yz第四章_电磁场和物质的共振相_

1、1 1第四章第四章 电磁场和物质的共振相互作用电磁场和物质的共振相互作用 激光器的物理基础是光频电磁场与物质的相互作用(特别是共振相互作用)。 光与物质的相互作用包括：光与组成物质的原子(或离子、分子)内的电子之间的共振相互作用（大多数激光器）；光与自由电子的相互作用（自由电子激光器）；另一种，光与物质的非线性光学效应的物理基础。 激光器的特性，宏观有激光强度、频率特性，微观有场的量子起伏（相干性和噪声），激光器的严格理论是建立在量子电动力学基础上的量子力学，它可以描述激光器的全部特性。下面介绍四种近似理论:2 2第四章第四章 电磁场和物质的共振相互作用电磁场和物质的共振相互作用一、经典理论一

2、、经典理论 它的出发点是,将原子系统和电磁场都用经典电动力学的麦克斯韦方程组描述电磁场,将原子中的运动电子视为服从经典力学的振子。也称为经典原子发光模型。 它曾成功地解释了物质对光的吸收和色散现象,定性地说明了原子的自发辐射及其谱线宽度,等等。 此外,经典理论在描述光和物质的非共振相互作用时也起一定作用。特别是对于自由电子激光器,可以完全采用运动电子电磁辐射的经典理论来描述。3 3第四章第四章 电磁场和物质的共振相互作用电磁场和物质的共振相互作用二、半经典理论二、半经典理论 它是属于量子力学范围内的理论方法，与量子力学中关于原子跃迁和光的辐射、吸收问题的处理方法相似。它的出发点是采用经典麦克斯

3、韦方程组描述光频电磁场，而物质原子则用量子力学描述。用这种方法建立激光器理论是由兰姆(W.E.LambJr)在1964年开始的,故称为激光器的兰姆理论。 半经典理论能较好地揭示激光器中大部分物理现象,如强度特性(反转粒子数烧孔效应与振荡光强的兰姆凹陷)、增益饱和效应、多模耦合与竞争效应，模的相位锁定效应、激光振荡的频率牵引与频率推斥效应等。 这种理论的缺点：掩盖了与场的量子化特性有关的物理现象；数学处理比较繁杂。4 4第四章第四章 电磁场和物质的共振相互作用电磁场和物质的共振相互作用三、量子理论三、量子理论 量子电动力学处理方法。它对光频电磁场和物质原子都作量子化处理,并将二者作为一个统一的物

4、理体系加以描述。 激光器的全量子理论只是在需要严格地确定激光的相干性和噪声以及线宽极限这些特性时才是必要的。四、速率方程理论四、速率方程理论 它是量子理论的一种简化形式,因为它是从光子(即量子化的辐射场)与物质原子的相互作用出发的。 忽略了光子的相位特性和光子数的起伏特性，这种理论形式非常简单。缺点：只能给出激光的强度特性，而不能揭示出色散(频率牵引)效应,也不能给出与激光场的量子起伏有关的特性。5 54.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介4.1 4.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介一、原子自发辐射的经典模型一、原子自发辐射

5、的经典模型 简谐振子模型认为：原子中的电子被与位移成正比的弹性恢复力束缚在某平衡位置x=0(原子中的正电中心)附近振动(假设一维运动情况),当电子偏离平衡位置而具有位移x时,就受到一个恢复力f=-kx的作用。 假定没有其他力作用在电子上,则电子运动方程为： 0mxKx+=& &它的解为：一维线型谐振子方程()00( ) 1jt20 x tx e K mww=其中 6 6 根据电动力学原理，当运动电子具有加速度时，它将以如下的速率发射电磁波能量：4.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介( )2306cnpe&2ee 式中V为电子运动的加速度。上式所表示的电子能量在

6、单位时间内的损失，也可以认为是辐射对电子的反作用力(或辐射阻力)在单位时间内所作的负功,即可表示为：( )2306Fvcnpe=&2ee-e其中F为作用在电子上的辐射反作用力。估取330066Fvxccpepe=& & & &22eee306mxKxxcpe+=& & & &2e电子运动方程可写为：F相对于恢复力很小，可取0 xxw -& & & &27 74.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介上式可写为：()00 4.1.8xxx2gw+=& &式中经典辐射阻尼系数：0306c mwgp e=22e上式解为：()020( ) (4.1.10)t1jt20 x

