几何图形中的最值问题

1、2014年几何图形中的最值问题谷瑞林几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题1 .函数：二次函数有最大值和最小值；一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2 .不等式：如xW7,最大值是7;如x>5,最小值是5.3 .几何图形：两点之间线段线段最短。直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。一、最小值问题B镇A镇:燃气管例1.如图4,已知正方形的边长是8,M在DC上，且DM=2N为线段AC上的一动点，求DN+MN勺最小值。解：作点D关于AC的对称点D,则点D与点B重合，连BM,交AC于N,连DN

2、贝UDN+MNt短,且DN+MN=BMCD=BC=8,DM=2,MC=6,在RtBCM即=&2+62=10，DN+MN勺最小值是10。例2,已知，MN是。直径上，MN=2点A在OO±,/AMN=30,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MNT巳则PA+PBM短。连oboA,AMN=30B是弧AN的中点,/BO&30°,根据对称性可知/NOAf60°,/MO每90°,在RtABO中，oA=ob=1,.Ab=J2即PA+PB=V'2第1页共11页2014年几何图形中的最值

3、问题谷瑞林例3.如图6,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点巳使点P到HE两点的距离之和最小，并求出最小值。解：作点E关于直线y=x的对称点M连M四直线y=x于P,连PE,贝UPE+PD1短；即PE+PD=MD-E(-1,-4),，M(-4,-1),过M作MN/x轴的直线交过D作DN/y轴的直线于则MNLND,又D(1,-3),贝UN(1,-1),在RtAMND,MN=5,ND=2,MD'%2+？2=函。.最小值是喀。练习1.(2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cn底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯

4、外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.C连蜜【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN勺对称点B,连接BC交MM1点P,连接BM过点C作AB的垂线交剖开线MA于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP由已知和矩形的性质，得DC=9BD=12在RtABCE,由勾月定理得BC=JdC2+BD2=旧+122=15。.AP+PC=BPFPC=BC=15即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm第2页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林2.正方形ABCM长是4,/DAC

5、的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ勺最小值是解：过点D作D。AC垂足为F,则DF即为PQ+DQ勺最小值.正方形ABCM边长是4,.AD=4/DAC=45,在直角4ADF中，ZAFD=90,/DAF=45,AD=4,.DF=AD?sin45=4X=2>/22故答案为23.（2009?陕西）如图，在锐角ABC中，AB=4/2,/BAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D,MN分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.解：过B作关于AD的对称点且，则目在AC上，1.AB=aB=4s/2,MB=mB,B/MNMB,即为B/H最

6、短。在RtAHB中，ZE/AHh45°,AB=V2,E/H=4,BM+MN的最小值是4.4.如图，菱形ABCD,AB=2/A=120°,点P,QK分别为线段BCCDBD上的任意一点，则PK+QK勺最小值为,解：二.四边形ABC虚菱形，.AD/BC./A=120°,./B=180°-/A=180°-120°=60°,作点P关于直线BD的对称点P',连接P/QPC则P/Q的长即为PK+QK勺最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CPAB时PK+QK勺值最小，在RtBCP/中，BC=AB=2/B=60°,.CP，=

7、BC?sinB=2X7=Vs.第3页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林5. (2012兰州)如图，四边形ABCD,/BAD=120°,ZB=ZD=90°,在BGCD上分别找一点MN,使AAMN周长最小时，则/AM冲/ANM的度数为【A.130°B,120°C,110°D,100°解：作A关于BC和ED的对称点A',A，连接A'A，交BC于M,交CD于N,则A'A即为AAMN的周长最小值.作DA3延长线AH ./EAB=120°,/HAA=60°, ./AA'M+/A&quo

8、t;=/HAA=60°, /MAA=/MAA,/NAD=/A",且/MAA+/MAA=/AMN/NADb/A"=/ANM /AMN-/ANM=/MAA+/MAA+/NADF/A”=2(/AA'M+/A")=2X60°=120°,故选：B.6. （2011须港）如图所示，在边长为2的正ABC中，E、F、G分别为ABACBC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP则4BPG的周长的最小值是解：要使4PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，连接AG交EF于M 等边4ABCE、F、G分别为ABACBC的中点

9、, AGLBCEF/BC AGLEF,AM=MG A、G关于EF对称，即当P和E重合时，此时BP+PGM小，即4PBG的周长最小,AP=PGBP=BE最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案为：3.第4页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，RtOAB勺顶点A的坐标是（9,0）,tan/BOA=Z!,3点C的坐标为（2,0）,点P为斜边OB上的一个动点，则解：作A关于OB的对称点D,连接C眩OB于P,连接AP,过D作DNLOA于N,则此时PA+PC勺值最小,.RtOAB勺顶点A的坐标为（9,0）,OA=93.tan

10、/BOA=2.AB=373,/B=60,/AOB=30,OB=2AB=631一一1一由二角形面积公式得：SbOAE=-XOAAB=-XOBXAM即9X33=63aM.AM=9-,.-.AD=2<9=9,22/AMB=90,/B=60°,./BAM=30,/BAO=90,/OAM=60,一一一41-.DN±OA，/NDA=30,.AN=-2PA+PCW最小值为.6795,.C(2,0),CN=92-=-,在RtADNO,由勾股定理得:DC=.DN2CN2=，3252=.6722即PA+PC勺最直是67,8.（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB勺顶点A在x

