MATLAB数据分析与数学计算ppt课件

1、张登峰张登峰李忠新李忠新2019.7Content 6.1 数据统计处理数据统计处理 6.2 数据插值数据插值 6.3 多项式计算多项式计算 6.4 非线性方程数值求解非线性方程数值求解 6.5 函数极值函数极值部分常用数值分析函数部分常用数值分析函数cumprod累积积向量累积积向量cumsum累加和向量累加和向量mean平均值平均值/均值均值factor质因子质因子min最小值最小值max最大值最大值prod数组元素的乘积数组元素的乘积mediam中间值中间值sort按升序排列矩阵元素按升序排列矩阵元素sortrows按升序排列行按升序排列行std标准差标准差sum求和求和trapz梯形法

2、数值积分梯形法数值积分var方差方差corrcoef相关系数相关系数cov协方差矩阵协方差矩阵conv卷积卷积/多项式乘法多项式乘法deconv反卷积反卷积/多项式除法多项式除法nextpow2最接近的最接近的2的幂次的幂次gradient数值梯度数值梯度6.1 数据统计处理数据统计处理6.1.1 最大值和最小值最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为别为max和和min，两个函数的调用格式和操作过程类，两个函数的调用格式和操作过程类似。似。1)求向量的最大值和最小值求向量的最大值和最小值求一个向量求一个向量X的最大值的函数

3、有两种调用格式，分别是：的最大值的函数有两种调用格式，分别是：y=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，如果，如果X中包含复中包含复数元素，则按模取最大值。数元素，则按模取最大值。y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最大值的序号，最大值的序号存入存入I，如果，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。中包含复数元素，则按模取最大值。求向量求向量X的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全完全相同。相同。例例6-1 求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;

4、y=max(x) %求向量求向量x中的最大值中的最大值y,l=max(x) %求向量求向量x中的最大值及其该元素的中的最大值及其该元素的位置位置2)求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值求矩阵求矩阵A的最大值的函数有的最大值的函数有3种调用格式，分别是：种调用格式，分别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第：返回一个行向量，向量的第i个元素个元素是矩阵是矩阵A的第的第i列上的最大值。列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向量记向量记录录A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量记录每列最大值向量记录每列最大值的行号。的行号。(3) max

5、(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1时，该函时，该函数和数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该函数返时，该函数返回一个列向量，其第回一个列向量，其第i个元素是个元素是A矩阵的第矩阵的第i行上行上的最大值。的最大值。求矩阵最小值的函数是求矩阵最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全相同。完全相同。例例6-2 分别求分别求34矩阵矩阵x中各列和各行元素中的最大值，中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。并求整个矩阵的最大值和最小值。2913x= 4 12 52638 163)两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较函数函数ma

6、x和和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结是两个同型的向量或矩阵，结果果U是与是与A,B同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素等的每个元素等于于A,B对应元素的较大者。对应元素的较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果是一个标量，结果U是与是与A同型的同型的向量或矩阵，向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应元素和对应元素和n中中的较大者。的较大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。例例6-3 求两个求两个23矩

7、阵矩阵x, y所有同一位置上的较所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵大元素构成的新矩阵p。2150104,208688xy6.1.2 求和与求积求和与求积数据序列求和与求积的函数是数据序列求和与求积的函数是sum和和prod，其使，其使用方法类似。设用方法类似。设X是一个向量，是一个向量，A是一个矩阵，是一个矩阵，函数的调用格式为：函数的调用格式为：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返回向量X各元素的乘积。各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是矩阵个元素是矩阵A的第的第i列的元素和。列的元素和。prod

8、(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的的第第i列的元素乘积。列的元素乘积。sum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其时，返回一个列向量，其第第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行行的各元素乘积。的各元素乘积。例例6-4 求矩阵求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。

