中南大学电磁场与电磁波课件

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波绪论绪论矢量分析矢量分析电磁场基本物理量电磁场基本物理量静电场分析静电场分析静电场边值问题静电场边值问题恒定磁场分析恒定磁场分析时变电磁场时变电磁场正弦平面电磁波正弦平面电磁波 绪绪 论论一、课程的性质和任务一、课程的性质和任务 “电磁场与电磁波电磁场与电磁波”是高等学校电子信息类及电气信息是高等学校电子信息类及电气信息类专业本科生必修的一门技术基础课，课程涵盖的内容是类专业本科生必修的一门技术基础课，课程涵盖的内容是合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结合格的电子、电气信息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要组成部分。近代科学的发展表明，电磁场与电磁

2、构的重要组成部分。近代科学的发展表明，电磁场与电磁波基本理论又是一些交叉学科的生长点和新兴边缘学科发波基本理论又是一些交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础，而且对完善自身素质，增强适应能力和创造能展的基础，而且对完善自身素质，增强适应能力和创造能力长远地发挥作用。力长远地发挥作用。 本课程将在本课程将在“大学物理（电磁学）大学物理（电磁学）”的基础上，进一的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论，具备理论，具备分析和解决基本的电磁场工

3、程问题的能力。分析和解决基本的电磁场工程问题的能力。 二、电磁场理论发展历史二、电磁场理论发展历史最初，人们只能定性观察电现象、磁现象最初，人们只能定性观察电现象、磁现象 电磁场理论发展中的重大事件：电磁场理论发展中的重大事件：库仑定律（电荷相互作用力规律）库仑定律（电荷相互作用力规律）18201820：电流磁效应（奥斯特）：电流磁效应（奥斯特） 安培力定律（安培）安培力定律（安培）18311831：电磁感应（法拉第）：电磁感应（法拉第）18641864：位移电流假说，麦克斯韦方程组：位移电流假说，麦克斯韦方程组( (麦克斯韦麦克斯韦) )18881888：试验证明电磁波存在（赫兹）：试验证明

4、电磁波存在（赫兹）三、电磁场、电磁波与工程应用三、电磁场、电磁波与工程应用 当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、当今世界，电子信息系统，不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来电视，还是导航、遥控遥测，都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传进行工作的。因此以宏观电磁理论为基础，电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重要作用。下面以无线电通信系统为例来说明。重要作用。下面以无线电通信系统为例来说明。 发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送

5、到发射发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的在这个过程中，经历了电磁波的传输传输、发射发射、传播传播、接收接收等等过程。过程。 接收机接收天线馈线下行波发射机发射天线馈线导行波 传输导行电磁波（导波理论） 发射和接收天线（天线理论） 传播入射、反射、

6、透射、绕射（电波传播）中、短波发射天线中、短波发射天线微波接力天线微波接力天线电磁场理论的工程应用 天线天线卡塞格仑天线MMDSA型微波天线MMDSC型微波天线矩形波导圆波导平行双线同轴线微带线 传输线传输线 随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广随着现代科学技术的发展，电子、电气系统获得越来越广泛的应用。运行中的电子、电气设备大泛的应用。运行中的电子、电气设备大多伴随着电磁能量的转多伴随着电磁能量的转换，使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，换，使得高密度、宽频谱的电磁信息充满整个人类的生存空间，构成极其复杂的电磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染。使电构成极其复杂的电

7、磁环境，出现了电磁干扰和电磁污染。使电子系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个子系统受到严峻的挑战，人类生存受到威胁。人们面临的一个新问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能新问题就是如何提高电子系统在复杂电磁环境下正常运行的能力，如何改善人类生存环境。力，如何改善人类生存环境。 在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门在这样的背景下提出了电磁兼容的概念，逐渐形成了一门新学科新学科电磁兼容性（电磁兼容性（Electromagnetic Compatibility,Electromagnetic Compatibility,简写为简写为EMCEMC）。电子系统