11、轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3,J3）,点C的坐标为（工，0）,点P为斜边OB上的一动点，则4PAC2周长的最小值为（）解：作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DNLOA于N,则此时PA+PC勺值最小，DP=PAPA+PC=PD+PC=CD-B（3,a）,.AB=OA=3/B=60°,由勾股定理得：OB=2第5页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林由三角形面积公式得：。XOAAB=1XQBXAM22，Am£,AD=2<星3,22 /AMB=90,/B=60°,./BAM=30, /BAO=90,/OAM=60,.DNLOAN

12、DA=30, anJadQ,由勾股定理得：dn£V5,222 .C（工,0）,.1.CN=3-1-=1,在RtDNC中，由勾股定理得:222DC=2=XJLL,2即PAC周长的最小值为5+逗,29.(2013?徐州*II拟.仿真一)在平面直角坐标系中，矩形ABCM顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(20,0)(20,10)。在线段AGAB上各有一动点MN,则当BM+M的最小值时，点M的坐标是（）解：如图，作点B关于AC的对称点B',过点B'作B'N±OB于N,B'N交AC于M则B'N=BM+MN=BM+,MN'N的长就是B

13、M+MN勺最小值.连接OB,交DC于P. .四边形ABCD矩形，DC/AB, .ZBAC=/PCA点B关于AC的对称点是B',PACWBAC/PAC=/PCAPA=PC令PA=x,贝UPC=x,PD=20-x.在RtADP中，pA=pD+AeJ,.x2=（20-x）2+102,x=12.5.cos/B'ON=c。之OPD，ONOB=DPOP .ON20=7.5:12.5,ON=12 .tan/MON=ta吆OCDMNON=ODCD .MN12=10:20,MN=6第6页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林.点M的坐标是（12,6）.故答案为（12,6）.10.如图，在矩

14、形ABCD,AB=20,BC=10,在AGAB上各取一点MN,使得BM+MIW最小值,求最小值。解：如图，作点B关于直线AC的对称点B',交AC与E,连接B'M过BYB'GLAB于G,交AC于F,由对称性可知，B'M+MN=BM+MN'G,当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10褥,点B与点B'关于AC对称，.BEXACc121Saabc=-AC?BEAB?BC得BE=475，BB'=2BE=8#因/B'BG吆CBE=ZACB+ZCBE=90,贝U/B'BGhACB又/B'GB=/ABC=90,得AB&

15、#39;GEBABCB/G二B/BABACB'G=16故BM+M的最小值是16cm.故答案为：16cm.11 .如图，已知正方形ABCM边长为10,点P是对角线BD上的一个动点，MN分别是BGCD边上的中点，则PM+PN勺最小值是解：作点N关于BD的对称点N',交AD与N,连接N/M则Nm=aba短。故答案为：MN=10cm12 .（仿真六）如图，正方形ABCD勺边长为2,E是BC中点.P是BD上的一个动点（P与B、D不重合）（1）求证：APgACPB（2）设折线EPC的长为y,求y的最小值,并说明点P此时的位置.第7页共11页解：AE=/5,BD=2V2,2014年几何图形中

16、的最值问题谷瑞林可证bp=1bd,.bp=2V2,距b点272。33'313 .如图，ABC是等腰直角三角形，/0=900,BC=272,B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，贝UCE+E用勺最小值解：作C关于BD的对称点C,过C作OF,BC于F,贝UCE+EF的最小值是Cf。CF/AC,.工也BAAC,2.2_C/F4一2.2.Cf=2,CE+EF的最小值是2.14.如图，已知梯形ABCM,AD/BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上，CN=2,E是BC的中点，M是AC上的一个动点，则EM+MN勺最小值解：作N点关于AC的对称点N',连接N'ZDA

17、C=/ACB,ZDAC=ZDCA,."CB=点N关于AC对称点N'优D上，CN=CN又,.DC=4,.EN'为梯形的中位线，1，.EN=(AD+BC)=6,2.EM+MN最小值为：EN=6.16.已知等腰梯形ABCDAD/BC,AB=DC,ACFF/BCD,BALAC,若AC=4/3,P、MN分别是ACAD.DC上的任意一点，则PM+PN勺最小值解：作点N关于AC的对称点N,过N作BC的垂线交ADTM,MNxAC于点P,则MNM短是夹在第8页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林AD与BC间的垂线段最短。可知/B=600,在RtABC中，AC=4/3,则AB=4

18、.在RtABH中,AH=sin60°X4=X4=273.即PM+P幽最/、值是2#。二，最大值问题知识点：求PA-PB的最大值；A,B在直线l的同侧.A,B在直线l的两侧.1.两点A,B在直线MN外的同侧，点A到MN的距离AC=&点B到MN的距离BD=5,CD=4P在直线MN±运动，则PA-PB的最大值是解：延长AB交L于点P', P/A-P/B=AB由三角形三边关系可知AB>|PA-PB|,AB>|PA-PB|,，当点P运动到P'点时，|PA-PB|最大， .BD=5CD=4,AC=8过点B作BHAC则BE=CD=4AE=AC-BD=8-5=3 .AB