7、 tx ee K mgww-=其中 可见，考虑了辐射阻尼，则振子作简谐阻尼振荡，可见，考虑了辐射阻尼，则振子作简谐阻尼振荡，以上就是原子的经典简谐振子模型。以上就是原子的经典简谐振子模型。 按式(4.1.10)作简谐振动的电子和带正电的原子核组成一个作简谐振动的电偶极子，其偶极矩为简谐偶极振子发出的电磁辐射： 这就是原子在某一特定谱线(中心频率为。)上的自发辐射的经典描述。显然，可以将r=1/定义为简谐振子的辐射衰减时间。在可见光频率范围内大约为10-8s量级，这与实验结果一致。020 tjtEE eegw-=002200( )( )= ttjtjtP tex tex eep eeggww-=

8、 -= -8 84.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介二、受激吸收和色散现象的经典理论二、受激吸收和色散现象的经典理论 受激吸收和色散现象是物质原子和电磁场相互作用的结果。物质原子在电磁场的作用下产生感应电极化强度(即介质的极化)，感应电极化强度使物质的介电常数(因而电磁波的传播常数)发生变化，从而导致物质对电磁波的吸收和色散。 下面我们就从这个概念出发求出吸收系数和折射率的经典表示式。 根据电磁场理论,在物质中沿z方向传播的单色平面波,其x方向的电场强度可表示为:0( , )( ) jzj tj tcE z tE z eE eewe mww-=相对介电常数和

9、相对磁导率=1，下面根据E(z,t)作用下的极化过程，从原子的经典模型出发求9 94.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介设物质由单电子原子组成,则作用在电子上的力为：忽略磁场对电子的微小作用力，在上述电场力的作用下,电子运动方程(4.8)应改写为:( , )eE z t-()0( ) 4.1.14j texxxE z em2wgw+= -& &忽略微分方程通解中代表自由阻尼振荡的项，因为它对感应电矩没有贡献，则上述微分方程的特解可写为如下形式：()0( ) 4.1.15j tx tx ew=联立上面二式得()0220( ) j teE zmxeiwwwgw-=

10、-+对共振相互作用,即。的情况有()0000( ) 2j teE zmxeiwwwwgw-=-+10104.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介一个原子的感应电矩则为：()2j t000eE(z)mp(z,t)=-ex(z,t)=e 2-+iwwwwgw对于气压不太高的气体工作物质，原子之间相互作用可以忽略，因而感应电极化强度可以通过对单位体积中原子电矩求和得到：(),2000enmP(z,t)=np(z,t)=E(z t) 2-+iwwwgwn为单位体积工作物质的原子数0P(z,t)=E又e c()()221 210000000neine=i-m2-+im+c

11、wwewwwgww e gg-=,令iccc=则11114.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介物质的相对介电系数与电极化系数的关系为：1,令 =1+ieccc=+因为所以1c=11222i= 1+=icccechb +=+/00( , )= jtzjzzcj tccE z tE eeE eewwwwe mbhw骣-桫=将相对介电系数代入方向电场表达式.得无激励时物质的折射率无激励时增益系数：()222( ) 112( )( )4100dI znegd z I zccmc-+wwbce gw wg= -又22*20( )( , )( , )( , )zcI zE

12、 z tE z t E z tE e可得wb=()()1222112410000-nem-+=ww gchw e gwwg-+=+12124.1 光和物质的相互作用的经典理论简介光和物质的相互作用的经典理论简介其中运用了条件。，在小信号情况下，若二能级简并度相等，阳粒子数密度n=-n，所以g00；当原子离开接收器，；当原子离开接收器，v vz z001zc21214. 谱线加宽和线型函数谱线加宽和线型函数 沿z方向传播的光波与中心频率为 并具有速度 的运动原子相互作用时，原子表现出来的中心频率为：0011zzcc 称为运动原子的表观中心频率。称为运动原子的表观中心频率。多普勒加宽线型函数就是原

