初中数学：将军饮马问题习题

1、将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型1定直线与两定点模型A*l作法结论当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P,使PA+PB的最小。连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点。PA+PBg/JPA+PB的最/、值为AB'。当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使PA+PBg小。AB：l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使PAPB最大。A*l*B当两定点A、B在直线l同侧时，

2、在直线l上找一点P,使PAPB最大。作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线于点P,点P即为所求作的点。P连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点。作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长交直线于点P,点P即为所求作的点。PAPB的最大值为ARPAPB的最大值为AB'。PAPB的最小值为00例2.如图,已知ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4/BCD=15,PJCD上的动点，则PAPB的最大值是多少?A*B*l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使PAPB|最小。模型实例例1.如图，正方形ABCD勺面积是12,ABE是

3、等边三角形，点E在正方形ABCCrt,在K力t线AC上有一点P,则PD+PE勺最小值为。热搜精练1 .如图，在ABC中，AC=BC=2/ACB-90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED勺最小值是。2 .如图，点C的坐标为（3,y）,当ABC的周长最短时，求y的值A(3,0)B(2,0)3 .如图，正方形ABC前，AB-7,M是DC上的一点，且DM-3,N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值。模型2角到定点模型作法结论PC川长最小为P'P"。点P在/AOB勺内部，在OB上找点D,在OA上找点C,使彳导人PCDH长最小。分别作点P关于OAOB的

4、对称点P'、P”,连接P'P",交OAOB于点C、D,点C、D即为所求。PC+CD勺最小值为P'C点P在/AOB勺内部，在OB上找点D,在OA上找点C,使得PD+CD最小。P'作点P关于OB的对称点P',过点P'作P'C!OA交OB于点C,点C、D即为所求。O点P、Q在/AOB勺内部，在OB上找点D,在OA上找点C,使得四边形PQD的长最小。分别作点P、Q关于OAOB的对称点P'、Q',连接P'Q',交OAOB于点C、D,点C、D即为所求。PC+CD+DQ最小值为P'Q',所以四边

5、形PQDC（勺周长的最小值为P'Q+PQP,且OP=1Q在OA上有一则最小周长是多少？模型实例例1.如图，/AOB=30,/AOEft有一定点点QOB上有一点R。若4PQ明长最小,热搜精练1 .如图，/MON=40,P为/MONJ一定点，A为OM上的点，B为ON上的点,当PAB的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时/APB等于多少度。如果/MON=,/APB又等于多少度？2 .如图，四边形ABC前，/BAD=110,/B=ZD=90°,在BCCD上分别找一点MN,使AMN长最小，并求此时/AMN4ANMH度数。3 .如图，在x轴上找一点C,在y轴上找

6、一点D,使AD+CD+B最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。A(1,3)*B(3,1)4.如图/MON=20,AB分别为射线OMON上两定点，且OA=2OB=4点P、Q分别为射线OMON±两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3两定点一定长模型作法结论dA*«B.1dAA'，1AM+MN+NS小为A"B。如图，在直线l上找MN两点（M仕左），使得AM+MN+NB小，且MN=d。:M/N：/=/A''将点Al句右平移d个单位到A',作A关于直线l的对称点A",连接A"B交直线l于点

7、N,将点NI句左平移d个单位到M点MN即为所求。A.14AMLAM+MN+NB最小值为A'B+d。I1IK.1（2*B如图，li/"li,I2之间距离为d,在li,12分别找MN两点，使得MNLli,且AM+MN+NB小。.2nB将点Al可卜平移d个单位到A',连接A'B交直线l2于点N,将点N向上平移d个单位到M点MN即为所求。模型实例例1.在平面直角坐标系中，矩形OAB口图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6OC=4D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。热搜精练1.在平面直角坐标系中，矩形OACB勺顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在,x轴、y轴的正半轴上，A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点。若若求点E为边OA上的一个动点，