初一数学竞赛系列讲座解一次方程组与一次不等式组

1、学习好资料欢迎下载初一数学竞赛系列讲座（8）解一次方程（组）与一次不等式（组）、知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b（aw0）,它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0,我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。2、方程ax=b（a、b为常数）的解的情形b当aw0时，方程ax=b有唯一斛x=a当a=0,b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。当a=0,bw0时，方程ax=b无解。3、一次方程组解

2、一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c（a、b互质）有一组整数解为x°,y°,则此方程的全部x=x八+kb整数解可表示为：0（这里k为任意整数）j=yOka5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是ax>b或ax<b（aw0）,任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项

3、，合并同类项化为一般形式，解不等式的根据是不等式的同解原理。6、不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质（1）反身性如果a>b,那么b<a（2）传递性如果a>b,b>c,那么a>c（3）平移性如果a>b,那么a+c>b+c（4）伸缩性如果a>b,c>0,那么ac>bc如果a>b,c<0,那么ac<bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理

4、3:不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。、例题精讲_11例1斛万程3（x+1）-一（x-1）=2（x1）-一（x+1）32学习好资料欢迎下载分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有（x+1）、（x-1）项，因而可将（x+1）、（x-1）看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。1 1解：移项，得3x1-x1=2x-1-x-12 3合并，得'x-1=7x-123去括号，移项，可解得x=-5评注：本题是整体处理思想的应用。.一,一、一一m1例2解关于x的方程mxn=1xm34解：原方程整理得：（4m-3）x

5、=4mn-3m34mn-3m故当4m-3w0时，即m¥一时，x=44m-339，一43此时，右n=,4升3若n#一,4当4m-3=0时，即m=一时，方程为0，x=3n,44则方程为0x=0,故方程的解为任何有理数显然方程无解，3口4mn-3m综上所述，当m#一时，x=；44m-33 3.当m=-,n=-时，方程解为任何有理数;4 43 3,当m=一,n#时，方程无解。4 4评注：含参方程必须对参数进行讨论。xyz16x3y3z=10（1）例3解方程组（1）（1）（2）（3x+16y+3z=14（2）4x3y-4z=5（2）3x3y16z=20（3）分析：第一个方程组的（1）式是一个连

6、比式，对于连比式常用连比设k法来解决。第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z,然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。、一xyz解：（1）设一=2=k,则x=2k,y=3k,z=4k,代入（2）得k=52341. x=10,y=15,z=20J_x=10原方程组的解为y-15z=20(2)(1)+(2)+(3)得22(x+y+z)=44,所以x+y+z=2所以3(x+y+z)=6学习好资料欢迎下载4(1)-得13x=4,贝Ux=13，口8(2)-(4)得13y=8，贝，y=13，口14(3)-(4)得13z=14,则z=4x=

7、138V-1314z=所以原方程组的解为1313评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。例4已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析1:将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5,要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。解法1:将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5,这个关于a的方程有无穷多个解，所以有x十y-2=0x+2y-5=0解得fx=3x=3由于x、

8、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解)=一1分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0,因a取不同的值，所得方程有人”、人”,、3y+3=0-个公共解，所以这个公共解就是方程组,y的解。3x+9=0解法2：令a=1,得：3y+3=0令a=-2,得：-3x+9=03y+3=0口x=3'x=3八”解方程组y得，则就是所求的公共解。13x+9=0J=-1y=-1将x=3,y=-1代入(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0得：3(a-1)-(a+2)+5-2a=0整理得0?a=0,说明无论a取什么值，方程总是成立。评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整

9、理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。例5求不定方程4x+y=3xy的一切整数解学习好资料欢迎下载解：由原方程得：x=y,则3x=0=1十一3y-43y-43y-458.2-,x是整数，3y-4=1,±2,i4,由此得y=-,2,-,1,0333取整数解y=2,1,0,对应的x=1,-1,0x=1x=-1x=0所以方程的整数解为，Jy=2y=1y=0评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。例6求方程123x+57y=531的全部正整数解解：方程两边同除以3得：41x+19y