8、的电磁兼容性的分析、计算、试验都）。电子系统的电磁兼容性的分析、计算、试验都要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至要用到大量的电磁场理论知识，应用到电路的基础知识，甚至生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相生物医学知识。可以说，电磁兼容学科是电磁场学科和其他相关学科相结合而形成的新学科。关学科相结合而形成的新学科。 电磁兼容电磁兼容 生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究生物电磁学也是与电磁场相关联的一门新学科，它研究电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁场与生物系统的相互作用、相互影响的关系，电磁场与电磁波无疑是其讨论的理论依据。电

9、磁波无疑是其讨论的理论依据。 生物电磁学生物电磁学难点难点分析和处理问题的方法 数学处理过程矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析与场量基础矢量分析与场量基础矢量场的通量矢量场的通量 散度散度矢量场的环流矢量场的环流 散度散度标量场的梯度标量场的梯度亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.1 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础一、一、 矢量与矢量场矢量与矢量场 标量与矢量标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度） 矢量的表示方式矢量

10、的表示方式注：矢量书写时，注：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材上符。教材上符号即为印刷体。号即为印刷体。D矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为其为其模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为其为其单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；AA AeAAe 矢量的运算矢量的运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B则：则：()()()xxxyyyzzzABeABeABe ABcosABxxyyzzA BA BA BA BA B()()()xyzxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABAAABBBeA BA

11、 BeA BA BeA BA B说明：矢量间不存在除法运算。说明：矢量间不存在除法运算。 标量场与矢量场标量场与矢量场 按物理量的性质按物理量的性质 标量场标量场 物理量为标量（温度场物理量为标量（温度场, ,电位场）电位场） 矢量场矢量场 物理量为矢量（电场、磁场）物理量为矢量（电场、磁场）场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以场概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。，则称在该空间中确定了该物理量的场。 按物理量变化特性

12、按物理量变化特性 静态场静态场 物理量不随时间的变化而变化物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场）时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化物理量随时间的变化而变化场的分类：场的分类：二、常用坐标系二、常用坐标系 直角坐标系直角坐标系,xyzeee单位矢量：单位矢量：矢量表示：矢量表示：000 xyzFe xe ye z位置矢量：位置矢量：xyzre xe ye z基本变量：基本变量：,xyz 圆柱坐标系圆柱坐标系,rzeee单位矢量：单位矢量：矢量表示：矢量表示：( )( )( )rrzzAe A re Are A r位置矢量：位置矢量：rzre re z基本变量：基本变量：,rz 球面

13、坐标系球面坐标系单位矢量：单位矢量：矢量表示：矢量表示：,reee( )( )( )rrAe A re A re A r位置矢量：位置矢量：0rre r基本变量：基本变量：,r 坐标变换坐标变换 圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系cossinsincosrxyxyzzeeeeeeee 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee 1.2 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、矢量线（力线）一、矢量线（力

14、线）矢量场的通量矢量场的通量 矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ( )srd AS( )Srd AS 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空分布于空间中，在空间中取任意曲面间中取任意曲面S S，定义：，定义：( )A r为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面S S 的通量的通量。( )A r物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。 二、矢量场的散度二、矢量场的散度( ) cos ( )sA rr ds dSn 面元

15、矢量面元矢量 定义：面积很小的有向曲面定义：面积很小的有向曲面dS：面元面积，其值可认为无限小；：面元面积，其值可认为无限小；dSn：面元法线方向，垂直于面元平面。：面元法线方向，垂直于面元平面。 通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义的通量的物理意义 若若 ，闭合面内有产生矢量线的，闭合面内有产生矢量线的正源正源0 若若 ，闭合面内有吸收矢量线的，闭合面内有吸收矢量线的负源负源0 若若 ，闭合面内，闭合面内无源无源0 三、矢量场的散度三、矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积为为 ，则定义场矢