9、的每行元素的乘积和全部元素的乘积。A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(s) % 求求A的全部元素的乘积的全部元素的乘积6.1.3 平均值和中值平均值和中值求数据序列平均值的函数是求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的，求数据序列中值的函数是函数是median。两个函数的调用格式类似。两个函数的调用格式类似sum, 为：为：mean(X)：返回向量：返回向量X的算术平均值。的算术平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中值。的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列

10、列的算术平均值。的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列列的中值。的中值。mean(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于mean(A)；当当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的的第第i行的算术平均值。行的算术平均值。median(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于median(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的中值。行的中值。例例6-5 分别求向量分别求

11、向量x=1,0.5,3,4,5与与y=0, 1.2, 4, 7, 2, 4, 6, 7的平均值和中值。的平均值和中值。6.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积使用使用cumsum和和cumprod函数能求得向量和矩阵元素的函数能求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式同累加和与累乘积向量，函数的调用格式同sum, 为：为：cumsum(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘积向量。累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累列的累加和向量。加和向量。cumprod(A)

12、：返回一个矩阵：返回一个矩阵, 其第其第i列是列是A的第的第i列的累列的累乘积向量。乘积向量。cumsum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumsum(A)；当；当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行行是是A的第的第i行的累加和向量。行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumprod(A)；当；当dim为为2时，返回一个向量，其第时，返回一个向量，其第i行行是是A的第的第i行的累乘积向量。行的累乘积向量。 例例6-6 求向量求向量s=(1!,2!,3!,10!)的值。的值。 C

13、odes:s=cumprod(1:10)6.1.5 标准方差与相关系数标准方差与相关系数1求标准方差求标准方差在在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列的标准方差。各列的标准方差。std函数的一般调用格式为：函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中其中dim取取1或或2。当。当dim=1时，求矩阵时，求矩阵A各列元素的标准各列元素的标准方差

14、；当方差；当dim=2时，则求矩阵时，则求矩阵A各行元素的标准方差。各行元素的标准方差。flag取取0或或1，按不同公式计算标准方差；当，按不同公式计算标准方差；当flag=0时，时，按按1所列公式计算标准方差，当所列公式计算标准方差，当flag=1时，按时，按2所列所列公式计算标准方差。缺省公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例例6-7 对二维矩阵对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。，从不同维方向求出其标准方差。X=;%输入矩阵输入矩阵x.Y=std(X,0,1); %求各列元素的标准差求各列元素的标准差.y=std(X,0,2); %求各行元素的标准差求各行元素的标准差.

15、思索：设二维矩阵思索：设二维矩阵x为正态分布数据，请计算其标准差。为正态分布数据，请计算其标准差。0.10.40.20.40.30.40.30.40.60.30.40.10.60.40.20.60.20.40.31.00.31.00.10.60.40.30.41.00.20.30.40.30.40.11.00.20.40.30.41.01.00.21.00.60.10.41.00.20.60.2x =0.41.00.20.30.40.10.30.60.31.01.00.31.00.30.21.00.11.00.40.60.20.60.20.60.60.31.00.11.00.21.00.41.

16、00.20.41.00.21.00.11.00.60.20.61.00.20.60.40.61.00.12相关系数相关系数MATLAB提供了提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数函数，可以求出数据的相关系数矩阵。矩阵。corrcoef函数的调用格式为：函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵一样。它把矩阵X的每列的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，：在这里，X,Y是

17、向量，它们与是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。的作用一样。例例6-8 生成满足正态分布的生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关列随机数据的相关系数矩阵。系数矩阵。命令如下：命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)6.1.6 排序排序MATLAB中对向量中对向量X是排序函数是是排序函数是sort(X)，函数返回一，函数返回一个对个对X中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩

18、阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用的各列或各行重新排序，其调用格式为：格式为：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明对指明对A的列还是行进行排序。若的列还是行进行排序。若dim=1，则按，则按列排；若列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排序后的矩阵，而是排序后的矩阵，而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。例例6-9：对矩阵做各种排序：对矩阵做各种排序 A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13; sort(A) %对对A的每列按升序排序的每列按升序排序 -sort(A) %对对A的每行按降序排序的每行按降序排序 X,I=sort(A) %对

