曲率及其计算公式4ppt课件

1、一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径3.7 曲率 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样度量曲线的弯曲程度？一、弧微分曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 s0s0 相反时s0 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x) 一、弧微分v弧微分公式v 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 20

2、2200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21 y dxyds21 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx二、曲率及其计算公式提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？ 记sKs0lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 记sK称K为弧段 MN 的平均曲率 平均曲率：曲率：v曲率v 设曲线C是光滑的 曲线上点M对应于弧s 在点M处切线的倾角为a 曲线

3、上另外一点N对应于弧sDs 在点N处切线的倾角为aDa 曲率：v曲率的计算公式 在0limssdsd存在的条件下 dsdK 记sKs0lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan ay 所以 sec 2adaydx 在0limssdsd存在的条件下 dsdK 又知 ds21 ydx 从而得曲率的计算公式 232)1 (|yydsdK dxyydxydxyd2221tan1sec dxyydxydxyd2221tan1sec dxyydxydxyd2221tan1sec v曲率的计算公式232)1 (|yydsdK 例例1 计算等

4、边双曲线计算等边双曲线xy1在点在点(1, 1)处的曲率处的曲率.曲率的计算公式：曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 解解 21xy 32xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 例例2 抛物线抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因而 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a| 232)2(1 |2

5、|baxaK 曲率最大时 xab2 对应的点为抛物线的顶点 232)1 (|yydsdK 曲率的计算公式：讨论： 3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1 直线y=ax+b上任一点的曲率是什么？ 2. 若曲线的参数方程为x=j(t), y=y(t) 那么曲率如何计算？ 提示： 1. 设直线方程为y=ax+b, 则y=a, y= 0. 于是K=0. 3. 圆的参数方程为x=R cos t, y=R sin t . 2/ 322)()(| )()()()(|ttttttK 2. 三、曲率圆与曲率半径上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆其圆心叫做曲率中心其半径r叫做曲率半径v曲率与曲率半径关系v曲率圆与曲率半径v 设曲线在点M处的曲率为K(K0). 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为rK1的圆 r K1 K r1 曲率圆曲率半径曲率中心 例例3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要现在要用砂轮磨削其内表面用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.2