16、量，则定义场矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为： ( )A rV( )A r0( )div( )limASAsVrdrV讨论：讨论： 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度矢量场的散度值表征空间中通量源的密度 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有源场有源场， 为源密度为源密度( )0divA r( )0divA r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场

17、称为无源场无源场 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，( ( 正源正源) )( )0divF r 负源负源) )( )0divF r( ( 无源无源）( )0divF r ( )yxzAAAdivA rxyz() ()xyzxxyyzzeeee Ae Ae Axyz( )A r 式中：式中：()xyzeeexyz 哈密顿算符哈密顿算符 散度的计算散度的计算 直角坐标系下：直角坐标系下： 圆柱坐标系下：圆柱坐标系下：1()rzeeerrz ()11( )rzArAAA rrrrz11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrAA rr AArrrr 球面坐标系下：球面

18、坐标系下：四、散度定理（矢量场的高斯定理）四、散度定理（矢量场的高斯定理）( )( )VsA r dVA rdS 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度在体积V内的积分等于矢量场在内的积分等于矢量场在限定该体积的限定该体积的边界面边界面S S上的积分（通量）。上的积分（通量）。( )F r散度定理的证明散度定理的证明散度定理的证明散度定理的证明从散度定义有：从散度定义有：00( )( )limlimsVVA r dSdA rVVdV 则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：( )VA r dV 得证！得证！( )sA rdS1.3 矢量场的矢量场的环流环

19、流 旋度旋度一、矢量的环量一、矢量的环量SSn 环流的计算ACP在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合空间中，取一有向闭合路径路径l l，则称，则称 沿沿l l积分的结果称为积分的结果称为矢量矢量 沿沿l l的环量。即：的环量。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl 环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。生矢量场的漩涡源。 在直角坐标系中：在直角坐标系中：xxyyzzAe Ae Ae Axy yzdle dxe dye dzxyzCA dxA dyA dz 讨论：讨论：二、矢量的旋度二、矢量

20、的旋度 环流面密度环流面密度 矢量场的旋度矢量场的旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用环量密度的方向。用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； nSSnACM 表示矢量场表示矢量场 在点在点M M处沿处沿 方向的漩涡源密度；其值方向的漩涡源密度；其值与方向与方向 有关。有关。nrot A( )A r n n0limcnsA dlrot As 在场矢量在场矢量 空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M M取一面

21、元取一面元S S，其，其边界曲线为边界曲线为C C，面元法线方向为，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小，当面元面积无限缩小时，可定义时，可定义 在点在点M M处沿处沿 方向的环量面密度方向的环量面密度( )A r nnrot A n( )A r 旋度的物理意义旋度的物理意义 旋度的计算旋度的计算 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数；，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度； 在直角坐标系下：在直角坐标系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzz

22、xyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxxxeeexyzFFF三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定义由旋度的定义 对于有限大对于有限大面面积积s，可将其按如图，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有方式进行分割，对每一小面积元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS斯托克斯定理的证明：斯托克斯定理的证明：得证！得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线

23、上的线积分。该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。四、矢量场旋度的重要性质四、矢量场旋度的重要性质()0F ()()()xyzyyxxzzxyzeeexyzFFFFFFeeeyzzxxy证明：左边=(+)222222()()()0yyxxzzFFFFFFx yx zy zx yx zy z 任意矢量场旋度的散度等于零。任意矢量场旋度的散度等于零。1.4 标量场的梯度标量场的梯度一一. . 等值面（线）等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面由所有场值相等的点所构成的面( (线线) )，即为等值面，即为等值面( (线线) )。即。即若标量函数为若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程

24、为：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst二二. . 标量场的梯度标量场的梯度 梯度的定义梯度的定义max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 为垂直于等值面（线）的方向。为垂直于等值面（线）的方向。le 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数 标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率场增加最快的方向，幅度表示标量场的最大增加率梯度描述了空间某点处标量场梯度描述了空间某点处标量