13、子数按中心频率的分布函数:具有高斯函数分布形式。具有高斯函数分布形式。z02202012200,2bmcK TDbcmgeK T 书中书中4.2.25、4.2.26公式！公式！22224. 谱线加宽和线型函数谱线加宽和线型函数、晶格缺陷加宽、晶格缺陷加宽在固体中，晶格缺陷部位的晶格场将和无缺陷部位的理想场不同，因而处于缺陷部位的激活粒子的能级发生位移，这就导致处于晶体不同部位的激活粒子的发光中心频率不同，即产生非均匀加宽三、综合加宽三、综合加宽1 1、气体工作物质的综合加宽线型函数、气体工作物质的综合加宽线型函数气体工作物质，主要的加宽类型就是由碰撞引起的均匀加由碰撞引起的均匀加宽和多普勒非均

14、匀加宽宽和多普勒非均匀加宽。综合加宽线型函数为：00000,DHgggd (1)当vHvD时，上述积分只在 附近很小范围内才有非零值，在此范围内可将函数用常数 代替，因此00,Dg 0,Dg0000,DDggg 此时综合加宽近似于多普勒非均匀加宽。其物理意义是此时综合加宽近似于多普勒非均匀加宽。其物理意义是:具有中心频具有中心频率率 的那部分原子只对谱线中频率为的那部分原子只对谱线中频率为 部分有贡献。部分有贡献。00 00 023234. 谱线加宽和线型函数谱线加宽和线型函数(2)当vDvH时，根据同样的考虑可得：00,Hgg 即综合加宽近似于均匀加宽，这时即综合加宽近似于均匀加宽，这时n2

15、个原子近似具有同一中心个原子近似具有同一中心频率频率v。，其中每个原子都以均匀加宽谱线发射。，其中每个原子都以均匀加宽谱线发射。、固体工作物质的谱线加宽、固体工作物质的谱线加宽固体激光工作物质的谱线加宽主要是晶格热振动引起的均匀加宽和晶格缺陷引起的非均匀加宽, 一般通过实验求得它的谱线宽度。图4.9给出实验测得的红宝石694.30nm和Nd：YAG的1.06um谱线宽度与温度的关系。24244. 谱线加宽和线型函数谱线加宽和线型函数、液体工作物质、液体工作物质液体介质比气体有较高的密度，碰撞平均时间较短，约为因此碰撞谱线宽度很大，谱线较宽，线宽可达数十纳米，这种加宽的特点是有机染料激光器的输出

16、连续可调的物理基础。11131010 s结论：结论： 自然加宽和碰撞加宽构成的加宽具有洛伦兹线性，多自然加宽和碰撞加宽构成的加宽具有洛伦兹线性，多普勒加宽构成的非均匀加宽具有高斯线性。普勒加宽构成的非均匀加宽具有高斯线性。2525激光器速率方程理论的出发点是：原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。如下：4.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程4.34.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分方程组,称为激光器速率方程组激光器速率方程组。212122121221211212112123213211212128sps

17、tstdnA ndtdnWnWBdtdnWnWBdtAhvn hvBcBfBf 这组关系是建立在能级无限窄，因而自发辐射是单色的假设基础上。实际上，自发辐射并不是单色的，因此在建立速率方程之前，必须对上述关系式进行必要的修正。26264.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程一、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率一、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率 0202102021,PPgn hA gn hA 21210,AA g (4.3.1) 3321212133032121021388,8AccBAhvhvgcBBgAhv 或线型函数也可理解为跃迁几率按频率的分布函数，将式(4.3)改写0,g 其中令

18、它表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单位频带内的自发跃迁几率。下面根据各个系数之间的关系，根据上式对它们进行修正：再根据B2l与A21的关系式(1.2.15)可得：27274.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程 212212210,4.3.4stdnnWdn Bgddt = 在辐射场的作用下的总受激跃迁几率时,分配在频率处单位频带内的受激跃迁几率为: 2121210,WBB g (4.3.2) 根据式(4.3.1) 对式(.) 进行修正，则n2个原子中单位时间内发生自发跃迁的原子总数, 应表示为: 212212210221,4.3.3spdnn AdnAgdn Adt 根据式(4.