19、对A按列排序，并将每个元素按列排序，并将每个元素所在行号送给矩阵所在行号送给矩阵I.6.2 数据插值数据插值6.2.1 一维数据插值一维数据插值在在MATLAB中，实现这些插值的函数是中，实现这些插值的函数是interp1，其调用，其调用格式为：格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据函数根据X,Y的值，计算函数在的值，计算函数在X1处的值。处的值。X,Y是两个等是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个是一个向量或标量，描述欲插值的点，向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与是一个与X1等长的等长的插值结果。插值结

20、果。method是插值方法，允许的取值有是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。注：注：X1取值范围不能超出取值范围不能超出X给定范围，否则给出给定范围，否则给出“NaN错误。错误。例例6-10 函数函数y=f(x)对应点为：对应点为：x=0.2,0.5,0.9,1.2,1.4,1.6,1.8,2;y=0.2,0.5,1.4,3.4,2.6,2.1,1.8,1.2;用不同的插值方法计算用不同的插值方法计算y在在x=/2点的值。点的值。注：注：MATLAB中有一个专门的中有一个专门的3次样条插值函数次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及

21、使用方法与函数，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。完全相同。例例6-11 某观测站测得某日某观测站测得某日6:00时至时至18:00时之间每隔时之间每隔2小小时的室内外温度时的室内外温度()，用，用3次样条插值分别求得该日室次样条插值分别求得该日室内外内外6:30至至17:30时之间每隔时之间每隔2小时各点的近似温度小时各点的近似温度()。设时间变量设时间变量h为一行向量，温度变量为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：令如下：h =

22、6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline) %用用3次样条插值计算次样条插值计算6.2.2 多维数据插值与曲线拟合多维数据插值与曲线拟合 略，不讲。略，不讲。6.3 多项式计算多项式计算n次多项式是形如次多项式是形如P(x) =a0 xn+a1xn-1+an-1x+an的式子。的式子。在在MATLAB中，多项式用行向量表示，多项式的系数按中，多项式用行向量表示，多项式的系数按降幂排列：降幂排列：P=a0 a1 an-1 an或或P=a0, a1, an-1,

23、 an如：多项式如：多项式x3-12x2+25x+6表示为表示为p=1, -12, 25, 66.3.1 多项式的生成与表达多项式的生成与表达 例：已知向量例：已知向量A=1 34 80 0 0，用此向量构造一多，用此向量构造一多项式项式(x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0) 并显示结果。并显示结果。 解：解： PA=poly(A) PAX=poly2str(PA,X) X5 + 113 X4 + 2606 X3 - 2720 X26.3.2 多项式的运算多项式的运算1). 多项式的算术运算多项式的算术运算参加加减运算的多项式应该具有相同的阶次。参加加减运算的多项式应该具有相同

24、的阶次。多项式乘法采用多项式乘法采用conv函数，除法由函数，除法由deconv函数完函数完成。成。2). 求根求根求多项式的根采用求多项式的根采用roots函数。函数。3). 求值求值函数函数polyval可以将某个特定数值代入多项式可以将某个特定数值代入多项式函数函数polyvalm可以求出当多项式中的未知数为方可以求出当多项式中的未知数为方阵时的值。阵时的值。4). 求导求导使用使用polyder函数对多项式求导。函数对多项式求导。1) 多项式的四则运算多项式的四则运算1多项式的加减运算：与向量加减相同，无专多项式的加减运算：与向量加减相同，无专门指令。门指令。2多项式乘法运算多项式乘法

25、运算函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘积。的乘积。这里，这里，P1、P2是两个多项式系数按降幂排列的是两个多项式系数按降幂排列的行向量。行向量。例例6-16 求多项式求多项式x4+8x3-10与多项式与多项式2x2-x+3的乘的乘积。积。3多项式除法多项式除法函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多项式P1和和P2作除法运作除法运算。其中算。其中Q返回多项式返回多项式P1除以除以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。这里，的余式。这里，Q和和r仍是多项式系数向量。仍是多项式系数向量。deconv是是conv的逆函数，即有