25、场 随位置变化的规律。随位置变化的规律。( , , )u x y zuPNleMuu ne 梯度的运算梯度的运算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr ()xyzxyzuuugradueeexyzeee uxyzu 在球面坐标系中在球面坐标系中 柱面坐标系中柱面坐标系中 直角坐标系下直角坐标系下三三. . 梯度的重要性质梯度的重要性质0u 标量场的梯度恒等于零。标量场的梯度恒等于零。xyzxyzuuueeeeyeexyzxzz证明： 左边=(+)222222()()()0 xyzuuuuuueeey zz yz xx zx yy x 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 一、

26、亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界边界条件条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。亥姆霍兹定理的内容。 二、矢量场的分类二、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值根据矢量场的散度和旋度值是否为零是否为零进行分类：进行分类：调和场调和场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有： 和和 则在该区域则在该区域V V内，场内，场 为调和场。为调和场。 0F0F( )F r( )F r注意：注意：不存在在整个空

27、间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。有源无旋场有源无旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为有源无旋场。为有源无旋场。 0F0F( )F r( )F r( )0cF rdl 结论：结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源。有源无旋场也称无旋场也称保守场保守场。 无源有旋场无源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某，但在某些位

28、置或整个空间内，有些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。 ( )F r0F0FJ( )F r讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理说明：式中说明：式中 为矢量场漩涡源密度。为矢量场漩涡源密度。 J已知已知矢量矢量F F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A A唯一地确定）唯一地确定） 有源有旋场有源有旋场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，在某些位置

29、或整个空间内，内，在某些位置或整个空间内，有有 和和 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，内，场场 为有源有旋场。为有源有旋场。 ( )F r0F0FJ( )F r有源有旋场可分解一个有源有旋场可分解一个有源无旋场有源无旋场和和无源有旋场无源有旋场的叠加，即：的叠加，即：( )( )( )isF rF rF r( )( )0iiF rF r( )0( )ssF rF rJ( )( )lF rF r ( )( )sF rF rJ亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。电磁场的基本物理量电磁场的基本物理量电磁场的源量电磁场的源量库

30、仑定律库仑定律 电场强度电场强度安培定律安培定律 磁感应强度磁感应强度2.1 电磁场的源量电磁场的源量电荷和电流电荷和电流 自然界中最小的带电粒子包括电子和质子自然界中最小的带电粒子包括电子和质子 一般带电体的电荷量通常用一般带电体的电荷量通常用q q表示表示 从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的 从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中 电荷的几种分布方式：空间中体积电荷体密度电

31、荷的几种分布方式：空间中体积电荷体密度 面上电荷面密度面上电荷面密度 s s 线上电荷线密度线上电荷线密度 l l一、电荷与电荷密度一、电荷与电荷密度 体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体 体电荷密度体电荷密度 的定义的定义( )r0( )limVqdqrVdV 在电荷空间在电荷空间V V内，任取体积元内，任取体积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Vq则则( )Vqr dV 体电荷密度体电荷密度 面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷 面电荷密度面电荷密度 的定义的定义( )sr0(

32、 )limsSqdqrSdS 在面电荷上，任取面积元在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为Sq则则( )sSqr ds 面电荷密度面电荷密度 线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷 线电荷密度线电荷密度 的定义的定义( )lr0( )limllqdqrldl 在线电荷上，任取线元在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为，其中电荷量为lq则则( )llqr dl 线电荷密度线电荷密度000( )lim0VrqrrV 当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作

33、是电量电荷可看作是电量q q无限集中于一个几何点上。无限集中于一个几何点上。 点电荷点电荷 电流由定向流动的电荷形成，通常用电流由定向流动的电荷形成，通常用 I I 表示，定义为表示，定义为 当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定（稳恒）电流（稳恒）电流 空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过某截面的电荷量无法描述电流的分布情况截面的电荷量无法描述电流的分布情况 引入电流密度引入电流密度 来描述电流的分布情况来描述电流的分布情况 电荷的几种分布方式：空间