19、3.2) 对式(.8) 进行修正得:上式和式上式和式(1.2.4)一样，它说明谱线加宽对式一样，它说明谱线加宽对式(1.2.4) 自发跃自发跃迁概率并没有影响。迁概率并没有影响。上式中的积分与辐射场p的带宽有关，以下对两种极限情况进行讨论。28284.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程00212210221,4.3.5stdnn Bgdn Bdt 002121212121212114.3.71dnWBdtndnWBdtn 1.1.原子和连续谱光辐射场的相互作用原子和连续谱光辐射场的相互作用被积函数只在原子中心频率 附近的很小频率范围()内才有非零值在此频率范围内可近似认为 为常数 ，于是有

20、同理0121124.3.6stdnnBdt 0那么 式中式中 是连续谱辐射场在原子中心频率是连续谱辐射场在原子中心频率 处的单色能量密度，这处的单色能量密度，这和式和式(1.2.9)、(1.2.7)一致，因为黑体辐射场正是具有连续谱的。一致，因为黑体辐射场正是具有连续谱的。00212210,4.3.4stdnn Bgddt = 029294.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程212 2102 210,4.3.9stdnnBgdnB gdt 121120,4.3.10stdnn Bgdt 2121012120,4.3.11,WB gWB g 4.3.8= 2.2.原子和准单色光辐射场相互作用

21、原子和准单色光辐射场相互作用 如图4.3.2所示，辐射场 中心频率为 ，带宽 ，并满足条件 ，此时积分式(4.3.4)的被积函数只在中心频率 附近的一个极窄范围内才有非零值。在此频率范围内 可以近似看成不变。为求此积分，可将单色能量密度 表示为函数形式:00,g 代入（4.3.4）式：同理那么物理意义：由于谱物理意义：由于谱线加宽，和原子相线加宽，和原子相互作用的单色光的互作用的单色光的频率频率并不一定要精并不一定要精确等于原子发光的确等于原子发光的中心频率中心频率。才能产。才能产生受激跃迁，而是生受激跃迁，而是在在=。附近一个。附近一个频率范围内都能产频率范围内都能产生受激跃迁。生受激跃迁。

22、30304.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程4.3.12lN h 212102102211201201,4.3.13,llllAWgNNnf AWgNNf n 激光器内 与第 模内的光子数密度 的关系为：lNl那么跃迁概率可表示为：22121002022211200210,84.3.14,8Agf Agf 称为发射截面称为吸收截面时，中心频率处的发射截面和吸收截面最大：0221210220212103 220,4.3.154,4.3.164HDAA 均匀工作物质 ln2非均匀工作物质 31314.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程设光腔体积为V，则光腔内总的光子数 ，则：lVlNN

23、V21021,lVA gWNnV 则一个模式内的单个光子引起的受激跃迁几率：光腔内第l模的总光子数分配到频率为分配到频率为处单位处单位频带内的自发辐射几率频带内的自发辐射几率分配在光腔内频率为的一个模式上的自发辐射跃迁几率，令为21021,llVA gWaNnV la2121214.3.17llllWa NfWa Nf 则（4.3.13）可改写为：32324.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程 对于一般固体激光工作物质来说，谱线线型函数很难从理论上求，可根据上式对W21作出近似估算。设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线宽度为，并假设A21均匀分配在所包含的所有模式上，则分配在一个模式上

24、的自发辐射跃迁几率为：2121238lAAahvn VVc2121212212211211lVllVlA NAWNnVnf A Nf AWNf nVf n则（4.3.17）可改写为：33334.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程二、单模振荡速率方程组二、单模振荡速率方程组 激光振荡可以在满足振荡条件的各种不同模式上产生，每一个振荡模式是具有一定频率(模式谐振频率)和一定腔内损耗的准单色光(具有极窄的模式频带宽度)。腔内损耗可由光腔的光子寿命R描述。 下面首先讨论激光器内只有第l个模式振荡时的单模速率方程组。34344.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程. .三能级速率方程（如图）三能级