26、的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例例6-17 求多项式求多项式x4+8x3-10除以多项式除以多项式2x2-x+3的结果。的结果。P1=1,8,0,0,-10;p2=2,-1,3;q,r=deconv(P1,p2)2) 多项式的导函数多项式的导函数对多项式求导数的函数是：对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式：求多项式P的导函数的导函数p=polyder(P,Q)：求：求P*Q的导函数的导函数p,q=polyder(P,Q)：求：求P/Q的导函数，导函数的分子存入的导函数，导函数的分子存入p，分母存入，分母存入q。上述函数中，参数上述函数中，参数P,Q是多项式

27、的向量表示，结果是多项式的向量表示，结果p,q也也是多项式的向量表示。是多项式的向量表示。例例6-18 求有理分式求有理分式P/Q=1/(x2+5)的导数。的导数。命令如下：命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)3) 多项式的求值多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为多项，它们的输入参数均为多项式系数向量式系数向量P和多项式的自变量和多项式的自变量x。两者的区别。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。项式求值。

28、1代数多项式求值代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若若x为一数值，则求多项式在该点的值；若为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例例6-19 已知多项式已知多项式x4+8x3-10，分别取，分别取x=1.2和一个和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。矩阵为自变量计算该多项式的值。2矩阵多项式求值矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与函数用来求矩阵多项式的

29、值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函数要求函数要求x为方阵，为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，为方阵，P代表代表多项式多项式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含义是：的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含义是：的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例例6-20 仍以多项式仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个为例，取一个22矩阵为自矩阵为自变量分别用变量分别用polyval和和polyvalm

30、计算该多项式的值。计算该多项式的值。4) 多项式求根多项式求根n次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。含有若干对共轭复根。MATLAB提供的提供的roots函数用于函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：求多项式的全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。例例6-21 求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-

31、10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项函数建立起该多项式，其调用格式为：式，其调用格式为：P=poly(x)若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其根的多为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例例6-22 知知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1) 计算计算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2) 由方程由方程f(x)=0的根构造一个多项式的根构造一个多项式g(x)，并与，并与f(x)进行进行对比。对比。命令如下：命令如下：

32、P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多项式求多项式g(x)应用举例应用举例例：例： 将表达式将表达式(x-4)(x+5)(x2-6x+9)展开为多项式展开为多项式形式，并求其对应的一元形式，并求其对应的一元n次方程的根。次方程的根。 p=conv(1 -4,conv(1 5,1 -6 9) px=poly2str(p,x)x=roots(p)6.4 非线性方程数值求解非线性方程数值求解6.4.1 单变量非线性方程求解单变量非线性方程求解 在在MATLAB中提供了一个中提供了一个fzero函数，可以用函数，可以用来求

33、单变量非线性方程的根。该函数的调用格来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函数文件名，是待求根的函数文件名，x0为搜索的为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只函数只给出离给出离x0最近的那个根。最近的那个根。tol控制结果的相对精控制结果的相对精度，缺省时取度，缺省时取tol=eps，trace 指定迭代信息是指定迭代信息是否在运算中显示，为否在运算中显示，为1时显示，为时显示，为0时不显示，时不显示，缺省时取缺省时取trace=0。 例例6-8 求求

34、f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。 步骤如下：步骤如下：(1) 建立函数文件建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 调用调用fzero函数求根。函数求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.37586.4.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 对于非线性方程组对于非线性方程组F(X)=0，用，用fsolve函数求其数值解。函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：函数的调用格式为： X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X为返回的解，为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，组的函数文件名，X0是求根过程的初值，是求根过程的初值，option为最为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个多个选项，用户可以使用选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来函数来完成。例如，完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中显示方式，其中