34、中体积电流体密度电荷的几种分布方式：空间中体积电流体密度J J 面上电流面密度面上电流面密度JsJs 线上线电流线上线电流I I二、二、 电流与电流密度电流与电流密度0limtqdqItdt 电流的物理意义：单位时间内流过曲面电流的物理意义：单位时间内流过曲面S S的电荷量的电荷量J 体电流密度体电流密度 电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流设单位体积内有设单位体积内有N N个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷q q，且，且都以相同的速度都以相同的速度v v运动，体积中的总电荷将在运动，体积中的总电荷将在

35、dtdt 时间内经时间内经 dSdS 流流出柱体，可以得到出柱体，可以得到 dt dt 时间内通过时间内通过 dSdS 的电荷量为的电荷量为 dQNq vdtdSv dSdtJ dSdt dQdIddSdSJt 通通过过的的电电流流强强度度为为： v P dS vdt 如图，设如图，设P P为空间中的任意点，过为空间中的任意点，过P P取面积元取面积元d dS S。 体电流密度体电流密度 定义定义JjdQdIJedtdS 物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积单位面积的电量的电量关于体电流密度的说明关于体电流密度的说明Jv 式中：式中： 为空间

36、中电荷体密度，为空间中电荷体密度， 为正电荷流动速度为正电荷流动速度v通过截面积通过截面积S S的电流的电流SSIJ dSJ ndS 反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场空间矢量场 一般是时间一般是时间t t的函数，即的函数，即J=J(r, J=J(r, t t) ) 。恒定电流是特殊情况。恒定电流是特殊情况 如有如有N N种带电粒子，电荷密度分别为种带电粒子，电荷密度分别为 i i，平均速度为，平均速度为v vi i，则，则1NiiiJv 0Jvvv = 0= 0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为时可能存在电流。如导体中电荷体密度为

37、0 0，但因正电，但因正电荷质量相对于电子大很多，因此近似不动，有荷质量相对于电子大很多，因此近似不动，有 面电流密度面电流密度 定义：定义： 当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时，电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量 J Js s 来表示。来表示。sJ 面电流密度面电流密度 h Js n l S 如图，设电流集中在厚度为如图，设电流集中在厚度为h h的薄层内流动，薄层的横截面的薄层内流动，薄层的横截面 S S，n n为表示截面方向的单位矢量。显

38、为表示截面方向的单位矢量。显然穿过截面的电流为然穿过截面的电流为 0limsSlIJSJ nh lJhn ln lIdIJldlJ 关于面电流密度的说明关于面电流密度的说明 J Js s是反映是反映薄层中薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢量场分布场分布 J Js s的方向为空间中电流流动的方向的方向为空间中电流流动的方向 J Js s在某点的大小为在某点的大小为单位时间单位时间内内垂直垂直通过通过单位长度单位长度的电量的电量 当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流 只有当电流体密度只有当电流

39、体密度J J趋于无穷，理想面电流密度趋于无穷，理想面电流密度J Js s才不为零，即才不为零，即 若表面上电荷密度为若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速度，且电荷沿某方向以速度 运动，则可运动，则可推得此时面电流密度为：推得此时面电流密度为：svssJv0lim0shJhJJ 电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。 电流元电流元 ：长度为无限小的线电流元。：长度为无限小的线电流元。Idl 线电流和电流元线电流和电流元三、三、 电流的连续性方程电流的连续性方程 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷电荷守恒定律是电磁现象中

40、的基本定律之一。实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。 取电流流动空间中的任意一个体积取电流流动空间中的任意一个体积V V，设在，设在 S V I 时间内，时间内，V V内流出内流出S S的电荷量为的电荷量为dtdq由电流强度定义：由电流强度定义：定律：定律： 时间内，时间内，V V内电荷改变量为内电荷改变量为dqdt由电荷守恒由电荷守恒( )SdqI dtJ rds dt( )sdqJ rdsdt ( )Vdr

