可得/BDA=90°1、当BP与。I相切时，（1）当P与D重合时（如图1）,AO=2M4.3（2）当P与A重合时（如图2）,AO=32、当BQ与。I相切时（如图3）,AO=0AQC几何型

6、综合题不管试题如何变化,都是以日常学习中的基本知识为背景,或让几个背景因此，这类问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的,因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再合理运用解题策略,就可以达到事半功倍的效果。叠加，或让静态的几何关系运动起来，在运动中探求图形不变的位置或数量关系。附习题:1.(2002年上海中考)操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论;(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为V

7、，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域;(3)当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由.2、(2005年上海中考)在4ABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段OC于点巳作EPXED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。(1) 如图1,求证：ADEsAEP;(2) 设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当BF=1时，求线段AP的长.3、(2004年上海中考

8、)在ABC中，/BAC=90°,AB=AC?J2,。A的半径为1,如图5所示.若点O在BC上运动(与点BC不重合)，设BO=x,4人。C勺面积为y(1)求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)以点O为圆心，BO长为半彳5作。Q求当。O与。A相切时，AOCW面积.4、(2007年黄浦中考模拟卷)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在原点，边AC在x轴的正半轴，AC=16,/BAC=60°,AB=10,OP分别与边ABAC相切于DE(切点D、E不在边ABAC的端点)，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.(1)求BC边的长和ABC的面积;(2)设AE=x,DF=y,写

9、出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;(3)探索ADCDBF能否相似？若能相似，请求出x的值，同时判断此时。P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由；(4)当。P与ABC内切时，OP与边BC相切于G点，请写出切点DE、G的坐标(不必写出计算过程).5、(2001年上海中考)AB=DC=2.已知在梯形ABCD中，AD/BC,ADvBC,且AD=5,(1)如图，P为AD上的一点，满足/BPC=/A.求证；ABPADPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/BPE=/A,PE交直线BC于点巳同时交直线DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线

10、上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE=1时，写出AP的长(不必写出解题过程)6、(2007年浦东中考模拟卷)已知：如图，点A在/MON的边OM上，以点A为顶点的/BAC与/MON的边ON分别相交于点B和点C(点B在点C的左边)，OA=2,/BAC=/MON=30°,设点。与点B的距离为x,OC=y.(1) 求证：线段AC是线段OC与BC的比例中项；(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 如果以线段BC为直径的圆P与直线OM相切，求线段OB的长.7、(2007年奉贤中考模拟卷)如图，在RtABC中，/0=90°,AC

11、=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ.设运动时间为t（秒）.(1)(2)(3)设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式及自变量t的取值范围;是否存在时刻t,使得PD/AB?若存在，求出通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻估方tt的值在括号中的哪个时间段内（0wtw1；不存在，请简要说明理由.t的值；若不存在，请说明理由；t,使得PDXAB?若存在，请1<

12、;t<2;2<t<3;3<t<4);若8、（2007年卢湾中考模拟卷）如图，已知在矩形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm,点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动,移动，当B、E、F三点共线时,同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度两点同时停止运动.设点E移动的时间为t（秒），(1)(2)(3)求证：ABCFsCDE;求t的取值范围；连结BE,当t为何值时，/BEC=/BFC?答案:1、图1图2图3（1）解：PQ=PB证明如下：过点P作MN/BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP

13、和CNP都是等腰直角三角形（如图1）.NP=NC=MB./BPQ=90,/QPN+/BPM=90而/BPM+/PBM=90,ZQPN=/PBM.又一ZQNP=ZPMB=90,AQNPAPMB.PQ=PB.-2BM=PN=CN=1-x,2(2)由(1)QNPPMB.得NQ=MP.-2AP=x,.AM=MP=NQ=DN=x,2-2CQ=CDDQ=12,x=1v2x.2得SAPBC=1BCBM=1X1X(1-x)=22x.413,2一一x24=CQ,PN=xs四边形PBCQ=SPBc+SAPCQ即y=L2-”2x+1(0wxdj22（3）PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时