10、=177所以y=177-41x=9-2x31919.x、y是整数，6也是整数，取x=2得y=519方程123x+57y=531的整数解为:'x=2+19ky=541k（k为任意整数）2十19k至0由“5-41k之0/曰2.5行：-k-1941即k=0因此方程123x+57y=531只有一组整数解J=5评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。例7小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问:小鸡至少被套中几次？（第四届华杯

11、赛初赛试题）分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，根据题意得我们求这个方程组的正整数解。9x+5y+2z=61、x+y+z=10，,一一一41-7x消去z得：7x+3y=41,于是y=3则xv41,从而x的值只能是1,2,3,4,5741-7x2-x=13-2x3由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，x=2,5学习好资料欢迎下载当x=2时，y=9,z=-1不是正整数；当x=5时，y=2,z=3是本题的解。答：小鸡至少被套中5次。例8解不等式：(1)(2x+1)2-7<(x+m)2+3x(x-1)(2)x-4-2x-3&

12、lt;1即7-2m>0时，解为m26x<7-2m解：(1)原不等式可化为：(7-2m)x<m2+6r7.当m<2r7当m>一2即7-2m<0时，解为m26x>7-2m7一2,c1当m=万即7-2m=0,m+6=18时，解为一切头数。x4与2x-3的零点分别是4和由零点分段法，可把x的取值范围(2)233分为二段：x_;-=：xS4;x422当xW3时，原不等式可化为-x+4+2x-3<1,解得x<02,3当一<x44时，原不等式可化为-x+4-2x+3<1,解得x>22所以，原不等式的解为2WxW4当x>4时，原不等

13、式可化为x-4-2x+3<1,解得x>-2所以，原不等式的解为x>4综上所述，原不等式的解集为x<0或x>2评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0三种情况讨论。2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。4例9已知m、n为头数，右不等式(2m-n)x+3m-4n<0的解集为x>-,求不等式9(m-4n)x+2m-3n>0的解。解：由(2m-n)x+3m-4n<0得：(2m-n)x<4n-3m,4H-2m-n：0因为它的解集为x>,所以有4n3m49二一.2m-n9由(2)得n=

14、7m代入(1)得m<0875m5m把n=-m代入(m-4n)x+2m-3n>0得x>828m<0学习好资料欢迎下载一、1所以，不等式(m-4n)x+2m-3n>0的解集为X>-评注：本题的关键是确定未知数x的系数，从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m、n的关系，再代入确定未知数x的系数。48.例10已知关于x的万程：一x-m=X-1,当m为某些负整数时，方程的解为负37整数，试求负整数m的最大值。4一4解：原方程化简整理得：x-m-1,可得m=4x121214因为m为负整数,所以x必为小于-1的负整数21所以fx,x：214.一-.而要使二x为负整数，x

15、必是21的倍数，所以21x的最大值为-21因为当x取最大值时，m也取得最大值，所以m的最大值为-3三、巩固练习选择题1、方程心L122320012002=2001的解是(A、2000B、2001C、2002D、2003、一22、关于x的万程一x-3k=5(xk)+1的解是负数，则k的值为(3A、k>1B、k<1C、k=1D、以上解答都不是222x+3y+5z=0x2+v22z23、已知xyzW0,且y，则x,、产的值为(2x+3y+z=03x2+2y2+z2A、6723B、2367C、2367D、以上答案都不对1114、方程组一+=的整数解的个数是()xy1987A、0B、3C、5

16、D、以上结论都不对。2x-aa-x5、如果关于x的不等式>一一1与一<5同解，则a()32aA、不存在B、等于-3C、等于一一D、大于一一556、若正数x、v、z满足不等式组学习好资料欢迎下载11z<x+63y二2z贝Ux、v、z的大小关系是（11一y<x+z<y24A、x<y<z填空题B、y<z<xC、z<x<yD、不能确定7、方程xbcxca+=3,其中8、关于x的方程2a（x+5）=3x+1无解，则a=9、关于x、y的两个方程组，'ax2by=2和,工2xy=7'3ax5by=9-有相同的解，则3xy=11a=10、不定方程4x+7y=20的整数解是一-1111、不等式4x-2+>+3x+2的解集为x-5x53x-112、已知有理数x满足：3-xx+2的最小值为a,最大值为b,则ab=解答题1xx13、解方程1-3c10-7x2x-3214、解关于xx1_y1_