41、 dVdt ()VVJ dVdVt Jt 0Jt( )sJ rds( )Vdr dVdt 即即电荷守恒定电荷守恒定律积分形式律积分形式 在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体积分，得积分，得电荷守恒定电荷守恒定律微分形式律微分形式 2 2、当体积、当体积V V为整个空间时，闭合面为整个空间时，闭合面S S为无穷大界面，将没有电流经为无穷大界面，将没有电流经其流出，电流连续性方程可写成其流出，电流连续性方程可写成0VdVt 对电流连续性方程的进一步讨论对电流连续性方程的进一步讨论即整个空间的总电荷是守恒的。即整个空间的总电荷是

42、守恒的。1 1、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系3 3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布也不改变，即：也不改变，即：00Jtt则恒定电流的电流连续性方程为则恒定电流的电流连续性方程为0J0sJ ds 4 4、对于面电流，电流连续性方程为：、对于面电流，电流连续性方程为：意义：流入闭合面意义：流入闭合面S S的电流等于流出闭合面的电流等于流出闭合面S S的电流的电流基

43、尔霍基尔霍夫电流方程夫电流方程()sSlSJndldSt 时变面电流时变面电流()0SlJndl恒定面电流恒定面电流例例 在球面坐标系中，传导电流密度为在球面坐标系中，传导电流密度为J=eJ=er r1010r r-1.5-1.5( (A/mA/m) )，求：（求：（1 1）通过半径）通过半径r r1 1mmmm的球面的电流值；（的球面的电流值；（2 2）在半径）在半径r r=1=1mmmm的球面的球面上电荷密度的增加率；（上电荷密度的增加率；（3 3）在半径）在半径r r=1=1mmmm的球体内总电荷的增加率。的球体内总电荷的增加率。解：解： （1）21.521000.5110sin|40|

44、3.97( )rmmSrmmIJ dSrrd drA （2）在球面坐标系中）在球面坐标系中 21.522.58311105|1.58 10/rmmddJrrdtr drrA m （3）由电荷守恒定律得）由电荷守恒定律得3.97( )SdqJ dSIAdt 2.2 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度一、库仑定律一、库仑定律 库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律 O rrRRrr1q2q 库仑定律内容：如图，电荷库仑定律内容：如图，电荷q q1 1对对电荷电荷q q2 2的作用力为：的作用力为：121212230044Rq qq qFeR

45、RR式中：式中：RRRReR0为真空中介电常数。为真空中介电常数。90110/36F m对库仑定律的进一步讨论对库仑定律的进一步讨论 大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上 多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加矢量叠加，即，即 连续分布电荷系统的静电力须通过连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分矢量积分进行求解进行求解304iiiiiiqqFFRR 二、电场强度矢量二、电场强度矢量E 电场的定义电场的定义 电场强度矢量电场强度矢量 用电场强度矢量用电场强度矢量 表示电场的大小和方向表示

46、电场的大小和方向E 电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用时，会受到电场力的作用静止电荷产生的电场称为静电场静止电荷产生的电场称为静电场 随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场0Fq E 0FEq 实验证明：电场中电荷实验证明：电场中电荷q0q0所受的电场力大小与自身所带电所受的电场力大小与自身所带电量量q0q0成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即对电场强度的进一步讨论对电场强度的进一步讨论 电场强度形成矢量场

47、分布，各点相同时，称为均匀电场电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷产生电场的电荷有关有关 对静电场和时变电场上式均成立对静电场和时变电场上式均成立 点电荷产生的电场点电荷产生的电场 单个点电荷单个点电荷q q在空间任意点激发的电场为在空间任意点激发的电场为200( )lim4sRqsFqE reqR01()4qR O rrRRrrqP O rRrqP 特殊地，当点电荷特殊地，当点电荷q q位于坐标原点时，位于坐标原点时，0r 200( )lim4rqFqE reqr01( )4qr 多个点电