14、PQ=QC,APCQ是等腰三角形,此时x=0当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）222此时，QN=PM=x,CP=V2x,CN=CP=1-x.2222,2CQ=QNCN=x(1x)=v2x1.22当J2x=J2x-1时，得x=1.2、（1）证明：连结OD25.(1证明：连结ODQAP切半圆于D,j./ODA=/PED=900又QOD=OE,，NODE=/OED.90.ODE=90.OED./EDA=NPEA,又Q/A=/A.ADE:.AEPODCBOAACOD=3=OD=3x=OE,同理可得：AD=4xx555QADE:.AEP8APAEy5x464216二二

15、1xyx=y=xAEAD845255xx55(x0)(3)由题意可知存在三种情况但当E在C点左侧时BF显然大于4所以不合舍去,5，,一当x时AP>AB(如图)延长DO,BE交于H易证DHE三DJE6HD=6x,Q.PBE=PDH=905:PFB:PHD1PB=-PB=2=AP=6612xx555.当x<2时P点在B点的右侧4延长DO,PE交于点H同理可得DHE=EJDPBF:PDHBP12一x5BP=2AP=4-2=23、(1)过点A作AH，BC于H1.一/BAC=90,AB=AC=272BC=4,AH=2,二S.AOC=AHCO=4X2即y=x+4(0<x<4)(2)

16、当点O与点H重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点H不重合时，在RtAAOH中，AO2=AH2OH2=4|2x|2=x24x8圆A的半径为1,圆O的半径为x,22.-717，当圆A与圆O外切时，(x+1)=x4x+8解得x=,SAaoc=y=一662271当圆A与圆O内切时，(x1)2=x24x+8解得x=,S乙AOC=y=-224、(1)过B作BGLx轴，垂足为G,在RtABG中/BAC=60°,AB=10,得到AG=5由勾股定理可得BG=5x/3,由于AC=16,可得GC=11在RtBGC由勾股定理可得BC=14(或B(5,54)、C(16,0)由距离公式得BC=14)SB

17、C=1AC-BG=40<§(2)在ABC中;OP分别与边ARAC相切于DEAE=AD,5,、,得EH=5(16x)8又/BAC=60°,可设AE=AD=DE=x,DB=10-x,CE=16-x过E作EH/AB交BC于H,在ABC中，EH/ABEHCE口口EH16xABCA1016在4FEH中，EH/DB/.-FD-=-DB-Wy=10-xFEEHxy5*x)8整理得y=x+(0vxv10)DAC=zBDF=6033(3)假如ADCf4DBF相似，DBF>/DCA又/.只能/DBF与/ADC/BFg/AC皿对应角ADBDACx16、,=,解得x1=10(舍去)，x

18、2=6DF10-xy当x=6时，OP与边BC相切.证明：当x=6时，求得。P的半径r=2<3,过P作PQLBC,垂足为Q连接PAPBPC有S&BC=S#AB+SAC+S#BC即40V3=110273+11621+114PQ,解得，pq=273=r222.OP与边BC相切.c572534)D3,3V3),E6,0),G，775、(1)证明：A/ABP=180/A/APB,/DPC=180/BPC/APB,/BPC=/A,ZABP=ZDPC.在梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD,/A=/D.:.AABPADPC._一ABPD25_x解：设AP=x,则DP=5-x,由ABPsDPC

19、,得空=2即*=2_xAPDCx2解得Xi=1,X2=4,则AP的长为1或4.(2)解：类似(1)，易得ABPADPQ,些=空.即二,PDDQ5-x2y1 95_得y=x2+x2,1<x<4.2 2BCACAC-OCAP=2或AP=3-<5.6、(1)证明：./BAC=/MON,/ACB=/OCA,/.AABCAOAC.AC2=BCOC,即AC是OC与BC的比例中项.(2)解：作AHLON,垂足为点H.ZMON=30°,OA=2,AH=1,OH=3i.，CH=yj3当点C与点H不重合日在RtAACH中，AC2=AH2+CH2,.(yx»=12+0-732.y2-xy=1+y2-2/3y+3.一.一一，.，一.4.所求的函数解析式为y=r一.定义域为0Ex<243.23-x当点C与点H重合时，x2M,y=M,解析式显然也成立.3(3) 设以BC为直径的圆P与直线OM相切于点D,连结PD,得PDXOM.OP=2PD,PD=PC,OC=3PD,即y=3PD.113一又.PD=bc,PD=(yx).，y=(yx).y=3x.222-4=3x.整理，得3x2