25、速率方程（如图）3113332312112221221213321.194.3.20dnnWnSAdtdnnWn WnASn Sdtnnnn + 各能级集居数随时间变化的方程如下：各能级集居数随时间变化的方程如下：W W13 13 、 W W1212 、 W W2121为受激吸收或辐为受激吸收或辐射跃迁几率射跃迁几率A A31 31 、A A2121为自发辐射几率为自发辐射几率S S3131 、S S32 32 、S S2121为无辐射跃迁几为无辐射跃迁几率率其中其中S S2121AA2121（很小）（很小），S S3131SS3232，A A3131SS32323535

26、4.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程 若激光器光腔内第l个模式的光子寿命为Rl，工作物质长度l等于腔长L，则其光子数密度的速率方程为：式中忽略了进入l模内的少量自发辐射非相干光子。最后，将式(4.3.13)代入式(4.4.19)与式(4.4.21)，可得到三能级系统的速率方程组为221112llRldNNn WnWdt36364.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程2.2.四能级速率方程组（如图）四能级速率方程组（如图） 参照图4.3.4根据和三能级系统完全相同的考虑，可得四能级系统的速率方程组为（忽略了n3W30项，因为n3很小，故n3W30W03,S32W03,A30S32 ，于是

27、由式(4.3.23)可得0120dndndndtdtdt在连续稳态工作状态下应有:3320033;0n SnWn 由式(4.3.25)可得00312100;n WnnnS 因此式(4.3.24)可改写为:2110021211,d nnnndtAS 其中0322N-+ W =在稳态时稳态时有dn/dt=0，考虑到四能级系统中n0n，于是由上式可求得:21101,nnn 03 22W N 101211021104.4.8,shhI 22= 令42424.4均匀加宽工作物质的增益系数均匀加宽工作物质的增益系数 1014.4.71snnII 那么式(4.4.7) 在光强I1Is的小信号情况下:04.4

28、.9nnn 03 2W n0称作小信号反转集居数密度，它正比于受激辐射上能级寿命及激发几率W03。 当I1足够强时,将有 ，I1越强,反转集居数减少得越多，这种现象称为反转集居数的饱和。0nn 饱和光强人的物理意义是：当入射光强度饱和光强人的物理意义是：当入射光强度I1可以与可以与Is比拟时，受激辐射造成比拟时，受激辐射造成的上能级集居数衰减率就可以与其他弛豫过程的上能级集居数衰减率就可以与其他弛豫过程(自发辐射及无辐射跃迁自发辐射及无辐射跃迁)造成的造成的衰减率相比拟。衰减率相比拟。 因此当I1Is时,n与光强无关，当I1可与Is相比拟时，n随I1的增加而减少。当 时， ； 11sII02n

29、n 的数值决定于增益物质的性质，可由实验测出。 1sI43434.4均匀加宽工作物质的增益系数均匀加宽工作物质的增益系数 饱和光强 反比于线型函数。如果均匀加宽工作物质具有洛仑兹线型，则将相关参数代入（4.4.8）可得： 1sI当入射光频率恰位中心频率时： 0014.4.121snnII 211024.4.10ssHII4=1+ 其中心频率处的饱和光强：021shI 2= 可见其中心频率处的饱和光强 最小，饱和效应最强烈 ，入射光偏离中心频率越远，则饱和效应越弱。则对洛仑兹线性的均匀加宽物质：221002211024.4.1312HHsnnII 1sI由上式知，当入射频率与中心频率的偏差在范围

30、：11012HsII 才有显著饱和作用。 须指出,式(4.4.8)是在四能级系统情况下导出的。对于其他能级系统,也可以得到类似的表示式。但其中Is的表示式不同于式(4.4.8)。4444二、增益饱和二、增益饱和4.4均匀加宽工作物质的增益系数均匀加宽工作物质的增益系数 现在分析,当频率为1，光强为I1的准单色光入射到均匀加宽工作物质时的增益系数gH(1，I1)。122112110211020,8HHAgInnA g = 将(4.4.7)代入上式，得： 110111,4.4.151HHsggIII 由上式可知，在I1Is的小信号情况下，增益系数与光强无关。小信号增益系数可表示为（如P151图4.4.2）： 20002112110211020,4.4.168HHA