48、荷组成的电荷系统产生的电场多个点电荷组成的电荷系统产生的电场 由矢量叠加原理，由矢量叠加原理，N N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为的电场为31014NiiiiqERR 1q2qNqO 1r2rNrrNR1R2R( )P r ( )P r1E2ENEE合iiRrr式中式中: : 连续分布的电荷系统产生的电场连续分布的电荷系统产生的电场连续分布于连续分布于体积体积V V中的电荷在空间任意点中的电荷在空间任意点r r产生的电场产生的电场 O dV rrR( )P r 处理思路：处理思路： 1) 1) 无限细分区域无限细分区域 2 2）考查每个区域

49、）考查每个区域 3 3）矢量叠加原理）矢量叠加原理30( )( , )4r dVdE r rRRrrR 设体电荷密度为设体电荷密度为 ，图中，图中dVdV在在P P点产生的电场为：点产生的电场为：( )r则整个体积则整个体积V V内电荷在内电荷在P P点处产生的电场为：点处产生的电场为：301( )( )( , )4VVrE rdE r rRdVR 面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如积元和积分区域作相应替换即可，如 014sVrRE rdSR 3 014llrRE rdlR 3 线电荷线电荷

50、面电荷面电荷例例 图中所示为一个半径为图中所示为一个半径为r r的带电细圆环，圆环的带电细圆环，圆环上单位长度带电上单位长度带电 l l，总电量为，总电量为q q。求圆环轴线上任。求圆环轴线上任意点的电场。意点的电场。 r0 O R dE z dl ldEz 解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷解：将圆环分解成无数个线元，每个线元可看成点电荷 l l(r)(r)dldl，则线元在轴线任意点产生的电场为则线元在轴线任意点产生的电场为2014lRdldEeR 由对称性和电场的叠加性，合电场只有由对称性和电场的叠加性，合电场只有z z分量，则分量，则 2033330000cos42444

51、4zlzzllzlzllzzlleE zedEdlReerzzzqzdldleeRRRR 结 果 分 析结 果 分 析（1 1）当）当z z00，此时，此时P P点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消，E=0E=0（2 2）当）当z z，R R与与z z平行且相等，平行且相等，r r 极化电荷：极化电荷：,PE 0EPE介质空间中电场：介质空间中电场：0EEE介质空间外加电场介质空间外加电场 ，实际电场为，实际电场为 ，变化与介质性质有关。，变化与介质性质有关。0EE引入电位移矢量引入电位移矢量 作为描述空间电场分布的辅助量作为描述空间电场分布的辅助量. .

52、D电介质极化率（极化系数）电介质极化率（极化系数）电介质本构关系电介质本构关系媒质介电常数媒质介电常数媒质相对介电常媒质相对介电常数数 真空的相对介电常数等于真空的相对介电常数等于1 1，真空中电场的本构关系为，真空中电场的本构关系为0DE 真空中点电荷产生的电位移矢量为：真空中点电荷产生的电位移矢量为：24rqeDr 引入电位移矢量后，真空中静电场的基本方程可写为引入电位移矢量后，真空中静电场的基本方程可写为0ED SVD dSdV00ED0CD dl对电位移矢量的讨论对电位移矢量的讨论 zreP O分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。化

53、状态的电介质体。解：在驻极体内：解：在驻极体内：0PP 驻极体在表面上：驻极体在表面上：SPP n0zrPe e cossinzreee0cosP求半径为求半径为a a，永久极化强度为，永久极化强度为 的球形驻极体中的的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：极化电荷分布。已知：0zPPeP例例 半径为半径为a a的球形电介质体，其相对介电常数的球形电介质体，其相对介电常数 , ,若在球心处存在一点电荷若在球心处存在一点电荷Q Q，求极化电荷分布。，求极化电荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE在媒质内：在媒质内：023316rQeEr24rQ

