第四节二重积分的应用

1、第三节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 2022-4-272022-4-271. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从积分定义出发从积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便定出积

2、分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法用重积分解决问题的方法 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为则其体积为( , )d dDVf x yx y,),(Dyx1:221yxzS任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程为的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面它与曲面22yxz的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12200()

3、()xxyy00cos,sinxxryyr令2(记所围域为记所围域为D ),(000zyx在点在点Drrrdd2例例1. 求曲面求曲面rr dd10320MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,dcosd A22(0,0,1) (, 1)cos1( , )( , )xyxyfffx yfx yd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素称为面

4、积元素)则则Mnd故有曲面面积公式故有曲面面积公式221( , )( , ) dxyDAfx yfx y221 ()()d dDzzAxyxy若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有则有zyD即即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则则有则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且且yxdd例例2. 设半径为设半径为 r的球，其球心在半径为的球，其球心在半

5、径为a 的定球面上的定球面上.求求r的值，的值，使得半径为使得半径为 r的球的位于定球内部的部分的面积最大。的球的位于定球内部的部分的面积最大。解解:两球的交线为两球的交线为建立坐标系建立坐标系.42222221 ()()d drxyrazzAxyxy2222+xyza2222+xyzar222zarxy2222222=2arxyaa422rra42222222d drxyrarrAyxxy222zarxy222222,xyxyzzrxyrxy42222200ddrrarr322rra234rrAra 43ra4()30rAa43ra三、平面薄板的质量、质心与形心三、平面薄板的质量、质心与形心

6、设平面有设平面有n个质点个质点,(,),kkxy其质量分别其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyy设设平面薄板平面薄板占有区域占有区域 D ,( , ),x y有连续密度函数有连续密度函数分别位于分别位于为为为为将将 D 分成分成 n 小块小块,(,),kk 将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,11(,)(,)nkkkkknkkkkx 令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径,0DDD( , )d d( , )d d=m( , )d dx yxyx yxyxx y

7、xxxy系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点(,),kk 同理可得( , )Kx y则得形心坐标则得形心坐标：()d dDS DxyDD( , )d dy( , )d dx yxyx yxyyDd dy()DyxySDd dx()DxxyS2 2、形心坐标形心坐标DyxxAxdd1DyxyAydd1 当积分区域为规则图形（面积与形心坐标很容易得当积分区域为规则图形（面积与形心坐标很容易得到）时，可用到）时，可用面积与形心坐标表示二重积分。即面积与形心坐标表示二重积分。即ybAxaAdybx

8、dadbyaxDDD)(注：重积分计算的注：重积分计算的基本技巧基本技巧 1 1、利用对称性、利用对称性 4例例3. 求位于两圆求位于两圆sin2rsin4r和和的质心的质心. 2D解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片之间均匀薄片0dsin3143212oyxC例例4. 计算二重积分计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222yxyx所围成的平面域所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为

9、面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量位于位于(x , y) 处的处的微元微元 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 平面薄片平面薄片,面面密度为密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( xDyo2y2xDyyxyxIdd),( 2( , )xdIyx y d2Imdrraddsin0302例例7.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量的转动惯量.例例9.设一设一薄片由曲线薄片由曲线密度为密度为2,1,0yxxyxyx围成，其面围成，其面求该薄板对求该薄板对