54、eEr体极化电荷分布体极化电荷分布: :PP 221()0rr Prr面极化电荷分布面极化电荷分布: :SPrP e2316Qa在球心点电荷处：在球心点电荷处：2344pSPspQQQa 例例 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的的z z分量为分量为 ，极化强度，极化强度 求：介质中的电场强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定义，知：解：由定义，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED例例3.5 介质中的高斯定律介质中的高斯定律 边界条件边界条

55、件一、介质静电场基本方程一、介质静电场基本方程真空中的高斯定律：真空中的高斯定律：0SqE dS0SE dSq在介电常数为在介电常数为 的介质中，类似地，有：的介质中，类似地，有：SE dSqSD dSqD 介质中的高斯定律介质中的高斯定律在介质中，静电场仍然为保守场在介质中，静电场仍然为保守场0E0CE dl介质中的环路定律介质中的环路定律 SSE dSD dSq0()SDP dSq0SSD dSP dSqPVPdVq 电介质中，穿过闭合面电介质中，穿过闭合面S S的电通量由真空中的电通量和束的电通量由真空中的电通量和束缚电荷穿过闭合面缚电荷穿过闭合面S S的电通量组成。的电通量组成。0PS

56、D dSqq 式中：式中：q q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷。为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷。对介质中静电场基本方程的讨论对介质中静电场基本方程的讨论二、介质的电位方程二、介质的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）为常数）D()EE E()E 2 介质中的泊松方程介质中的泊松方程三、静电场的边界条件三、静电场的边界条件 在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边边值关系值关系或或

57、边界条件边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式在非均匀媒质中，在非均匀媒质中， 为坐标函数为坐标函数D()EE 的边界条件的边界条件D 212D1Dn0h Snn12()sDDn12nnsDD 为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。s120nnDD 若媒质为理想媒质，则若媒质为理想媒质，则 ， 满足边界条件满足边界条件0sD 在分界面上取一个扁盒，将在分界面上取一个扁盒，将 应用于此盒，并考虑应用于此盒，并考虑h h0 0，得，得SD dSq 12SD dS =D nS+D-n S

58、=q 对对 边界条件的讨论边界条件的讨论D 结论一：若边界面上不存在自由电荷，则结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。法向连续。D 的边界条件的边界条件E 212En1E210h ls 在分界面上作一矩形回路，将在分界面上作一矩形回路，将 用于此回路，且考虑用于此回路，且考虑h h0 0，得，得0lE dl 12ttEE结论二：在两种媒质分界面上，结论二：在两种媒质分界面上， 切向连续。切向连续。E0s1122sinsinEE 12CE dl = E l -El =0 1212()()0EnsEnsEnEn理想媒质和导体的静电场边界条件理想媒质和导体的静电场边界条件 理想介质分界面的

59、边界条件（理想介质分界面的边界条件（ ） 理想介质：理想介质：导电率为导电率为0 0的媒质。因此在理想介质内部和表面的媒质。因此在理想介质内部和表面均不存在自由电荷分布，故边界条件为：均不存在自由电荷分布，故边界条件为：12120nnttDDEE0nstDE0sD nEn 导体边界条件导体边界条件 在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为 电位边界条件电位边界条件 在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。规律即为电位的边界条件。tnEtEn tnEeetn

60、 ttnnEE eE e12nnSDD1122nnSEE2121Snnn由21120ttEE120tt120电位边界条件电位边界条件 212En1E212D1D12()0DDn12()0EEn11221122coscossinsinDDEE讨论：在理想媒质分界面上讨论：在理想媒质分界面上1122tantan 从上式可以看出，电场矢量方向在分界面两边将发生改变，改变从上式可以看出，电场矢量方向在分界面两边将发生改变，改变量与媒质介电常数有关。量与媒质介电常数有关。 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为，外导体半径为b b。内外。内外导体间充满介电常数分别为导体间充满介电常数分